方差与频率分布

1、2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布知识讲解方差的定义在一组数据x1，x2xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“S2 ”表示，1,_、即 S2= (x】x )2+(X2 X)2+.+(Xn X)牛2.方差的计算(1)基本公式1-S2= (X x ) 2+ (x2 x )+ (x x ) 2(2)简化计算公式(I)1S2= 一 (x12+x22+.+Xn2)n x 21也可写成S2=n(x12+x22+.+xn2) x 2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.(3)简化计算公式(II)1-S2

2、= (x12+x、22+. .+xn2) nx x、2.当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x =x a，x =x a，.x =x a，那么1122n n11S2= (x12+x、22+.+xn2) n x2，也可写成 S2= (x12+x、22+.+x2) x2 .记忆方 n法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.3.标准差的定义和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用”表示，即S= S 2 =、； (x x)2 + (x x)2 +1IIII -(x x)24.方差和标准差的意义方差和标准

3、差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小.前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小.但是 在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小， 这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布.6.研究频率分布的一般步骤及有关概念研究样本的频率分布的一般步骤：计算极差(最大值与最小值的差)；决定组距与组数；决定分点；列频率分布 表；画出频率分布直方图.频率分布的有关概念：极差：最大值与

4、最小值的差；频数：落在各个小组内的数据的个数；频率：每一小组的频数与数据总体(样本容量n )的比值叫做这一小组的频率.几个重要的结论：各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频率之和等于1；频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等 于1；各小长方形的高与该组频数成正比.例题解析例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位：分)甲组：86 82 87 85乙组：85 81 85 89分别计算这两组数据的平均数；分别计算这两组数据的方差；哪个学习小组学生的成绩比较整齐？【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.-1-1【解答】(1)尤甲=

5、4 (6+2+7+5) +80=85，尤乙=4 (5+1+5+9) +80=85.1S 甲2=4 (86-85) 2+ (82-85) 2+ (87 85) 2+ (85 85) 2=3.5，S 乙21=(85 85) 2+ (81 85) 2+ (85 85) 2+ (89 85) 2=8.4VS乙2S甲2，甲组学习成绩较稳定.【点评】方差是反映一组数据波动大小的量.例2为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并 从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m）作 为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值，不含

6、最高值）已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2： 4： 6：5： 3,其中1.802.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:（1）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内，并说明理由;（3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?（2）（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上（包括2.00m）的约有多少人?【分析】样本容量是样本数据，不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序 后再求出，然后分析落在哪个小组.【解答】（1）由于1.802.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分， 故样本容量为：84=40. 2.402.60这个小组的频率为3-20

7、=0.15.（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和 第21人的成绩均在2.002.20这个小组，则中位数落在2.002.20这个小组.（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人，12人，10人，6人，则可求得样 本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m.（4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有|x500=350 （人）.【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键.强化训练一、填空题1. （2005,荆门市）已知数据：1，2, 1，0，-1，-2, 0，-1，这组数据的方差为 （2005,宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分

8、装质量为400g的茶叶，从它们各自 分装的茶叶中分别随机抽取了 10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示.根据表中数 据，可以认为三台包装机中，包装机包装的茶叶质量稳定.甲包装机 乙包装机 丙包装机方差/g231.967.9616.322005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问 卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将消费者年收入情况整理 后，制成表1;将消费者打算购买住房的面积的情况整理后，制成表2,并作出部分频率分 布直方图（如图）.表1被调查的消费者年收入情况年收入/万元1.2 1.8 3.0 5.0 10.0被调查的消费者数/人

9、200 500 200 70 30表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况分组/m2频数 频率40.560.50.0460.580.50.1280.5100.50.36100.5120.5120.5140.50.20140.5160.50.04合计1000 1.00注：住房面积取整数请你根据以上信息，回答下列问题：（1） 根据表1可得，被调查的消费者平均年收入为万元；被调查的消费者年收入的中位数是万元；在平均数，中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；（2） 根据表2可得，打算购买100.5120.5m2房子的人数是人；打算购买住房面 积不超过100m2的消费者的人数占

10、被调查人数的百分数是；（3）在下图中补全这个频率分布直方图.40.5 60.5 80.5 100.5120.5140.5160.5 住房面积血青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注，某校为了了解初中毕业年级500名 学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率 分布直方图.分组频数频率3.954.250.044.254.550.124.554.85254.855.150.045.155.451.00合计请你根据给出的图表回答：（1）填写频率分布表中未完成部分的数据.（2） 在这个问题中，总体是，样本容量是.（3） 在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是.

