2016高考艺术类考生数学考前突围专题05 导数基础篇解析版

1、2016艺体生文化课-百日突围系列专题五 导数【背一背基础知识】1函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数yf(x)在点x0的瞬时变化率eq o(lim,sdo4(x0) l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f(x0)，即eq o(lim,sdo4(x0) f(x0)(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)的切线的斜率等于f(x0)2函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)于是，在区间(a，b)内，

2、f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)(或yx、y)3基本初等函数的导数公式yf(x)yf(x)yCyxnyx (x0，0)yax (a0，a1)yexylogax(a0，a1，x0)yln xysin xycos xy0ynxn1，n为自然数yx1，为有理数yaxln ayexycos xysin x4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于

3、y对u的导数与u对x的导数的乘积【讲一讲基本技能】必备技能：1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：求函数的增量；求平均变化率；得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数3.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：分析函数的结构和特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导；整理得结果.4.对较复杂的函数求导数时，先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.5.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合

4、函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.典型例题例1已知函数在处的导数为1，则 =A3 B C D【答案】B例2求下列函数的导数.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【练一练趁热打铁】1. 若在R上可导,则（ ）【答案】A2. 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)

5、 导数的几何意义【背一背基础知识】函数yf(x)在xx0处的导数几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)【讲一讲基本技能】必备技能：1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.2. 要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线.3.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线

6、在点处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.典型例题例1函数在点处的切线方程是（ ）A B C D【答案】C【答案】【练一练趁热打铁】1. 已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .【答案】1【解析】试题分析：，即切线斜率，又，切点为（1，），切线过（2,7），解得1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切

7、点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.2. 函数在其极值点处的切线方程为_.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用： eq oac(,1)切点在曲线上； eq oac(,2)切点在切线上； eq oac(,3)切点处导函数值等于切线斜率.3. 已知曲线（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程【答案】（1）；（2）或【解析】导数与函数的单调性、

8、极值【背一背基础知识】1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的

9、最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【讲一讲基本技能】必备技能：1.导数法证明函数在内的单调性的步骤(1)求；(2)确认在内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数2.求函数的单调区间方法一：确定函数的定义域；求导数；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间3.求

10、函数的单调区间方法二：确定函数的定义域；求导数，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性4.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值5. 求函数f(x)在a，b上的最大值

11、和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值典型例题例1已知函数f(x)2lnxx22axa2，其中a0.设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；【答案】【解析】由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增例2设函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若，当时，在区间内存在极值，求整数的值.例3已知函数f

12、(x)x3ax2bxa2(a，bR)(2)若对于任意的a4，)，f(x)在x0,2上单调递增，求b的最小值【答案】（1）b11；（2）. 【练一练趁热打铁】1.函数的单调递增区间是_.【答案】 2. 已知函数x0是f(x)的极值点，则m= ，函数的增区间为 ，减区间为 .【答案】3. 已知函数，（其中）.（1）求的单调区间；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）. 选择题（12*5=60分）1. 若在(1，)上是减函数，则b的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)【答案】C2. 函数的图象如下图所示，则导函数的图象的大致形状

13、是（ ）【答案】D3.曲线在处的切线方程为( )A B C D【答案】 4.如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）A在区间（2，1）上是增函数B在区间（1，3）上是减函数C在区间（4，5）上是增函数D当时，取极大值【答案】C5. 对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A6.已知的定义域为，的导函数，且满足，则不等式的解集是 （ ）A B C（1，2） D【答案】DA、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（

14、0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数 ，在（0,1）上 ，所以在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数研究函数性质时，首先要明确函数定义域.8. 定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】不等式在上恒成立，函数在上为增函数，又在R上为奇函数，函数在上为偶函数

15、，且过和和，函数=的零点的个数为3个.9. 已知函数的单调递减区间是，则（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】，则与是方程的两根，则由韦达定理得，10. 若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C11. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ ）【答案】B12. 对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理填空题（4*5=20分）13. 设函数在内可导，且则_.【答案】14. 已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 【答案】3