思修说课课程教案(爱国主义)

1、20162017学年度第一学期章节2.2以爱国主义为核心的民族精神授课班级2017级数学教育1、2班授课时间2017年11月11日授课类型理论学时数2学时教学目的1、掌握爱国主义的科学内涵和基本要求2、了解中华民族的爱国主义优良传统3、理解爱国主义的时代价值教学重点和难点重点：1、爱国主义的科学内涵2、爱国主义的时代价值难点：如何实现从爱国情感到爱国觉悟和爱国行为的升华教学（具）准备多媒体课件教学方法启发式、讨论法教学主要内容、爱国主义的科学内涵二爱国主义的传统三、爱国主义的时代价值教学过程设计备注一、导入新课案例分析一钱学森的爱国心二、讲授新课（一）爱国主义的科学内涵观看爱国主义教育电影一一

2、战狼二赏析讨论：个人英雄主义与民族英雄主义？提问第一，爱国主义首先表现为爱国情感，是一种热爱祖国和民族的深厚情感。第二，爱国主义是基本的思想观念，是一种正确认识和处理个人与祖国关系的崇高觉悟。第三，爱国主义是公民应当遵循的基本行为规范，是一种道德要求、政治原则和法律规范。（二）爱国主义的优良传统（图片）案例：打砸在华日本商店是正常的爱国行为吗？（摒弃狭隘民族主义、理性爱国）1、热爱祖国矢志不渝：“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之”“位卑未敢忘忧国报国之心，死而后已。2、天下兴亡匹夫有责：“天下兴亡、匹夫有责”、“先天下之忧而忧、后天下之乐而乐。3、维护统一反对分裂：“民族团结和睦是我国各族人民的

3、共同心愿。统一是我国历史发展的主流。启发学生寻找个人与祖国关系，得出结论启发学生联想了解的爱国事迹寻找身边的爱国4同仇敌忾抗御外侮：“中华民族爱好和平与自由，但决不能忍受外来的侵略和压迫。面对外来侵略，各族人民总是能团结一致，同仇敌忾，奋起反抗。”事迹学生总结本堂课案例汶川地震等自然灾害时候爱国举措1、爱国主义是中华民族继往开来的精神支柱2、爱国主义是维护祖国统一和民族团结的纽带3、实现中华民族复兴的动力4、实现人生价值的力量源泉三、课堂小结回顾爱国主义的内涵、爱国主义的传统、爱国主义的时代价值四、布置作业发现身边的爱国英雄，撰写一份爱国英雄的事迹知识，不足的教师补充板书设计一、爱国主义的科学

4、内涵二、爱国主义的优良传统三、爱国主义的时代价值（）爱国主义是中华民族继往开来的精神支柱（二）爱国主义是维护祖国统一和民族团结的纽带（三）爱国主义是实现中华民族复兴的动力（四）爱国主义是个人实现人生价值的力量源泉教学反思Se-m-章节1.2复平面上的点集1.3复变授课班级2015级数学教育班授课类型理论函数授课时间20年月曰学时数学时教学目的1熟悉平面点集基本概念，熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域2对复变函数概念有初步了解教学重点和难点重点：区域的概念.难点：复变函数概念的理解.教学（具）准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、平面点集的几个基本概念_、复变函数的概念教学过程设

5、计备注一、导入新课1提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有（无）界集概念.2回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集.二、讲授新课（一）平面点集基本概念1点集的基本概念z的p-邻域,z的去心邻域00聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界（3）闭集、开集；有界集、无界集（4）区域、闭域充分理解上述定义，得出以下结论：邻域为复数列与极限论的基础1）内点必为聚点；2）聚点可能属于E，可能不属于E;3）孤立点必为边界点；4）有边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集.例17（1）带形区域yImzy（图1-3）；（2）同心圆环区域r|z|R

6、（图1-4）12TO77777777777777P=ili图1-4此部分内容师生共同讨论完成图1-32若当曲线图1-5非简单曲线图1-6简单曲线图1-8简单闭曲线（二）复变函1定义（图1-11）单值W=zW=z2多值w=Argz,w=nz图1-112代数式w=u(x,y)+iv(x,y)，指数式w=P(r,0)+iQC,0)对于若当曲线，给出图形举例，省去繁琐而抽象的定义赘述例1-8设有函数w=z2,试问它把z平面上的下列曲线分别变成w平面上的何种双曲线x2-y2二4.解设z二rCos0+isin0)w二z2曲线？(1)以原点为心,2为半径，在第一象限例的圆弧；倾角0=彳的直线；-r(cosQ

7、+isinQ)J则R-r2,Q-20(1)对应w平面的图形为以原点为心，4为半径，在u轴上方的半圆周(2)射线q-竺w-z23=x2-y2+2xyi，故u=x2-y2，所以在w平面上的像为直线u二4三、课堂练习设函数w-z2+2,当z-x+iy时当z-rei0时,w分别写成什么形式？四、课堂小结若当曲线与区域的概念；复变函数的概念五、布置作业P4310、11对比数学分析中函数的概念，找到异同点解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述提示学生前两题考虑模与辐角，三题考虑代数关系，师生共同讨论完成学生总结本堂课知识，不足的教师补充板书设计Ate-M-章节1.3复变函数(_)1.4复球面与无穷远

