结构力学-静定梁与静定刚架

1、第三章 静定梁与静定刚架 3-1 单跨静定梁3-2 多跨静定梁3-3 静定平面刚架3-4 少求或不求反力绘制弯矩图3-5 静定结构的特性静定结构定义 在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。 （a）静定梁（b）静定刚架 3-1 单跨静定梁静定结构的基本特征几何特征：未知力的数目=独立平衡方程式的数目。 超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。几何不变且无多余联系。静力特征：计算简图3-1 单跨静定梁求解静定结构的方法采用截面法、应用平衡方程。容易产生的错误认识： “静定结构内力分析无非就是 选取隔离

2、体，建立平衡方程， 以前早就学过了，没有新东西”切忌：浅尝辄止3-1 单跨静定梁 受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其轴线通常为直线（有时也为曲线）。 梁： 单跨静定梁从支承情况不同又分为：简支梁伸臂梁悬臂梁3-1 单跨静定梁 通常先求出支座反力，采用截面法，建立平衡方程，计算控制截面的内力。 内力符号规定如下： 轴力以拉力为正；剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正；当弯矩使杆件下侧纤维受拉者为正。1. 任意截面的内力计算 3-1 单跨静定梁求所示简支梁任一截面的内力过程演示。 解 (1)求出支座反力。由整体平衡：3-1 单跨静定梁 可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面-以左为隔离体。 (

3、2) 分别求截面-、-、-和-的内力。 由 有 由 有3-1 单跨静定梁取截面-以左为隔离体由3-1 单跨静定梁由 取截面-以左为隔离体3-1 单跨静定梁计算梁上任一截面内力的规律如下： 梁上某一截面的弯矩数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 梁上某一截面的剪力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的切线方向投影的代数和。 如果荷载不垂直于杆轴线，则梁的内力就会有轴力。梁上某一截面的轴力数值上等于该截面左侧（或右侧）所有外力在沿截面的法线方向投影的代数和。3-1 单跨静定梁按照这个规律，写出截面-的内力为：也可以由截面-以截面-的内力右隔离体的平衡条件求得

4、。3-1 单跨静定梁2. 内力图梁的内力图弯矩图、剪力图、轴力图。弯矩图-习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号轴力和剪力图-可绘在杆件的任一侧，但需标明正负号作内力图：1 由内力方程式画出图形; 2 利用微分关系画出图形。内力图的含义？需彻底弄清，以免与后面的影响线混淆概念。3-1 单跨静定梁3. 荷载与内力的微分关系由平衡方程Y=0 和MA=0 可得合并写成在荷载连续分布的梁段上截取一微段梁 dM当某截面的剪力为零时，即 =0。该截面的弯矩即 dx为这一梁段中的极大值（或极小值）。3-1 单跨静定梁一般为斜直线水平线抛物线(下凸)有极值为零处有尖角(向下） 有突变(突变值= FP)有极值如变

5、号无变化 有突变（突变 值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用 (q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线( )3-1 单跨静定梁 (1) 求出梁的支座反力。（有时可不用先求出来） (2) 找出梁的控制截面。 (3) 计算出各控制截面的内力值。 (4) 根据梁段上荷载的情况把各相邻控制截面点联线即成相应的剪力图和弯矩图。 作内力图的步骤：控制截面选取的原则是每段梁上的荷载必须是连续的，因此梁上的集中荷载作用点，分布荷载的起始点和终点都是梁段的控制截面。3-1 单跨静定梁FP aFPlabABABlqql2 2应熟记常用单跨梁的弯矩图3-1 单跨静定梁BAFla

