数理统计题目

1、已知维尼纶纤维在正常条件下服从正态分布，且标准差0.048，从 某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问 这一天纤度的总体标准差 否（是/否）正常。解：这是一个关于正态总体方差的双侧检验问题，待检验的原选择和 备择假设分别为H ：。2 = 0.0482VSH：b 2,0.0482此处n=5，若取显著性水平侦=0.05，查表知y 2 ( 4)=0.4844, x 2 ( 4)0.0250.975=11.1433，故拒绝域为 W= X 2 11.1433，由样本数据可计算得到X 2 =（ 一1）2 = 0.03112 = 13.5069 11.143

2、3Q 20.04820因此拒绝，认为这一天纤度的总体标准差不正常。设总体XN（ 0，。2）*.顷10,.顷15为总体的一个样本.则Y= X+ X； +八+ XJ。2 ）服从分布，参数2 X 2 + X122 + A + X；/为.【解】X M0,1）,i=1,2,.,15.那么 bX 2 =耳 X K X 2（10）,X 2 =耳 X L X 2（5）1i=1 C ,=11 J且X 2与X 2相互独立， 12所以X 2/101X 2/52F (10,5)Y_ X 2 + L + X12 =2( Xi+ L + X；)所以YF分布，参数为（10,5）设总体X服从二项分布b ( n , p ),

3、n已知，X1，%，X。为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】E(X) = np,E(X) = A1 = X,因此 np= X所以p的矩估计量p = Xn 设的(X1,X2, .,Xn)是。的估计量，若，则称的为。的无偏 估计量，否则称为。的有偏估计量。【解】 对一切6e0，E(A0)=0设总体为均匀分布U(0, 0 )，X1 ,X n是样本,考虑检验问题H0 : 0 3 vs H1 ：0 3，拒绝域取为W = ( x (n) 2.5，若要使得 该最大值a不超过0.05, n至少应取_.答案为17解】因均匀分布最大顺序统计量褊 的密度函数为乩=写厂心= =丁 = |S J a J要使得0,0

4、5,甘0.05 .伫型陛=16,43，ln(5/6)故神至少为17.6 .从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据(单 位：h )：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.解：平均寿命U的矩估计r = X =1143.75 ；标准差。的矩估计U 八=s* = 89.8523 . 设随机变量X的概率密度为：f, 0 0，X 1,A ,X是来自X的样本，求。的矩估计； TOC o 1-5 h z 解：E(X) = J+8xf (x)dx = fdx = -0， fo 0 23令e(X)= X=2

5、0，得0”=3 X为参数0的矩估计量。328.设总体Xn(0,. 2)，且x ,x A x是样本观察值，样本方差s2 = 2， 1210求b 2的置信水平为0.95的置信区间；解：g的置信水平为0.95的置信区间为18 , 18 ，即为7 2 (9) y 2 (9)M 0.025 (9) 7 0.975(9(0.9462，6.6667 )；9.设x 1； X 2, X 3, X 4为取自总体x *3,42)的样本，对假设检验问题H0：口 = 5,H1：5，在显著性水平0.05下求拒绝域拒绝域为I=解： 乙0 025 = 1.96=4/ v410.设x ,x ,L ,x是来自正态分布N S,b2

6、)的样本，在日已知时给 12n出b2的一个充分统计量；解：在日已知时，样本联合密度函数为p (x , x ,L , x ;b 2) = (2 兀b 2) - w /2 exp-z ( x 一日)212 n2b 2i=1令T = Z (x -R)2 ,取 i i=1g(t；b2) = (2兀b2)-n/2 exp-_L_,h(x) = 1,由因子分解 2b 2定理，T = Z (x -P )2为b 2的充分统计量。i=111.设总体X项(0,b 2)，且，,A x是样本观察值，样本方差s2 = 2，已1210知y = X!z2(1)，求D11的置信水平为0.95的置信区间；b2lb3解：(X o

7、 975 (9) = 20，lb 3 J b 2X 0.025 =19.023)。Dlb2 JD X 2(1) =lb 3 J即为(0.3000，2.1137)。由于】挡=是b 2的单调减少函数，置信区间为_!, b 212.以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149 156 160 138 149 153 153 169 156 156Fn（ x）二0, x 138, 0.1,138 x 149, 0.3,149 x 153, 0.5,153 x 156 0.8,156 x 160, 0.9,160 x 169则这批数据构造经验分布函数解：此样本容量为10,经排序可得到

8、有序样本x = 138, x = x = 149, x = x = 153,x = x = x = 156, x = 160, x = 169,则经验分布函数为Fn（ x）二0, x 138, 0.1,138 x 149, 0.3,149 x 153, 0.5,153 x 156 0.8,156 x 160, 0.9,160 x 169若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差，则样本所有偏差之和为.解：0若统计量T是充分统计量，统计量S与统计量T 一一对应，则解：统计量S也是充分统计量(是，否)是统计量.15.设X ,X ,X是取自总体X的一个样本，a是X X X未知参数，则 123a 123X

9、1 + X 2 + X 3解：统计量不含有未知量样本均值的相合估计是，样本标准差的相合估计是.解：样本均值的相合估计是总体均值，样本标准差的相合估计是总体 标准差.设总体X的概率密度为f (x)=(9 +1) x 0 ,0 V x V 10, 其他其中未知参数0 -1，X , X,A X是取自总体的简单随机样本，用极 大似然估计法求0的估计量。解：设似然函数面)=S 1)xe (0 V xi V 1； i = 1,2,a，n)i =1+ X ln xii =1对此式取对数，即：ln L(0) = nln(0 +1) +0 XIn x.且= i=1令dnL = o,可得。=_一，此即0的极大似然

10、估计量。d0寸L ln xii =1设某机器生产的零件长度(单位：cm)x N(口q2)，今抽取容量 为16的样本，测得样本均值x = 10，样本方差占2 = 0.16.检验假设 H0 2 2 0.1 (显著性水平为0.05).(附注) 七05(16) = 1.746, t005(15) = 1.753, t0025(15) = 2.132,X2 (16) = 26.296, %2 (15) = 24.996, %2 (15) = 27.488.0.050.050.025解：H0:a 2 0.1的拒绝域为x2小和-1).15S 2x 2 15 X 1.6 24 , X 2 (15) 24.99

11、60.10.05因为 X 2 24 24.996 = x (15), 所以接受H.设某厂生产的一种钢索：其断裂强度x kg/cm2服从正态分布N (R ,402). 从中选取一个容量为9的样本，得X = 780 kg/cm2.能否据此 认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 (a = 0.05).解：H0 : u=800.采用统计量U=又-u 0其中。=40, u0=800, n=9,a 005，查标准正态分布表得u =1.96 e 5aIU l=|780-800 I15,1 401I U l U ,应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为 a 2 800kg/cm2.20.已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112)，现在测定了 9炉铁水，含碳量平均数x =