8、点授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰0,3S0,Vz：0z_zo0注：zTz0指z沿四面八方通向z的任何路径趋近于z0,350,Vz:zTz0(x,y)t(x0,y0)有|f(z)(a+ib)=|lu(x,y)a+ilv(x,y)b,则|u(x,y)即limu(x,y)=a,limv(x,y)=b(x,y)t(x0y0)(x，y)t(x0y0)5的相关定义v(x,y)-0,350,Vz:0(x,y)T(x0，y0)(x，y)t(x0y0)有|u(x,y)a和|v(x,y)b于是u(x,y)a+v(x,y)b2即limf(z)zTz0zz00,350,Vz:zTz0例19证明f(z)

9、=丄2iVz5有|f(z)f(z&（z丰0）在原点无极限，从而在原点不连续.书上的证明过程比较简洁，不易解f（z）=丄1(z+z)(z-z)zz=2RezImz.设z=r(cos0+isin0)，则理解，将详细证明过程板书演示”()2r2cos0sin0fz=sm20=1,沿=扌趋近原点.极限不存在，故在原点不连续0,沿e=0趋近原点例1.10设limf(z)=,则fQ)在z0的某去心邻域内有界.使f(z)0,350,Vz:有zTz0析：要找到某一MzTzzz0f0-耳|.在此式中想解出If(z)M，需要利用绝对值不等式f(z-hl，解出f(z)0，由limf(z)=f(z)有V0,350,V

10、z:有f(z)f(z)zTz000想证If(z)0利用绝对值不等式f(z)-f(z)|f(z)(z0)即可.只需取=此题过程由学生完成.zTzzZ0-；8g的去心邻域丄z+g3相关结论：复平面以点g为唯一边界点，扩充复平面以点g为内点，且它是唯一无边界区域.三、课堂练习提问：如果设z二x+iy，可否证明得出相应结论？两道例题由教师分析解题思路，证明过程由师生共同完成设函数fC)=r+y2若z丰0试证：fQ在原点不连续.、0,若z=0四、课堂小结复变函数极限和连续的8-5语言，复球面与扩充复平面的概念五、布置作业P44-14、15提问：8是否可取其他值？只要取8-Ifz0都可证明学生总结本堂课知

11、识，不足的教师补充板书设计Ate-M-章节2.1解析函数的概念与柯西-黎曼方程授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1掌握复变函数的导数与微分的概念2了解解析函数的概念，掌握判断解析函数的方法3培养学生类比、归纳的能力教学重点和难点重点：解析函数的判断方法难点：解析函数必要、充要条件定理的证明教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容、复变函数的导数与微分二、解析函数及其简单性质三、C.-R方程备注教学过程设计一、导入新课复变函数研究的主要对象为解析函数，它是一类具有某种特性的可为函数，本节我们来研究这类函数和它的性质.二、讲授新课（一）解析函

12、数Az1导数广(z2二limf+Az)一f)0zTz一AzTO2微分df(z)=ff(z)dz结论：（1）在一点可导o可微可微n连续例21证明f（z）=z在z平面处处不可微提问数学分析中证Af=z+Az-z=z+山-z=竺，当Az分别取实数和纯虚数时/极限不同，AzAzAzAz则f（z）=z极限不存在，从而在z平面处处不可微.例2.2求f（z）=（z2-4z+51的导数Az导数与微分的概念，类比得出复变函数相关概念（二）解析函数及其简单性质解析函数：w=f（z）在区域D内可微，则称fQ为D内的解析函解析”概念解释:fQ在z解析：f（z）在z的某一邻域内解析;fQ在区域D解析：fQ在区域D可微；

13、fQ在闭域d解析：fQ在包含闭域D的区域解析.经过上述解释，可得以下结论：fQ在z解析nf(z)在z可微；00(2)fQ在区域D解析ofQ在区域D可微奇点：不解析点(无定义、不连续、不可导)例2.2的求导法柯西-黎曼方程则和数学分析中C.-R方程的引出一样，由学生完假设w=fQ=u(x,y)+iv(x,y)是复变函数z二x+iy的一定义在区域D内的函数当二元实函数u(x,y),v(x,y)给定时，此函数也就完全确定一般说来，如果函数u(x,y)v(x,y)相互独立，即使函数u(x,y)v(x,y)对x与y所有的偏导数都存在，函数fQ通常仍是不可微的例如，w二z二x-iy处处连续，并且u=x,v

14、=-y对x与y的一切偏导数都存在且连续，但w=z却是一个处处不可微的函数.提出想法：如果函数是可微的，它的实部u(x,y)与虚部v(x,y)应不是独立的，而必须适合一定的条件，下面我们来探讨这种条件。探讨：若f0在一点z=x+iy可微，则有(2.1)(2.2)熟练掌握解析的概念(2.3)fQ=limfj)-fQ)ztoAz设Az=Ax+iAy,f(z+Az)-f(z)=Au+iAv，则(2.1)变为fQ=limAu+iAv心toAx+iAyAyO先设Ay=0,Axt0，贝U(2.2)式变为广(z)=lim+ilim竺AxtOAxAxtOAx即广(z)=竺+i空OxOx再设Ax=0,Ayt0，则

15、(2.2)式变为广(z)=-ilim竺+lim色Ayt0AyAyt0Ay广(人.dudvi1(2.4)比较(2.3)与(2.4)得出(C.-R.)du_dvdu_dvdxdy，dydx上述方程称为柯西一黎曼方程，简称为C.-R.方程.函数若f0在一点z二x+iy可微必要条件：fQ在(x,y)满足C.-R方程.充要条件：u(x,y)v(x,y)在(x,y)可微；fQ在(x,y)满足C.-R.方程.充分条件：u,u,v,v在(x,y)连续；fQ在(x,y)满足C.-R.方程.xyxy函数若fQ在区域D解析充要条件：u(x,y)v(x,y)在区域D可微；fQ在区域D满足C.-R方程.充分条件：u,u