6、bFab lBAqlql2 83-1 单跨静定梁mBAablm l a lm b lmm l3-1 单跨静定梁4. 叠加法作弯矩图（section superposition method）叠加法要点：以梁段两端的弯矩值的连线作为基线，在此基线上迭加简支梁在此分布荷载作用下的弯矩图，即得最终的弯矩图。 如何作DE段弯矩图?3-1 单跨静定梁叠加法作弯矩图3-1 单跨静定梁分段叠加法作弯矩图3-1 单跨静定梁注意 : 叠加是弯矩的代数值相加，也即图形纵坐标相加。M2由杆端弯矩作图叠加q弯矩图叠加ql2弯矩图实例3-1 单跨静定梁 例3-1 试作图示简支的内力图。FA=58 kNFB=12 kN1

7、. 求支座反力2. 控制截面及其弯矩的确定3. 作弯矩图以及剪力图201826186416无荷载区域弯矩为直线EF段弯矩图如何作？MEqMFFsFFsE区段叠加法，并可求出：10如何由已知的弯矩图得到剪力图？Fs 图( kN )M图( kN m).3-1 单跨静定梁 例3-2 试作图示简支的内力图。（课后）解：(1)求支座反力。 (3)计算各控制截面的内力值。 (2)将梁分段，A、C、D、E、G、B 点为控制截面点。 3-1 单跨静定梁注意： 1）集中力作用的截面其左、右两侧的剪力是不同的，两侧相差的值就是该集中力的大小。 2）集中力矩作用截面的两侧弯矩值也是不同的，其差值就是集中力矩的大小。

8、 3）各截面的剪力等于截面左边所有各力在垂直于杆轴方向投影的代数和。3-1 单跨静定梁 计算各控制截面的弯矩，各截面的弯矩等于该截面左边所有各力对截面形心力矩的代数和。3-1 单跨静定梁881361127230M图(kNm)24 kN36 kN44 kN+_DEBCAFS图H（4）作内力图。403-1 单跨静定梁(5) 计算分布荷载作用梁段的弯矩最大值。 DE段梁的弯矩最大截面就在剪力为零处，剪力为零的截面H的位置可由比例求出，其值为 xH =1.6 m 。最大弯矩 MH 为：24 kN36 kN44 kN+_DEBCAFS图H3-1 单跨静定梁 例3-3 简支斜梁如图所示，梁上作用沿水平向分

9、布的均布荷载q ，试求此斜梁的M、FN 和FS 图。 解:(1)求支座反力。 方法步骤均与水平放置的简支梁相同。3-1 单跨静定梁 (2)取隔离体（在截面C 处将梁截断，取截面以左部分为隔离体。） 由 由 由 得 得 得 3-1 单跨静定梁(3) 绘出内力图 由于这些函数的自变量为x, 所以函数图形也应以沿水平方向分布为宜。3-1 单跨静定梁受弯结构作内力图的方法总结: 材料力学中，一般是先作剪力图，再作弯矩图。而在结构力学中，对梁和刚架等受弯结构作内力图的顺序为：一般先求反力（不一定是全部反力）。 利用截面法求控制截面弯矩。以便将结构用控制截面拆成为杆段（单元）。 在结构图上利用区段叠加法作

10、每一单元的弯矩图，从而得到结构的弯矩图。 3-1 单跨静定梁4. 以单元为对象，对杆端取矩可以求得杆端剪力，在结构图上利用微分关系作每单元的剪力图，从而得到结构剪力图。需要指出的是，剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须标注正负号。 以未知数个数不超过两个为原则，取结点由平衡求单元杆端轴力，在结构图上利用微分关系作每单元的轴力图，作法和剪力图一样，从而得到结构轴力图。 5. 综上所述，结构力学作内力图顺序为“先区段叠加作M 图，再由M 图作FS 图，最后FS作FN图”。需要指出的是，这种作内力图的顺序对于超静定结构也是适用的。3-1 单跨静定梁公路桥常使用多跨静定梁。一、多跨静定梁的定义计算简图层