11、（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）： 组距DC3.954.25/1 4.85 B 5.45 视力甲，乙两种产品进行对比试验， 得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，则它们的方差的大小关系是. 已知：一组数据一1，x，1，2, 0的平均数是0， 这组数据的方差是.若样本数据1, 2, 3, 2的平均数是a,中位数是b,众数是c,则数据a, b, c的标准差是.若已知一组数据：, x2,，xn的平均数为x,方差为S2,那么另一组数据：3x1 2, 3x22, _, 3xn2的平均数为，方差为.二、选择题在一次射击练习中，甲，乙两

12、人前5次射击的成绩分别为（单位：环）甲：10 8 10 10 7乙：710 9 910则这次练习中，甲，乙两人方差的大小是（）A. S甲2S乙2B. S甲2S乙2C. S甲2=S乙2D.无法确定 已知甲，乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差S甲2=0.055,乙组数据的 方差S乙2=0.105,则（）甲组数据比乙组数据波动大B.乙组数据比甲组数据波动大C.甲组数据与乙组数据的波动一样大D.甲，乙两组数据的波动大小不能比较（2005，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（）A.平均数 B.众数 C.标准差 D.中位数某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选

13、拔 比赛中，射靶十次的平均环数是x甲；乙；丙=8.3，方差分别是S甲2=1.5, S乙2=2.8, S丙2=3.2.那 么，根据以上提供的信息，你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定 （2005,广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均 数是x甲；乙=7,方差S甲2=1.0, S乙2=1.2，则射击成绩较稳定的是（）A.甲 B.乙C. 一样D.不能确定为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了 6次测试，成绩如表所示：甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表第1次第2次第3次第4次第5次第6次平均数方差甲

14、1341371361361371361361.0乙135136136137136136136有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的 是（）甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为S 甲2=172, S乙2=256.下列说法：两组的平均数相同；甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定; 甲组成绩的众数乙组成绩的众数；两组成绩的中位数均为80，但成绩280的人数甲 组比乙组多，

15、从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；成绩高于或等于90分的人数乙组 比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好.其中正确的共有（）分数5060708090100人 甲组251013146数 乙组441621212A. 2种B. 3 种C.4种D. 5种（2005,盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这 组数据的（）A.平均数和方差都不变B.平均数不变，方差改变C.平均数改变，方差不变D.平均和方差都改变三、解答题某校初三（1）班，三（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如 下表：班级平均分众数中位数标准差初三（1）班79708719.8初三（2）班7970795.

16、2（1）请你对下面的一段话给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了 85分，在班上可算上游！”（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议.武汉市教育局在中学开展的，创新素质实践行”中，进行了小论文的评比.各校交论文的时间为5月1日至30日，评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制 了频率分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2： 3： 4： 6： 4： 1，第二组的频数为18.请回答下列问题:(1)本次活动共有多少篇论文参加评比?(2)哪组上交的论文数量最多？有多少篇?(3)经过评比，第

17、四组和第六组分别有20篇4篇论文获奖，问这两组哪组获奖率较高?59.5 71.5 83.595.5107.5 119.5（2008，金华）九（3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，老师将对学生的成绩按10分的组距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数的分布直方图.九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表分数段/分49.559.559.569.569.579.579.589.589.599.5组中值/分54.564.574.584.594.5频数a910145频率0.0500.2250.2500.350b频数分布表中a=(1)b=(2)把频数分布直方图补充完整

18、;(3)学校设定成绩在69. 5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元.已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金.，频数/人 1412 ：9_ 10.1.1.1.一绩/分九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图6-28所示.（1）请填写下表：平均数方差中位数命中8环以上次数甲71.21乙5.4（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.从平均数和方差相结合看；从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；从平均数和命中9环以上的次数相结合

19、看（分析谁的成绩好些）;从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.在“3. 15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了 抽查.如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分 为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分.请问：甲商场的用户满意度分数的众数为 分；乙商品的用户满意度分数的众 数为 分.分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分.(精确到0.01)请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由.参考答案 TOC o 1-5 h z 1.二2.乙2 (1) 2.39；

20、1.8；中位数(2) 240； 52%(3)略(1)第二列从上至下两空分别填15, 50；第三列从上至下两空分别填0.5, 0.3(2)500名学生的视力情况；50 (3) 0.8 (4)该校初中毕业年级学生视力在4.554.85的人 数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4.25以下的人数基本相等，各有20人左右5. S 乙2S 甲2 6. 2 7. 0 8. 3；2 9S29. A 10. B 11. C 12. A 13. A 14. C 15. D 16. C(1)从平均数，众数和中位数角度分析；(2)平均分，众数均相同，但三1)班的成绩中位数高，表示三1)班成绩比三(2)班好，但三(2)班标准差比