16、,v,v在区域D连续；f(z)在区域D满足C.-R.方程.xyxy求导公式广u+ivTOC o 1-5 h zxx例23讨论函数fC)=z2的解析性解u(x，y)=x2+y2,v(x，y)=0，故u=2x,u=2y,v=v=0.又这四个偏导数xyxy|2只在z二0可微，但在整个z平面上处处不解析.在z平面上处处连续，则f(z)二例2.4讨论函数f(z)=x2iy的可微性和解析性.解u(x，y)二x2,v(x,y)二-y故u二2x，u二v二0,v=-1/要满足C.-R.方程/必xyxy须x=2，故仅在直线x=2上满足c.-r方程，且偏导数连续，从而fo仅在直线x一2上可微，但在z平面上处处不解析

17、.并且ff(z)4=(+iv)丄=一1x=xxx=22学生分组讨论，完成证明过程，体现师范学生的三、课堂练习试证函数f(z)=exCosy+isiny)在z平面上解析，且fQ=f(z).四、课堂小结示范性函数在某点可微的必要、充要、充分条件;函数在某区域的充要、充分条件五、冷直作业P903.4、5、81=DrOB掌握函数解析性的般方法，由学生总结步骤El?制g州压念SAte-M-章节2.2初等解析函数授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1掌握指数函数和一角函数的性质，并掌握其与实变函数的异同2会利用解析函数的性质解决一般复数性问题教学重点和难点重点：指数

18、函数、一角函数的性质.难点：复函与实函相应知识的不同.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法、指数函数教学二、三角函数主要内容三、双曲函数备注教学过程设计一、导入新课上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中，本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广，会得到一些性质，其中有与数学分析不同的新性质，利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。二、讲授新课（一）指数函数1定乂ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)2性质ez=ex,argez=y,ez丰0,().ez=ez;1,e-z=ez学生回不满足Rolle定理，满足罗比达法则.答;给出基本（二）三角函数周期和周期的概eizei

19、zeiz+eiz丄定乂sinz=,cosz=2i2教学设计：由欧拉公式eiy=cosy+isiny,e-iy=cosyisiny启发学生思考怎样求出cosy和siny，将y以复数z代替，便得到正余弦的定义.2性质(sinz)=cosz,Cosz)=-sinz；念，证明由学生完成，强调与数分中不同;（4）举例说明;回忆sinz是奇函数，cosz是偶函数，并满足三角恒等式;sinz和cosz都以2n为基本周期;sinz的零点为kn(keZ)，cosz的零点为k兀+殳。eZ);2sinz和cosz在复数域无界.(三)双曲函数定义双曲正余弦sinhz=t,coshz=记忆方法：正余弦定义中去掉所有的i

20、即可.例25求sinG+2i)的值解in(112i)=ei(1+2i)-e-G+2i)=e-2+i-e2-isin+1=2i_2ie-2(cos1+isin1)-e2(cos1-isin1)2ie-2+e2._e-2e2-sin1+i-cos122=cosh2sin1+isinh2cos1例26VzeZ，若sin(z+e)=si=sinz,贝忱=2k兀,keZ解由已知有sin(z+w)-sinz=0，即2cos于是sin-=0所以-=k兀则e=2k兀,keZ.22三、课堂练习利用定义证明sin(z+z)=sinzcosz+coszsinz121212四、课堂小结指数函数与三角函数的性质，与数分

21、的不同之处五、布置作业P9110P92-13、14数分相关知识,Rolle定理和罗比达法则，由学生验证验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验证;(4)求解有难度，教师板演一个，另一个由学生完成;(5)反例cosiy无界，强调与数分中不同EL/制g州压念SAta-M-章节2.3初等多值函数授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1明确对数函数和一般指数函数的概念2会求一个复数的对数和复指数教学重点和难点重点：复对数的求法.难点：将一般指数函数归为求解复对数.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法i教学、对数函数主要内容二、一般指数函数备注教学过程设计一

22、、导入新课前几节课我们研究了初等解析函数，它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数，这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数对数函数和一般指数函数.提问：指数函数和三角函数的定义.二、讲授新课（一）对数函数1定义指数函数ew=z的反函数即为对数函数，称w为复数z的对数，记为w=Lnz2求解公式推导设z=re9,w=u+iv则ew=z变为eu+iv=rei9，即卩eueiv=rei9,于是有u=Lnr,v=9+2k兀,keZ得出对数公式Lnz=lnr+i+2k一)=lnz+i(argz+2k一)=lnz+iArgz找学生回答定义，巩固上节课的内容主值Inz=Inz+iargzC一argzW一

23、)问“负数无对数”在复数域是否成立？例27Ini=Ini+i一=（一）（一）i+i=(2J(2丿Lni=In例2.8Ln(3+4i)=ln5+iarctan+2一iQeZ)3（二）一般指数函提示注意区别Ln与In在设z,w时，让学生思考设代数式还是指数式，1定义称w=azGH0,X）为一般指数函数.学生讨论完成2求解方法W二az二eLnaz二ezLna例29(1)ii二eLnii=eiLni二eln1+i(2)21+i二eG+i)Ln2二e(1+i)lln2+i(0+2kK)l=eGn2-2k兀Li(ln2+2k兀)=e(in2-2kR)(cosln2+isinln2)三、课堂练习负数也有对数