11、叠图二、多跨静定梁的组成及传力特征对上图所示梁进行几何组成分析: 基本部分：结构中不依赖于其它部分而独立与地基形成几何 不变的部分。附属部分：结构中依赖基本部分的支承才能保持几何不变的部分。AB部分,CD部分 EF部分3-2 多跨静定梁组成例子请弄清层叠关系a) 仅一个基本部分b) 竖向荷载下两个基本部分c) 中间一个基本部分e) 竖向荷载下两个基本部分d) 竖向荷载下两个基本部分3-2 多跨静定梁三、多跨静定梁的计算原则计算的次序与构造的次序相反。内力图：将各单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。对多跨静定梁进行受力分析:分析顺序：应先附属部分，后基本部分。避免解联立方程。 荷载在基本

12、部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。3-2 多跨静定梁例3-2试作图示多跨静定梁的内力图。解：(1) 多跨梁各部分的关系:(2) 对各部分进行受力分析：基本部分附属部分3-2 多跨静定梁先附属，后基本1018105先求控制截面弯矩，再区段叠加12MG=-5*4+7.5*2=-5G3-2 多跨静定梁如何由弯矩图到剪力图？剪力大小：由弯矩图斜率或杆段平衡条件；剪力正负：转动基线与弯矩重合，顺时针旋转则剪力为正， 或由支座反力，集中荷载方向判别。 3-2 多跨静定梁例3-3：图示多跨静定梁全长受均布荷载 q，各跨长度均为l。欲使梁上最大正、负

13、弯矩的绝对值相等，试确定铰 B、E 的位置。(优化设计题）3-2 多跨静定梁由MC= M1，可求得x多跨简支梁 多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用量可减少，但构造要复杂些。 = MC= 0.0858ql23-2 多跨静定梁例3-4 作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。方法：悬臂部分直接画；中间铰处的弯矩必定为零；无荷载区域弯矩为直线，剪力相同则弯矩斜率相同，叠加法(BC段)。3-2 多跨静定梁由弯矩图到剪力图方法同前如何求支座C反力?注意:支座C左,右截面剪力方向3-2 多跨静定梁课外例3-5试作图示多跨静定梁的内力图。不讲解：(1)作出多跨梁的关系图。(2) 自上至下求各梁段的支

14、座反力，得3-2 多跨静定梁()()()()()()3-2 多跨静定梁(3)逐段画出各跨梁的弯矩图和剪力图。 注意：中间铰处的弯矩必定为零。 +-+ 总结：由弯矩图到剪力图的方法，剪力大小，正负判别。3-2 多跨静定梁课外例3-6 图所示为一两跨梁，全长承受均布荷载q。试求铰D的位置，使负弯矩峰值与正弯矩峰值相等。解：先计算附属部分AD，再计算基本部分DC， 令正负弯矩峰值彼此相等铰的位置确定后，可作出弯矩图。得3-2 多跨静定梁 讨论：如果改用两个跨度为l 的简支梁，由比较可知，静定多跨梁的弯矩蜂值比一系列简支梁的要小，二者的比值为0.084/0.125=68%。 3-2 多跨静定梁 由若干

15、直杆联结而成的结构，其中全部或部份结点为刚结点。 若刚架各杆的轴线在同一平面内，而且荷载也可以简化到此平面内，即称为平面刚架。 联结于刚性结点各杆之间不能产生相对转动，各杆之间的夹角在变形过程中始终保持不变。刚性结点可以承受和传递弯矩。 平面刚架刚架： 1. 刚架的特点保持角度不变3-3 静定平面刚架2.静定平面刚架(frame)简支刚架三铰刚架悬臂刚架ABCDDE静定刚架3-3 静定平面刚架3.静定刚架的计算方法 先求出支座反力,然后采用截面法,由平衡条件求出各杆端的内力,就可画出内力（弯矩,剪力和轴力）图。内力正负号的规定： 轴力以拉力为正；弯矩不定义正负号，只将弯矩图画在受拉纤维的一侧。

