扩展Dicke模型的量子相变概论

1、 TOC o 1-5 h z 3扩展Dicke模型的热力学极限性质 1 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 3.1正常相2 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 3.2超辐射相4 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 3.3相变讨论8 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 3.4系统量子纠缠和量子关联133扩展Dicke模型的热力学极限性质早在1954年Dicke23 提出7N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独

2、的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射。押个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原 子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态。由于原 子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以 忽略，但是可以形成相干自发辐射波。他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-radiance)。超辐射态是指原子集体激发的密度与N2 成比例，而不匙，原子是相干辐射的。这样，邸个两能级原子和单模玻色场相互作用的系 统叫做Dick e模型。这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量

3、子 点中的超辐射行为641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为66，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用。Dicke模型中原子看成是由N个相同但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的 上下能级差为.Dicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并且每个原子 的上下能级差为.。其中，第i个原子可以描述成一个自旋12的算符；k = z,土，遵从 对易关系，s =s ； fjs，s = 2s。我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率 z 土 +z为的单模玻色

4、场发生作用，耦合强度为人，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成(3-1)H = ILsi +ara + 工一(ar + a)(si + si) + 习 sisi+1i=10 z-N+- N z zi=1i=1 i =1这里 =1，ar,a是波色产生和湮灭算符，V为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合。原子-波色场相互作用项出现的，云因为是因为偶极子耦合强度最初与/(，v成比例，v是强场体积。强场里原子密度P = NN，因此耦合强度正比于：PN ,带入相互作用项我们利用原子算符的集体算符形式，七三公：；匕三艺七，这些算符遵从一般的角动量对易关 i=1i=1系j , J =JJ，J = 2J

5、。j,m：，；m = -j,- j +1, , j T,j展开，Dicke 态是 J 2和z +z希尔伯特空间可以按照Dicke态j的本征态：jj,m=mj,m,j2jm=j（j+1）jm。上升和下降算符作用在这 些态上得到：J+| j，m = Jj（j +1）-m（m土 1）| j,m 1）；j是 Dicke 态的“共同量子数”， 当N确定后，j取值为123以，N/2，我们选择j的最大值N 2。N个两能级原子系 统可以看成是一个N +1能级的系统，总的赝自选矢量长度j = NQ。利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为人v T（3-2）H = J + afa + (af + a)(J + J

6、) + J20 z.Jn+- N z热力学极限下，原子个数无穷N *，也就是说角动量j *，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度七=州 F/2会发生量子相变。为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个 有效哈密顿量H 1（ H 2），一个h 1描述正常相X* 的系统，另一个h 2描述对称性破缺的 超辐射相XXc。首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示J = bfsj 2 j - bfb, J = J 2 j-btbb, J = bfb - j，并且玻色算符满足对易关系b, bf = 1。将上述变化带入哈密顿量(3-2)，可以得到两类玻色子的哈密顿量 TOC o 1-5

7、 h z H =3 (bfb- j) + Wafa + X (af + a)(bf，1 一 + ；1 -b) + (bfb- j)2 (3-3) 0 N2 j 2 jN3.1正常相 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document .b fbbfb一通过对哈密顿量（3-3）中含j的项做简单的近似处理：因为 -0,所以令1-R 1。2 J2 J我们得到系统正常相的有效的哈密顿量H 1一/2 j 、,亓 八,j 2H= Wafa + （w v）bfb + X； （af+ a）（bf + b） + v Wj（ 3-4）为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角化，

8、引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符:x = -(a t + a) xc时，他们满足非零宏观场。将上面的平移算符带AH-P变换的式子中，可以得到 j = 4k OtJNP：E）,J = V k （虑 d ：N p 此）一J = d t d tNp（dt + d） + N P 2 jz捐=1 一 d td 4NP (d t + d)正按照1 j幂级数绽开至0（1N ），则kd td NPNP 2(d ?+ d )2铝 1 +(dt + d)2k2k8k 2将式子（3-12）代入哈密顿量（3-3），这样我们得到了含有（ct + c）或者（dt + d）的双线性项的哈密顿量H =血 r c +