24、，1.求Ln(3+4i)强调与实变函数的不同之处2.解方程ez二1+打icosz+sinz二0(4)1+ez=03.试求（1+J及3i之值.四、课堂小结例2.8由学生完成，并复习主辐1对数函数的求解方法角的求法2-般指数函数的求解方法.五、布置作业P9320、24对比高中数学中的对数恒等式，提示注意区别Ln与ln由学生板演，教师点评学生总结本堂课知识，不足的教师补充Se-m-章节3.1复积分的概念及其简单性质授课班级2015级数学教育班授课类型理论教学目的1充分理解复积分的概念授课时间20年月曰学时数学时2会求简单的复积分3培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神教学重点和难点重点：复积分的

25、计算.难点：参数思想.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法一、复积分的定义教学二、复积分的计算主要内容三、复积分的性质四、积分估值教学过程设计备注一、导入新课复积分是研究解析函数的一个重要工具，积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问:在数学分析中积分是如何定义的？分几个步骤求解？定积分的求法：二、讲授新课分割，近似求和，（一）复积分的定义取极限1准备知识周线：逐段光滑的简单闭曲线.（2）方向“反时针”为正，顺时针”为负.2定义设有向曲线C:z=zC）,（at邛）以a=z为起点，b=z）为终点，fvz丿沿C有定义顺着C从a到b的方向在C上取分点：a二z,z,z二b把曲线C01n3.4.

26、5.周线的概念为第分成若干个小弧段在从z至lz(=1,2,n)的每一段弧上任取一点.，作和数k-1kkS=Ef(kz,其中Az=znkkkkk=1趋于零时，如果和数s的极限存在且等于j，则称fQ沿c可积，而称j为fQ沿nC的积分，并记为J=Jf(z)dz.C为积分路径.C3注意(1)若J存在，一般不能写成Jbf(z)dz，因为积分和路径C有关.-z当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值k-1二节做准备由学生回忆数学分析中相应概(2)可积的必要条件是有界.念，对应着模拟(二)复积分的计算步骤1.写出积分路径C的参数方程z=zQatW卩,dz=zC)dt2代入Jf(z)dz=JpfLSzOdzCa

27、3计算此实积分.例3.1计算积分JRezdz.(1)连接由0到1+i的直线段连接0到1以及1到C1+i的直线段所组成的折线.解设点1为A，点1+i为B(1)OB:X，z=t+itGt1),Rezdz=J11(L+i)dt=(1+i、y=tcI1tdt=1+0出复积分的概念，教师给予及时评价让学生考虑如果积分路径是顺时xt,z二tGtAB:y=0JRezdz=J1tdt+J1idt=+iC002(三)复积分的基本性质OA:针，结果会怎样？订af(z)dz=aJf(z)dzTOC o 1-5 h zCC2.Jf(z)+g(z)dz=Jf(z)dz+Jg(z)dzCCCJf(z)dz=Jf(z力z+

28、Jf(z力z,C由C和C衔接而成CC1C212Jf(z)dz=-Jf(z)dzc-|Jf(z)dz|=Jf(z)dz|=J|f(z)dsI厂I厂c(四)积分估值定理31fQ连续，存在M0使f(zM，L为C之长，则Jf(z)dzML.三、课堂练习证明J竺dz0，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆内一切点:均符合条件ft)-f(z)8，于是有f(z)0,350,Vg:g-zf|f(g)-f(z)Yp|g-z有充分应dgYpg-z用，让学生给予充分重视.=P5有f(g)-f(z.于是(3.5)不大于dgfdg=2兀p=2ks.定理得证.PYPyp2柯西积分公式的变形式推论3.10=2兀if(z)(z

29、eD)cgz注：柯西积分公式中g=z是被积函数f(g)=在C内部的唯一奇点.若F(g)在Cgz内有两个或两个以上奇点，则不可用此公式.思考题：定理3.9的条件下，若z电D，则丄f理dg的值如何？2兀icgz例35求解周线积分f負)dg,其中C:|g|解g=-i为被积函数在g|2内的唯一奇点，则-g2吐)dg=fc芫)dg=加乙g=-i这一步非常重要，将复杂路径简化解析函数平均值定理定9311若fQ在gzR上连续，则R内解析，在闭圆gz0fQ)=f2kfC+Re血(02兀o0意义：fQ在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.0,使当例36设fQ在|z在|za,且fa.试证:内无零点,而由题设f

30、（z）在|z=R上也无零点于是设F(z)=-)在闭圆|z利用推论可又有题设IFG）=崗-a-.从而有-IfG)aa以求周线积分，此处注R上解析由解析函数平均值定理F（0）=J2KFHi歸2兀o意强调g=z丄-2兀-矛盾.故在圆|z|R内fQ至少有一个零点.a2兀a是C内唯一（三）解析函数的无穷可微性奇点1柯西积分公式的高阶求导公式（1）猜测公式f(z)=舟Jc鬓dg-f(z)=/JC血dg，fa皤JC昌dg广(z)=4dg，猜测八）（z）=签JCdg满足柯西积定理3.12在定理3.9条件下，fQ在d内有各阶导数，且有(n)(z)=J(f冷dg2兀iclg-z人+1(zgD)n=1,2,例37计