16、剪力以对该截面有顺时针转动的趋势为正； 轴力图与剪力图可画在杆件的任一侧,须注明正负号。原则上与静定梁相同3-3 静定平面刚架4.三铰刚架支座反力的计算 根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力由X =0考虑整体平衡考虑D 铰右侧部分平衡5.内力符号脚标第一个脚标: 内力所属截面;第二个脚标: 该截面所属杆件的另一端。3-3 静定平面刚架例3-5 试作图示静定刚架的内力图。 1. 求反力48 kN42 kN22 kN2. 分段作弯矩图(单位：kN*m)12619248MCA如何求?14412刚结点力矩平衡条件3-3 静定平面刚架由弯矩图=剪

17、力图由剪力图=轴力图3. 作剪力图4. 作轴力图刚结点投影平衡条件3-3 静定平面刚架例3-6 试作图示三铰刚架的内力图整体对A、B取矩，部分对C取矩。20808020求反力只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。3-3 静定平面刚架关键是注意：取斜杆对杆端取矩求剪力这样可不解联立方程3-3 静定平面刚架例3-7 试作图示刚架的弯矩图基本部分附属部分3-3 静定平面刚架弯矩图如何?3-3 静定平面刚架3-3 静定平面刚架第三章作业：3-2 ， 3-4， 3-8，3-153-16， 3-18，3-24要求有解题思路，步骤。3-3 静定平面刚架例3-8 试作

18、图示静定刚架的内力图。（不讲） 解：(1) 求支座反力。由由由得得得3-3 静定平面刚架1)作M 图取杆件AC隔离体由由得3-3 静定平面刚架(2) 求各杆端的内力。取BD杆为隔离体3-3 静定平面刚架 关键点：求出各杆端（各杆与结点的联结处）的内力，求内力的方法与梁的内力计算方法相同。2）作剪力图：取AC杆为隔离体或由 由得3-3 静定平面刚架取AC杆为隔离体 由3-3 静定平面刚架取CD杆为隔离体由由得3-3 静定平面刚架取BD杆为隔离体作出剪力图为： 3-3 静定平面刚架取刚结点D为隔离体3）作轴力图：取刚结点C为隔离体由得由得由得由得3-3 静定平面刚架 由内力图的外观校核。杆上无分布

19、荷载FS图为水平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。作出轴力图为： (3) 内力图的校核。 首先进行定性分析。3-3 静定平面刚架 进行定量的数值检查取CDB部分为隔离体可见平衡条件均满足，计算无误。3-3 静定平面刚架（1）求支座反力 （2） 求各杆端的内力作M 图取AD杆为隔离体 例3-9 试作图所示刚架的内力图解：（右侧受拉）由3-3 静定平面刚架取ADC部分为隔离体取EB杆为隔离体由 ，有 由 ，有得得（右侧受拉）3-3 静定

20、平面刚架用叠加法做弯矩图为： 由取EB杆为隔离体得（右侧受拉）3-3 静定平面刚架取AD杆为隔离体， 2）作剪力图得由3-3 静定平面刚架取DE杆为隔离体由由得3-3 静定平面刚架由MB=0 ，得取EB 杆为隔离体取结点B为隔离体由于EB杆上无荷载, 有由y=0 ，得3-3 静定平面刚架作出剪力图为：取AD杆为隔离体 3）作轴力图FS图(kN)3-3 静定平面刚架取刚结点D为隔离体由Y =0 得由X=0 得由于是上无荷载，故取EB杆为隔离体（拉）（拉）3-3 静定平面刚架作出轴力图为：3-3 静定平面刚架(3) 校核取CDEB部分为隔离体3-3 静定平面刚架截取结点D隔离体 由平衡条件X=0,

