机械振动原理（专业应用）

1、第5章 机械振动1基础教育a 振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动本章介绍人们易感知的机械振动。广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。如：物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。2基础教育a5.1简谐振动的描述5.2 简谐振动的合成5.3 阻尼振动 受迫振动5.4 非线性振动简介 本章内容：第5章 机械振动3基础教育a一、简谐振动 弹簧振子：弹簧 物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧质量忽略不计物体可看作质点 5.1 简谐振动的描述1. 受力特点2. 动力学方程动力学方程其中 为 固有频率4基础教育

2、a其通解为：3.简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程振动方程速度方程加速度方程5基础教育a2、平衡位置是指合外力为零的位置。1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置 的回复力；物体具有惯性。说明：3、判断物体是否作简谐振动的依据:（1）物体所受的合外力与位移正比但反向； （2）满足位移与时间有余弦（或正弦）关系。4、简谐振动位移、速度、加速度都随时间t做周期性变化。5、任何振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。6基础教育a二、简谐振动的参量振幅 A: 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。频率：角频率 :周期T ：物体完成一次全振动所需时间。单位时间内振动的次数

3、。7基础教育a弹簧振子：单摆：固有周期、固有频率、固有角频率8基础教育a附：单摆角频率及周期的推导：结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。摆球对 C 点的力矩转动定律：令则比较弹簧振子与单摆的共同特征：力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成正比并反向。9基础教育a月有阴晴圆缺，月相变化图人有悲欢离合，此事古难全。相位：(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位 (2) 是 t =0 时刻的相位 初相但愿人长久，千里共婵娟。 10基础教育a相位的意义: 相位确定了振动的状态相位每改变 2 振动重复一次,相位在 2 范围内变化,状态不重复.相位差 11基础教育a 同相和反相(同频率振动)当 =

4、2k 两振动步调相同,称同相。当 = (2k+1) 两振动步调相反 , 称反相。xto同相Tx1A1x2A2xto反相Tx1A1x2 A212基础教育a 超前和落后若 = 2- 1 0 , 则 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。由初始条件求振幅和初相位 t xOA1-A1x1- A2A2x213基础教育a相位差 小结：1.当=2k ,k =0,1,2,两振动步调相同,称同相2.当 = (2k+1) , k = 0,1,2. 两振动步调相反,称反相.2 超前于1 或 1滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。 3.14基础教育a底面积为S的长方体木块m浮于水面

5、，水面下a，用手按下x 后释放，证明木块运动为谐振动，并计算其振动周期。任意位置x处，合力例证明：木块平衡时此合力为回复力：15基础教育a例已知A=0.12m，T=2s，一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。求(1)初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x = - 0.06m处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。解（1）设其运动方程为则速度和加速度分别为16基础教育a当t=0时，（2）当t = 0.5s时17基础教育a（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物

6、体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则18基础教育a如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变为l = 9.8cm；t = 0时，x0= 9.8cm， v0= 0 确定平衡位置： mg=k l 取为原点 令向下有位移 x, 则回复力XOxm例求（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方 程，并计算振动频率。解该振动为简谐振动，则19基础教育a由初始条件得由x0=0.098m知振动方程为：(2)按题意 t = 0 时 x0 = 0，v0 0对同一谐振动计时起点不同,不同，但、A不变固有频率XO

7、xm20基础教育a(1)试证明物体m的运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方程。轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。(1)若物体m离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有例求解21基础教育a联立式解得所以，此振动系统的运动是谐振动.即(2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率故振动周期为 22基础教育a振动系统的振动方程为(3)依题意知t0时，

8、，可求出23基础教育a三、简谐振动的旋转矢量表示法t = 0 x t+t = tox在y轴上的投影描述电振动。在x轴上投影描述机械振动；习惯上24基础教育a用旋转矢量表示相位关系同相反相25基础教育a谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系avTxtoT/4T/426基础教育a由图可见：x t+o超前超前27基础教育a例由图可知求一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t = 0时，位移为 0.06m，且向 x 轴正方向运动。（2）在x = - 0.06m处，且向 x 轴负向方向运动时，物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间 （1）初相； (1) 根据题义作图如下解(2