31、算J（cos；dz,其中C是绕i周的周线.cziKcosz解JCRe+e-1=兀icosi=兀i2z=i分定理的条件，积分值定理3.12的证明图3.5即证limf(z+Az)f(z)AztO证明n=1情形即证广）=丄J2兀ic(fdg成立(g-z)2即证Az定理3.11fC+Az)-fC)丄jf2兀ic(g-zAzdgd0.设|Az|g-z1Jf(g)_hg-莎Jcdg_z|-|Az|，则盏Jc(g-z-茫)g-z)2dg式证明，由学生分组讨论完成閏J2兀c|g-z-Az|g-z|国签，取一min卩dKd32ML，于是有f_羔JcfQdg提示含至设n_k时结论成立即f（k）（z）_邑J（f（g

32、）2兀7cdg,当n二k+1时，有呢+1多”至少字眼时多用lim八念+Az)-八念)_lim丄AztOAzAztOAzkJAz2兀ic(g-f(g)z-Az+1dgFk+1反证法.-dg0)在右边平面内是调和函数，并求以此为虚部的解讨论完成析函数fQ.四、课堂小结解析函数的等价条件，已知调和函数求解析函数的步骤.五、布置作业P14316(1)(2)第二章内容此为第三个等价定理思考：如果先由C.-R.方程另一个先求出v(x,y)，结果是否一样？学生分组讨论并汇报结果.学生总结本堂课知识，不足的教师补充板书设计Se-m-章节4.0实级数的相关知识授课班级2015级数学教育班授课类型理论授课时间20

33、年月曰学时数学时1掌握实级数的相关概念教学目的2会用比较法、比值法、根值法、莱布尼兹判别法判断级数的敛散性.重点：判断实级数的敛散性.难点：比较法的推论.重点和难点教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学一、实级数的基本概念主要内容二实级娄攵敛散性的判别法备注教学过程设计一、导入新课在讲第四章复级数之前，学生应先掌握基本的实级数知识，由于数学分析中实级数部分没有讲，所以在讲本章知识之前先学习一下相关知识.二、讲授新课（一）实级数的基本概念1数项级数艺u-u+uuTOC o 1-5 h zn12nn=12.n项部分和（前n项和）S二u+u+un12n3收敛limS=S或limYu=S，称s

34、为级数的和.nnnT8nT8-i=1对比数学分析相发散.发散或limS不存在.nnns应知识4几个常用结论几何级数艺arn-1=a+ar+ar2+arn-1+n=1当丹1时，级数发散.广义调和级数艺丄=1+丄+丄+丄+np2p3pnpn=1当p1时，级数收敛.常用送丄发散，送丄收敛.nn=1n2n=1级数艺丄=1+丄+丄+丄+收敛n!2!3!n!n=1（二）判断级数敛散性的方法1判断正项级娄攵敛散性的方法正项级数艺u=u+u+u+n12nn=1，其中u（i=1,2,）为正数i(Dtb较法艺u与艺v,3NgN,VnN有ucvnn+nnn=1n=1若区v收敛，则区u收敛；若区u发散，则区v发散.n

35、nnnn=1n=1n=1n=1推论艺u与艺v,limn=k(0k+只)nnv.nsyn=1n=1n0k+8，则二者有相同的敛散性;若k=0，且艺v收敛，则艺u收敛;nnn=1n=1若k=+8散，则区u发散.nnn=1n=1比值法（达朗贝尔判别法）limJ=lnsUn当l1时，级数发散.根值法（柯西判别法）limn：u=ln当l1时，级数发散.2.判断交错级数的敛散性师生共同讨论几何级数的敛散性熟记以上结论,以后会经常应用交错级数(-l)n-1u=u-un1n=1莱布尼茨法则若limu=0,nnsu，则交错级数收敛.n+13.致收敛函数项级数艺u（x）=u（x）+u（x）+u（x）+在I收敛于和

36、函nn=1数S(x)，Vo,3neN,nN,JI有SC)-SC丄3n2-12n31=丄,lim嘤n!“T81=丄,limnnslimnslimnTg,由于1发散，所以,q攵=0,ln1+推论，师生共同完成而厶攵敛，由比较法推论知亠攵敛.n!n-n!n=1n=1=1,而区丄发散，由比较法推论知区ln1+上发散.nn=1n=1=limn2n+12=11,由根值法知艺n、2n+1n=1n收敛.=lim丄=01,由根值法知丄收敛.lnnnn*lnnlnnnn=1当1=1时级数的敛散性无法确n+1lim匚=lim忑=lim=11,比值法兰也发散.nsUnsnnnsnnnT1且lim1=0，由莱布尼茨法则

37、知艺(-1爲1收敛+nn+1n*nnn=1二、课堂练习判断级数的敛散性艺1艺1n2+1n2lnnn=1n=1四、课堂小结数项级数敛散性的判别方法致收敛部分为大学本科重点，专科选修学生总结本堂课知识，不足的教师补充板书设计板书11实级数的基本概念2实级数敛散性的判别方法板书2练习题教学反思Ate-M-章节4.1复级数的基本性质授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1熟练掌握复数项级数敛散性的判别方法2明确复函数项级数一致收敛的重要性教学重点和难点重点：复数项级数敛散性的三个判别法.难点：复函数项级数的一致收敛性.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学