21、 Y=0及M=0 检查均满足，故计算无误。3-3 静定平面刚架例3-10 试作图示三铰刚架的内力图。 解 根据三铰刚架的特点，先考虑整体平衡，求出一部份未知反力，再考虑局部平衡就可以求出全部的支座反力。(1) 求支座反力考虑整体平衡，由X =0水平反力为：FxA=FxB ，具体数值尚为未知。 3-3 静定平面刚架再由：3-3 静定平面刚架考虑C 铰左侧部份平衡因而3-3 静定平面刚架 (2) 作内力图，求出各杆端的内力然后连线成图。(3) 校核 截取结是D 和E , 可判断其满足平衡条件,计算无误。 3-3 静定平面刚架 作弯矩图的根据弯矩图的形状特征（微分关系） 无荷区段弯矩为直线，铰处弯矩

22、为零2. 刚结点力矩平衡3. 外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)4. 特殊部分(悬臂部分,简支部分)5. 区段叠加法作弯矩图6. 利用对称性弯矩图的绘制是结构力学的基本功3-4 少求或不求反力绘制弯矩图不经计算画图示结构弯矩图FP3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 5kN304020207545例3-8 绘制图示刚架内力图其他内力图自己画3-4 少求或不求反力绘制弯矩图例3-9 绘制图示刚架弯矩图FPFPFPFPaFPaFPaFPaFPaFPa2FP2FP3-4 少求或不求反力绘制弯矩图FByFAyFAx602401804040 M图kN m.3-4 少求或不求反力绘制弯矩图FPaaaaaFPa

23、FPaFPaFPa2FPa平行2FP3-4 少求或不求反力绘制弯矩图1.静定结构的基本特性 静力特征：静定结构的全部反力和内力都可以由平衡条件完全确定而且解答是唯一的。超静定结构在同一荷载作用下，满足平衡条件的解答可以有多种，必须考虑变形条件后才能获得唯一的解答。 几何特征：静定结构是几何不变且无多余联系的体系。超静定结构是几何不变且有多余联系的体系。 静定结构的基本静力特征是满足平衡条件的解答是唯一的。3-5 静定结构的特性2.静定结构的一般特性 静定结构除上述基本特性外，还有下述几点一般的特性： (1) 温度变化、支座移动以及制造误差均不引起静定结构的内力。温度变化（t2t1）支座移动制造

24、误差3-5 静定结构的特性(2) 若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其他部分将不受力3-5 静定结构的特性(4) 静定结构的内力与结构中各杆的截面刚度无关。 (3) 在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分之外的反力、内力不变3-5 静定结构的特性3. 结构的对称性 对称结构是指其几何形状与某一轴对称，以及结构的物理特性也与该轴对性的结构。 对称结构在正对称荷载作用下，其反力是对称的，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的，其位移也是对称的如图所示。3-5 静定结构的特性3-5 静定结构的特性 对称结构在反对称荷载作用下,其弯矩、轴力是反对称的，其位移也是反对称的

25、, 而其剪力图则是对称的。3-5 静定结构的特性 利用对称性可以使对称结构的计算大为简化。只需计算结构一半就行了。3-5 静定结构的特性 注意： 在超静定结构中，要求结构的几何形状、支撑和刚度分布都对称时才为对称结构。 在静定结构中，只要结构的几何形状、支撑对称即为对称结构。静定结构的内力与结构中各杆的截面刚度无关。 3-5 静定结构的特性 1.图1a 和图1b两个承受相同的荷载的悬臂梁, 其截面刚度不同，但内力图是一样的。一、判断题 2.图2所示结构在承受所示荷载的状态下，链杆AC 和BC 均不受力。图1 图2 自测题 二、选择填空 2. 比较图a、图b所示两种情况：其内力_，B支座水平位移 。 1. 在温度改变的影响下，静定结构将： A. 有内力、有位移 B. 无内力、有位移 C. 有内力、无位移 D. 无内力、无位移 ( )BA A. 相同，不等 B. 不相同，不等 C. 相同，相等 D. 不相同，相等 自测题 3. 图示刚架AD中截面C 的弯矩等于（ ）。 A. （左拉） B. （右拉） C . （左拉） D. （右拉） A 自测题4. 图a所示结构弯矩图形状