实变函数和泛函分析

1、关于实变函数与泛函分析第一张，PPT共二十页，创作于2022年6月微积分基本定理若f(x)在a,b上连续，则若F (x) 在a,b上连续，则导数（切线斜率）xi-1 xi定积分（面积）第二张，PPT共二十页，创作于2022年6月微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(-N, -语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）第三张，PPT共二十页，创作于2022年6月

2、微积分继续发展的三个方向外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）第四张，PPT共二十页，创作于2022年6月1.Riemann积分回顾(1) Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi其中第五张，PPT共二十页，创作于2022年6月 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积其中：xi-1 xixi-1 xi第六张，PPT共二十页，创作于2022年6月 (2) Riemann可积的充要条件f(x)在a,b上R

3、iemann可积其中：xi-1 xi第七张，PPT共二十页，创作于2022年6月 (2) Riemann可积的充要条件 f(x)在a,b上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积xi-1 xi第八张，PPT共二十页，创作于2022年6月例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组成。上积分下积分0 1第九张，PPT共二十页，创作于2022年6月（3)Riemann积分的局限性a.微积分基本定理 定理：若f(x)在 a,b上可微且f (x)在a,b上Riemann 连续,则

4、注：推荐大家看看龚升写的话说微积分， 简明微积分,数学历史的启示（数学教学，2001.1）,微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；第十张，PPT共二十页，创作于2022年6月b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛） 例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上的函数列故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立。则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但不Riemann可积。第十一张，PPT共二十页，创作于2022年

5、6月Riemann积分xi-1 xi为使f(x)在a,b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)第十二张，PPT共二十页，创作于2022年6月2.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“长度”第十三张，PPT共二十页，创作于2022年6月Lebesgue积分思想yiy

6、i-1f(x)在 Ei上的振幅不会大于其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，即：第十四张，PPT共二十页，创作于2022年6月对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高等理科教学，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-10 1

7、第十五张，PPT共二十页，创作于2022年6月3.Lebesgue积分构思产生的问题(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； (2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分yiyi-1第十六张，PPT共二十页，创作于2022年6月4.集合论中的一些例子(1) Achilles追龟 问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。0(甲) （乙） 3/4

8、 7/8 15/16 1甲的速度为1，乙的速度为1/2第十七张，PPT共二十页，创作于2022年6月(2) Hilbert旅馆问题 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下：1 又来了有限个人b1, b2, b3, ，bn3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4 又来了0,1个人2 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, 第十八张，PPT共二十页，创作于2022年6月Hilbert旅馆问题解答1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排进去（0,1是不可数集）2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3