38、主要内容一、复数项级数的相关知识和判别法二、一致收敛的复函数项级数三、解析函数项级数教学过程设计备注一、导入新课提问：实正项级数的敛散性判别法.如果将实数域扩大为复数域，得到复数项级数和复函数项级数.二、讲授新课（一）复数项级数1基本概念艺a=a+a+a+,a为复数n12nnn=1若limS=S，称级数收敛于S，称S为级数的和，即S=a.nnnTg.n=12判定定理定理41级数艺a=+ib）收敛于a+ibo艺a,送b分别收敛于a,b.nnnnnn=1n=1n=1n=1定理42（柯西准则）级数艺a收敛0,3NeN,VnN,VpeN,有+nn=1ex+a+an+1n+2n+p注：级数艺a收敛nli

39、ma=0；nn=1nns收敛级数的各项必有界;若级数去掉有限项，不影响其敛散性.定理43区|a收敛n级数区a收敛nnn=1n=1例41判断级数送n=11i）_+n2n丿的敛散性.回忆数学分析中级数敛散性的判别法，平行推广到复变函数中定理4.1由学生猜测结果并证明，教师给予及时评价解:艺1发散，虽然送丄收敛，但原级数发散.n2nn=1n=1（二）一致收敛的复函数项级数1基本概念(1)复函数项级数艺f(z)=f(z)+f(z)+f(z)+n12nn=1(2)若复函数项级数的各项在点集E上有定义，且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z，级数均收敛于f(z)，则称f(z)为级数艺f(z)的和

40、函数.nn=1由柯西准则得出2.致收敛(1)对于级数艺f(Z)，如果在点集E上有一个函数f(Z)，使对任给e0，存在nn=1正整数N=N(e)，当nN时，对一切的zeE均有3点注释，注的fQ-s(z)0,3NG)wN,VnN时,对一切zeE,VpeN,均有f(z)+f(z)+n+1n+pI3优级数准则若存在正数列M，使对一切zeE有If(z)M且正项级数n1nnn+1e.n+p介绍绝对收敛和条件收敛的概念区M收敛，则复函数项级数区fQ在集E上绝对收敛且一致收敛.nn-1在闭圆IZr(r1)上一致收敛.n=1n=1例4.1较简单，例42级数1+z+Z2+Zn+4一致收敛的应用.由学生完成定理45

41、设级数区f(z)的各项在点集E上连续，并且一致收敛于f(z)，则和函nn=1数f(z)=艺f(Z)也在E上连续.nn=1定理46设级数另f(z)的各项在曲线C上连续，并且在C上一致收敛于f0,nn=1则沿C可以逐项积分Jf(z)dz=Jf(z)dzCnCn=1解析函数项级数(选学)定理4.7设(1)函数f(Z)在区域D内解析;(2)艺f(z)在D内内闭一致收敛于nnn=1fz）;贝则函数f（z）在区域D内解析;（2）送f（p）（z）=f（p）Q（zeD,p=1,2,）；nnn=1艺f（p）（z在D内闭一致收敛于f（p）（z）.nnn=1二、课堂练习证明级数CJ1收敛，但非绝对收敛i+n1n=1

42、思路：艺cJ1=CJ（nJ乏（J（，利用莱布尼茨i+n1vn1）2+1vn1）2+1n=1n=1n=1法贝证明两个交错级数收敛由CJn1一1=1、一1i+n1让+1Jn2（2n2）n判断级数非绝对收敛四、课堂小结复数项级数敛散性，一致收敛性五、布置作业P1781（2）（3）解释复函数项级数和复数项级数的联系强调收敛和一致收敛的区别，让学生把握区别和联系.解题关键是摆脱乙找正数列Mn定理4.5和4.6也和数学分析中相应的定理平行.收敛的证明相对简单，学生分组讨论完成，绝对收敛由老师给出证明过程学生总结本堂课知识，不足的教师补充板书设计afie-M-章节4.2幕级数授课班级2015级数学教育班授课

43、时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1掌握幕级娄攵敛散性的判定方法2会求幕级数的收敛半径教学重点和难点重点：幂级数收敛半径的求法.难点：阿贝尔定理的证明.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学、幕级数的敛散性主要内容二收敛半径的求法备注教学过程设计一、导入新课幕级数是最特殊的数项级数，相对比与数学分析中的幕级数，相应的知识可以平移过来.二、讲授新课(一)幂级数的敛散性TOC o 1-5 h z定义41具有艺c(z-a)n=c+c(z-a)+c(z-a)2+形式的复函数项级数称n012n=0为幂级数，其中c,c,c，和a都是复常数如果作变换:=z-a，则以上幕级数还012可以写成

44、如下形式(把匚仍改写为z)区czn=c+cz+cz2+n012n=0定理4.8(阿贝尔定理)如果幕级数艺c(z-a)在某点z收敛，则它必在圆n1n=0I内绝对收敛且内闭一致收敛.证(证绝对收敛)设z时所述圆K内的任意定点因为区c(z-a)n收敛，它的各n项必然有界，即有正数M，使c(z-a)nM(nn=0=0,1,2,)这样一来，即有，注意到I兰Mn=0z一a一an为收敛的等比级数.因而兰c(z-a在圆K内绝对收敛.nn=0(证内闭一致收敛)对K内任一闭圆K:z-aPI)上的一切点来回忆数学分析中级数Mn=0(、Pz-ai(、piz-ainnn=0在K上有收敛的优pn因而它在K上绝对且一致收敛