9、+ 2 N ”弗 :k + 2( p 2 1)d ? d20 k N2(2 Xpkf：Na)(c r + c)4Xa 一 八 八 一 1+ (j- N P 2) 4N 0 P 2印 P v (P 2 2)(d ? + d)2k 2(3-13)(3-14)+ NP(2 k + N p 2) + v p 2(d ? + d )22k 2 Nk (N N p 2)(c ? + c)(d r + d)2 V 2X+ -k+% (N P 2 j) + Na 2 4 N XaM k + Ln 2( p 2 2)2现在用平移算符a，p将h波色算符的线性项消除掉所以2XpTk -4Na = 014(j Np2

10、) JN p 2 jNpv(p2 1) = 0I k02平庸解a=*B=0是满足正常相哈密顿量气的解，这里对超辐射相有意义的解是a = 2那底而/ U + V _ )2 2 _ U 2 + UV 0V u + V )（3-24）（3-25）通过上面的图象3.1，我们可以知道当人叫- V)为我们的超辐射相。对于超辐射相，化简(3-24)可以得到(U + v)(u + V 一)(u 一 V + ) 0系统的基态能量是:=(。2 一) +以 2 一 4列 1 _p 2 + v(P 2 _ 2)2（3-26）+从基态能量出发，临界点也可以通过下面的方程组获得:&：（以,。 N/8以）=0d（E2 （以

11、,6）. N/ap）= 0a = 2邓可与式子（3.15）一致。这样我们得到了一个二阶相变点 TOC o 1-5 h z 可以解得：P 2 = KEI 2u + v入=婀叫7） HYPERLINK l bookmark85 o Current Document C23.3相变讨论热力学极限j T8下，系统用两个有效哈密顿量描述成两相，并给出激发态能量J。在图 3.2中我们给出了激发态能量七关于原子相互作用v和耦合强度力的变化图象，依据无耦合 激发态的性质，上下两支分别对应“原子”与“声子”分支。从图3.2可以看到，耦合强度（-v）接近于临界点七=一20时，声子模式的那一支激发态能量接近于0，即

12、当人一七时， 七0,表明存在量子相变。而匕接近于 8 N 、:2 + (V)2 , S 图3.2：激发态能量七关于原子相互作用v和耦合强度力的变化图象，笔 是正常相的激发态能量，：是超辐射相的激发态能量。d 2在原子相互作用V取不同的值时，基态能量EjN及其一阶导数dIN.ld，二阶导数2关于耦合强度人的变化如图3.3,从左到右，原子相互作用V从1逐渐减小到-5。能量及其一阶导在七连续，而其二阶导数在气的非连续性表现了二级相变现象。需要 特别说明的是，当V = 1时，因为临界耦合强度人c= 0，这时能量二阶导还是连续的。（这（一 V ）里相变点人= ;0；这里避开了区域V里的特殊情况。并且当V

13、 1时，因为利用 c2九 J（rn 一 v）人=一 无法解出实数相变点，所以没有去画出v 1这种情况下的图象。但是如（-rn + V）果利用相变点人= 一一 的话就可以画出V 1时的图象）。c 2图3.3:基态能量EjN （蓝色线）及其一阶导数al %*件（棕色线），二阶导数2 （黄色线）关于耦合强度力的变化图象，这里原子相互作用V从1逐渐减小到-5。或者图3.3为了简单看出，也可以采用下面图3.31的图象，这里三条线分别对应v = 1,0, - 5。图 3.31在热力学极限下，平均玻色子数井，片随耦合强度原子相互作用变化的三维 图象，以及在原子相互作用财不同的值时，角动量% 牛-2随耦合强阪

