第四章《本章综合与测试》教学导学案(统编人教A版)

1、章末复习课要点回顾的成体茶网络构建核心归纳1.指数函数的图象和性质般地，指数函数y=ax（a0且a*1）的图象与性质如下表所示a10a0 时，y1;当 x0 时，0y0 时，0y1;当 x1在（ OO, +OO）上是增函数在（ 00,+00）上是减函数注意（1）对于a1与0a1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快；0a10a1 时，y0;当 0 x1 时，y1 时，y0;当 0 x0在(0, +8)上是增函数在(0, +8)上是减函数3.指数函数与对数函数的关系对数函数y= logax(a0且aw 1)与指数函数y= ax(a0且aw 1)互为反函数，其图 象关于直线y=x对称(如图

2、).函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解，函数f(x)的零点的个数与方程f(x) = 0的解 的个数相等，也可以说方程f(x)=0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标， 即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决 .讨论方程的解所在的大致区间 可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间， 讨论方程的解的个数可以转化为讨 论函数的零点的个数.函数零点存在定理该定理的条件是：函数f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的； f(a) f(b)0,得x0）, g（x） = 1ogax的图象可能是（）解析 幕函数f(x)

3、 = xa的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x) = logax的图象知0a1,而此时幕函数f(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C错.答案 D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法 .(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.比较多个数的大小时，先利用“而”胖为分界点，即把它们分为“小于

4、0”， “大于或等于0且小于或等于1，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数 的性质比较大小.【例 3】 设 a=log2：t, b=log1Tt, c= J2,则()B.bacD.cbaA.abcC.acb解析 因为冗2所以a=log2冗1b= log1冗1所以0-21,即0ccb.答案 C【训练3】 设2= log13, b= g0.2c=23,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac11 0.2解析 a=log230, 0b= 31 ,故有abc.答案 A要点四函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用函数的零点与方程的根的关系：方程 f(x) = 0有实数根函数y= f

5、(x)的图象与x轴有交点 函数y= f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.x2-2, x0的零点个数是|x|, xm,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则 m的取值范围是解析(1)当x0时，f(x) = 2x6+ ln x.而 f(1) = 2X 16+ln 1 = 40,所以 f(1) f(3)0时，由f(x) = 0,得2x 6+ln x=0,即 ln x= 6 2x.如图，分别作出函数y=ln x和y=6 2x的图象.显然，由图可知，两函数图象只有一个交点，且在y轴的右

6、侧，故当x0时，f(x)=0只有一个解.综上，函数f(x)共有2个零点.(2)如图，当 x&m时，f(x) = |x|.当 x m 时，f(x) = x2 2mx+ 4m,在(m, + )为增函数.若存在实数b,使方程f(x)= b有三个不同的根, 则 m22m m+4m0,m2 3m0,解得 m3.答案 (1)2(3,【训练4】已知关于x的方程a 4x+ b 2x+ c= 0(aw 0),常数a, b同号，b,异号，则下列结论中正确的是()A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析 由常数a, b同号，b, c异号，可得a, c异号，令2x

7、=t,则方程变为at2+ bt+c= 0, t0,由于此方程的判别式 A= b2-4ac0,故此方程有2个不等实 c . 一 数根，且两根之积为c0,故关于t的方程只有一个实数根，故关于 x的方程只 a有一个实数根.答案 D要点五函数模型的应用.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用 x, y分别表示. (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域.求解函数模型，并还原为实际问题的解.建模的三个原则简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一

8、定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算 和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【例5】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元， 并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入-0.4x2+4.2x (0 x5 ) .假定该产品产销平衡( 即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y=

9、f(x)的解析式(利润=销售收入一总成本)；(2)要使工厂有盈利，求产量x 的取值范围；(3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？解 由题意得G(x)=2.8+x .f(x)=R(x) G(x)0.4x2+3.2x 2.8 (0 x5) .(2)当 00 x05 时，由一0.4x2+3.2x 2.80 得 x2-8x+70,解得 1x7, 1x5 时，由8.2 x0 ，得x8.2 ，所以 5x8.2.综上，当 1x0，即当产量x大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利.(3)当 00 x05 时，函数 f(x) = 0.4(x 4)2+3.6,当x=4时，f(x)有最大值为3.6;当x5时，;函数f(x)单调递减， .f(x)2.1当 f(x) = 2 时，log25(x+ 1) 2 = 0,得 x+ 1=252=5,即x=4.所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.设 t = log25(x+1),则当 00 x&24 时，0&t&1.设 g(t) = |t a|+2a+1, tC 0,1,t + 3a + 1, 0 & t & a,则 g(t) =t+ a+