45、,此级数必在圆K内绝对且内P推论49若幕级数c(z-a)n在某点zCa)发散则它在以a为心并通过z的n22n=0圆周外部发散.对于幕级数，在z=a这一点总是收敛的，z丰a时可能有下述三种情况:第一种任意的z丰a，级数艺cC-a)均发散.nn=0例如，级数1+z+22z2+nnzn+第二种任意的z，级数c(z-a)n均收敛.nn=0例如，级数1+z+竺+兰+22nn第三种存在一点z,使cG-a丄收敛，另外又存在一点z，使cQ-a1n2nn=0n=0发散在这种情况下，存在一个有限正数R，使得艺cC-a)在圆周|z-a部绝对收敛，在圆周|z-ann=0=R外部发散.R称为此幕级数的收敛半径；圆|z-

46、a收敛半径R二0(n+1)=limnTgcn+1cn(4)因当n是平方数时，c=1，其他情形c=0.因此，相应有化眉=1或0，于是nnn1(3)1=limnTg=+g,.R=0n!数列jc的聚点是0和1,从而1=1,R=1.n三、课堂练习求下列幕级数的收敛半径艺M(2正nznnn=0n=02n(3)nnZnn=0四、课堂小结幕级数的相关概念以及幕级数收敛半径的求法五、布置作业P1781(1)(2)，P1782收敛半径R=+8级数在收敛圆内绝对收敛，在圆周上不一定收敛收敛圆周上的点不一定收敛，它只是敛散的一个界限补充上极限”定义:给定无穷数列，由它的一切收敛子序列的极限值所成的集合中元糸的最人值

47、.应用定理4.10解决例4.3例题较简单，刖二题由学生完成，第四题教师启发思路，师生共同完成ELZJZ制g州压念S板书11幕级数的敛散性板书22收敛半径的求法例4.3教学反思Ate-M-章节4.3解析函数的泰勒展式授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1掌握解析函数等价条件2会将简单初等函数在某点展成泰勒级数教学重点和难点重点：将解析函数在某一点展成泰勒级数.难点：泰勒定理的证明.教学（具）准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学、泰勒定理主要内容二、一些初等函数的泰勒展式备注教学过程设计一、回顾旧知、导入新课上一节我们了解到，任一个具有非零收敛半径的幕

48、级数在其收敛圆内收敛于个解析函数，本节我们来研究它的逆命题也是成立的，于是得到了解析函数的又一等价定理.二、讲授新课z一aR含于D/则fQ）在（一）泰勒定S定理411设fQ在D内解析，aeD，只有圆K:K内能展成幕级数，fc（z-a丄具中nn=0证设z为K内任意取定的点/存在圆周r:-aP11jf匕心fnQC二J?n2兀ip(=pGn!刁一aPR）使点z含在r此级数称为泰勒的内部由柯西积分公式得f（z）=丄J型c其中2兀i停-zf(C)=f(C)C-a=f(C)C-zC-aC-zC-aCa、i(、=fi=G-a)_(z-a)c-a1z-ac-a1n=0Ca级数，系数的两个形式分别是积其中n=0

49、f(z)=丄J跃-a)厂2k?r(crpn=0勺M,二者乘积一致收敛于是n一致收敛，一a力+i分式和微分式证明关键：利用柯西积分公式=(z-aUfL心n=02?rp(C-a)+1唯一性可设另一展式，证明系数相等即可.（二）一些函数的泰勒展式=艺zn=1+z+z2+1z泰勒定理证明较图4.1定理4.12（解析函数等价定理4）fQ在D内解析Of（Z）在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幕级数，即泰勒级数.(z1n=0丄上(dzn=1z+z2(z|1)1+zn=0Ezn1z2z3=1+z+n!2!3!E(d=1+V2n+1)2!4!E(dz2nzz3z5“/=1(2n)13!5!n=0例44试将函数

50、f(z)=三按z-1的幕展开，并指明收敛区间.z+2-(z+8(z+8解f（z）=z22=172=1cn+3二1-2(-d1z131n=03(z1|3)三、课堂练习将函数f（z）=#按z-1的幂展开，并指明收敛区间.四、课堂小结五个初等函数的泰勒展式五、布置作业难理解，采取分层次教学，有余力学生尽量掌握致收敛部分较难理解唯一性证明由学生完成提问解析函数四个等价定理，重点强调P1797(1)(2)(3)熟记这些公式，在解题中有重要应用强调按照z-1的幕展开，需将函数化成有关z-1的式子EL/制g州压念S板书11泰勒定理证明板书2解析函数四个等价定理例题2.-些函数的泰勒展式五个泰勒展式教学反思A

51、te-M-章节4.4解析函数零点的孤立性及唯性定理授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1会求函数零点及零点的阶2明确零点的孤立性和唯一性教学重点和难点重点：解析函数零点的阶.难点：零点的孤立性和唯一性.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学、解析函数的零点主要内容二、零点的孤立性及唯一性备注教学过程设计一、导入新课在很多实际问题中，往往需要研究使一个函数等于零的点，即求根。本节我们从函数fQ根的分布情况来研究f（z）三0的问题.二、讲授新课（一）解析函数的零点1定义42若f（a）=0，称a为f（z）的零点.2,定义43若f(a)=ff(a)=f(

52、)=-二fCm-i)。)二0,但fCjQz0，称a为m阶零点.3求零点的方法定义法（按定义求各阶导数，带零点，判断哪阶不为零）定理法定理413不恒为零的解析函数fQ以a为m阶零点的充要条件为z-aR内解析，且申（a）H0.fQ)=(z-a)m(z),其中比)在|证必要性f(z)=泌2(3-a)+半啤(z-a)m!vm+1丿za加+1+vm+1丿零点定义对应于数学分析中相应定义只要设乙）=匸（m）（a）-a)+即可.+m!充分性已知fHQ-a)mqQ)，其中申Q)在|0=c+cQ-a)+cQ-a01z-a0,R+8)内解析函数的上一章我们用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数，但某些函数在圆心无意