14、变化的图象我们在图3.4中也给出来了，从左到右，原子相互作用V从1逐渐减小到-5。从图3.4我们可以看到，在临界点七处，角动量JJN从-12突然增大到&2 2，平均玻色子数/N从0突然增大到a 2，出现相变现象。经过相变点之后人 七，可以得到下面可观 测量的解析结果: ata:-=a 2 = NU P 2 七：1。2表格3.1是基态能量EGn，平均玻色子数堂/，角动量N的热力学极限解析分析结果。:,at a:不管是从图34还是表格3，都可以看出平均玻色子数*随随的增大是发散的，而角动J量%随人的增大是收敛的，且收敛于0。图3.4：平均玻色子数个一随耦合强度入和原子相互作用变化的三维图象；原子

15、相互作用财不同的值时（1逐渐减小到-5），角动量%-2随耦合强度顷 化的图象。或者图3.4为了简单看出，也可以采用下面图3.41的图象，这里三条线分别对应V = 1,0, - 5。图 3.413.4系统量子纠缠和量子关联我们知道，量子纠缠和量子相变有紧密关系，纠缠可以来探测量子相变【87】。对于多体系 统，量子态的纠缠是不容易表征的，Dicke多原子集体模型中，所有自旋完全一样，concurrence 更合适来表征两体纠缠，不依赖所选择的两个自旋。因此我们将讨论多原子与玻色场多体系 统中任意两个原子的量子纠缠-concurrence o 量子纠缠就是子系统之间的某种量子关联，它会影响强关联系统

16、的物理性质，尤其是量子相 变。量子相变发生在零温时，这时系统处于基态，是一个纯态，其子系统之间的关联与量子 纠缠有很大的关系。量子纠缠是一种奇特的纯量子现象，反映了量子理论的本质一相干性， 空间非局域性，广泛应用于量子通信和量子计算中。从实验观测角度来说，量子纠缠是测量 中体现的关联，这种关联具有相干性，是量子关联，不是经典关联。由于Dick e模型的N个自旋的对称性，所以任意两个自旋的约化密度矩阵在基矢空间 而0),|01,|10),|11这里b1) = 1G0) = -|0)中总是可以表示成以下的X形式:P12V+00T u00 u *y 000 0 V（3-28）N2 -2N + 4 J

17、 2i土4（N-1）：J ;v =土4 N（N -1）其中矩阵元的具体表达式为：3=二匕J1j,N（N-1j这里，= AB + BA o+J 2 = J2a =x,y,z a2对于两自旋X形式的密度矩阵，量子关联QD是可以被解析求解的。按照陈庆虎的文章中的计算，我们可以推导出（3-28）式中约化密度矩阵的矩阵元: v =04,0 = = |32&_|32）,(3-29)按照陈庆虎文章中推导出的量子关联QD和经典纠缠C的表达式D = -P2 1nP2-（l-P2）ln（L-P2）+ 202 G-82）ln2|32 （1一片，+ 04 + （1片）In 04 +（1一|32）+ln2Z） = 一。

18、2 In （3 2 一一 3 2G一 P 2 ）一In 2这里为了表述简单，我们将含有6 2的根式重写为：（2021+16。402。对于我们的扩展的Dicke模型，在图3.5中我们给出了量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一 介导6（QDg 和C的一介导8（C）/办关于原子相互作用u和耦合强度入的三维变化图象:图3.5:量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一介导5(QD)：办和C的一介导合(C).；办关于原子相互作用v和耦合强度力的三维变化图象。或者按照人人，时，为正常相的猜想，可以得到下面图3.51 c图 3.51N个自旋的体系中，对i, j自旋以外的其他自旋自由度求迹，可以得到第i和j自旋的约化密 度矩阵P 。定义自旋-翻转密度矩阵P =G b）P * G b ），那么i, j自旋的i, ji, jy y i, j y yconcurrenc e定义为Ci, j=max（3-27）人是P P的本征值，并且人2人。如果C 0，则自旋是纠缠的。ii, j i,jii+1i, j对于N个自旋对称态的系统，p 和七与自旋i, j的选择无关，以下忽略角标。将集体算符带入上面纠缠的定义式，可以得到任意两个自旋之间的量子纠缠concurrence为Cn = (n- 1)c = 1 -4( J 2),/N。原