53、义，无法表成泰勒级数本章研究圆环rz-aR级数表示，并以此为工具研究解析函数在孤立奇点邻域内的性质.二、讲授新课z-aR内表一解析函数级数c+c(z-a)+c(z-a)2+为幕级数，在|0121TOC o 1-5 h z级数+宀丫+作变换q=1后变为cg+cg2+它在材z一az一a)2z一a-1-2(iA0丄+8内表一解析函数,当且仅当rR时,二者有公共收敛区域Ir丿R则二者求和为艺c(z一ann=0+ScG一a)-n=ScG一a丄+一nnn=1n=0ScG一a=ScG一annn=-gn=-g对比两个级数,经过变换后，找此为双asm到两个级数的公(二)解析函数的洛朗展式定理51(洛朗定理)在圆

54、环H:rz-a0,R+s)内的解析函数f(z)必可展成双边幕级数f(z)=艺c(z-a)n，其中c=丄J(fG?dgr为圆周nn2兀ir-a几+in=g共收敛区域，导出双边幕级数的概念2p(rpR)，且展式唯一.证z为H内任一取定点，总存在圆周r:|ga=P和r:$a121P内(如图5-1),因为函数f(z)在2内解析.于是有f(z)=2=丄丿止d$+丄J虫d$2兀ir$z2兀irz$21=P，使得z含22+图5-1上述两积分分别记作和对于，丄J止d$=另c(z-ann=0对于，被积函数止=止z$zafG)1-口Z-an=oza则变为丄J$2艺n-12兀irza1n=1d$=区丄J(f)d$(

55、za)n=11由学生找出洛朗f-n定理和泰勒定理=另宀丁.二者相加即得结果.z-a)n=1洛朗级数和泰勒级数的关系圆是圆环的特殊情形，则泰勒级数是洛朗级数的特殊情形.例5.1求f(z)=_1)(_2)在其解析区域内的洛朗展式解(1)在圆冋1内,|f(z)=士-h士-2的异同之处n=01-丄2n+1丿Zn在圆环12内，-1,1-1y1yzn_n_0n_0znn_02n+ln_1zn在圆环2+8内，2fQ_1y(2V1y1y2ny1y(J1_I_2n1n_0n_0znn_0zn+1n_0zn+1n_1zn解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式基本定义定义51点a的去心邻域K-(J:0|z-R定义5.2

56、fQ在0|z-aR内解析，点a是fQ的奇点，则a为fQ的一个孤立奇点.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式若a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使f(z)在a的去心邻域K-LJ:0|z-a|R内可展成洛朗级数.由学生猜测洛朗级数和泰勒级数的关系，教师给例52f(z)=_1)(在z平面内只有两个奇点z_1,z_2.试求f0分别在0|z-1|1(2)0|z-1(3)1|z-1+8(4)1|z-2|+8内的洛朗展式.解在0|z-11内f(z)_-士+(dr1_-占应(z-心予及时评价n_0(2)在0|z-1内土-y(一d(z-2丄n_0在1|z-1|+8内，fQ)=11z-1(z-1)-1=_

57、1_+丄1z-1z-1n=0C-d=丄另z一1n=1(4)在1|z-2+8内，f(z)=士-(4kt=1一1(-dz-21z-2z-2Q-21+n=0z-2=-1z-2n=0三、课堂练习(-d(一dn=2题比较简单,由学生完成，两题较难，采取引导启发式教学法将z+1、分别在0z2(z-1)z-1|1和1|z-1+8内展成洛朗展式.四、课堂小结双边幕级数；洛朗展式；解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式五、布置作业P2171(1)(2)，P2195从形象上认识孤立奇点的概念两题比较简单，由学生完成,(3)(4)两题较难，采取引导启发式教学法学生总结本堂课知识，不足的教师补充板书设计板书11双边幕级数

58、2洛朗展式定理证明板书2例题3泰勒级数、洛朗级数的关系板书34解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式例题(1)基本概念教学反思Ate-M-章节5.2解析函数的孤立奇点授课班级2015级数学教育班授课时间20年月曰授课类型理论学时数学时教学目的1掌握孤立奇点的二种类型，会判别孤立奇点的类型2培养学生归纳总结的能力教学重点和难点重点：孤立奇点类型的判别.难点：极点阶的求法.教学（具）准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容、孤立奇点的三种类型二、可去奇点三、极点四、本质奇点五、判断奇点类型的方法教学过程设计一、导入新课备注正则部分也叫做孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型，以解析函数的洛朗展式为工具，我们能在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质，本节我们来研究孤立奇点的分类及性质.二、讲授新课（一）孤立奇点的三种类型1.定义53f（z）=艺c（z-a）+艺c（z-aL前后两部分级数分别叫做函数nnn=0n=1fQ的正则部分和主要部分.2孤立奇点分类定义54设a为f0的孤立奇点fQ在a的主要部分为零，称a为fQ的孤立奇点;解析全存fQ在a的主要部分为有限项，设为（c”冷+Cvza人f（z）的m阶极点；fQ在a的主要部分为无限多项，称a为fQ的本质奇点.（二）可去奇点定理