9、)所转角度MONMN28基础教育a例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点E和F，历时2s，并且在E，F两点处具有相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过F点。解EFOx质点运动的周期和振幅。求由题意可知，EF的中点为平衡位置，周期为T = 42 = 8 (s)设平衡位置为坐标原点，则设 t = 0 时，质点位于平衡位置，且向 x 轴正方向运动，则由旋转矢量可知：t = 1 时, 质点位于F点, 所以29基础教育a已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.例求振动方程。解用旋转矢量法辅助求解:30基础教育av的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知31

10、基础教育a以弹簧振子为例某一时刻，谐振子速度为v，位移为x四、简谐振动的能量机械能（简谐振动系统机械能守恒）32基础教育a一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T 内的平均值定义为：则：谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。33基础教育a由起始能量求振幅EptoETxotEk34基础教育a动能势能情况同动能机械能简谐振动系统机械能守恒35基础教育a（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为课堂练习： 36基础教育a一、同频率同方向简谐振动的合成分振动 :

11、合振动 :结论：合振动 x 仍是简谐振动5.2 简谐振动的合成37基础教育a合振动是简谐振动,其频率仍为合振动 ：旋转矢量法处理谐振动的合成38基础教育a若 A1=A2 , 则 A=0讨论：若两分振动同相：若两分振动反相:合振动加强合振动减弱39基础教育a（1）0 ；（2）4cm；（4）8 cm。 两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：课堂练习： （3） ；40基础教育a二、同方向不同频率谐振动的合成 1. 分振动 : 2. 合振动 :当 时, 当 时，合振动振幅的频率为:A 有最大值A有最小值结论：合振动可看作振幅缓变的简谐振动41基础教育a拍: 合振动忽

12、强忽弱的现象拍频: 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1| xtx2tx1t3. 拍的现象： 42基础教育a2.当 时：消去参数 t 得轨迹方程分振动三、同频率互相垂直的简谐振动的合成讨论：1.当 时：43基础教育a质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。3.当 时：4.当 时： 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。44基础教育a = 0 = /2 = 3/4 = /4 = 5/4 = 3/2 = 7/4时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。 = 45基础教育a相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律: (1)一般情况下轨迹为椭圆; (2) 时,退化为直线; (3) 时,为正椭圆,若A1=A2

13、,则退化 为圆. (4)椭圆轨迹内切于边长为2A1和2A2的矩形; (5) 时,椭圆顺时针方向转; 椭圆逆时针方向转.46基础教育a 当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些图形称为李萨如（J. A. Lissajous 1822-1880 法国）图形。相互垂直但频率不同的简谐振动的合成47基础教育ax y2 13 13 2x = 0：y = 0 y x048基础教育a振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。 5.3 阻尼振动 受迫振动一、 阻尼振动XtXO形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传

14、播或辐射。49基础教育a1. 阻尼振动的微分方程 XOO粘滞阻力frFrffmm弹性力(以液体中的水平弹簧振子为例)弹性力:粘滞阻力:牛顿第二定律：（固有频率）（阻尼系数） （阻尼振动的微分方程） 50基础教育a（方程的解及其物理意义） 2. 几种阻尼振动模式 （1）小阻尼（3）大阻尼（2）临界阻尼XtOXtO大阻尼临界阻尼常用于灵敏仪器的回零装置。与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。51基础教育a幅 值二、受迫振动系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。示意振 动 系 统振 动 系 统mmvvX平衡点平衡点OO周期性外力（强迫力）角频率阻力阻力弹性力牛顿第二定律：

15、令则此方程的解为：1、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）52基础教育a等幅振动阻尼振动2、方程解的物理意义 开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。tXOXOtXOtA+53基础教育a自由振动的能量是外界一次性输入 受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量无阻尼：能量守恒，等幅振动有阻尼：有能量损耗，减幅振动由谐和策动力所维持的稳定受迫振动。 由初始能量所维持的固有项， 当其衰减完毕时，与初始条件相关的 也就不存在了。54基础教育a3、稳定的受迫振动 a.说明此时振动方程的位相与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差； b.说明振幅是策动力的函数，因此

16、存在极值的问题,与此对应的极值现象，称为位移共振。稳定受迫振动的频率等于策动力的频率稳定受迫振动的振幅A和位相（用待定系数法可得）55基础教育a三、共振（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）1、位移共振(振幅取极值)共振频率 :共振振幅 :2、速度共振(速度振幅取极值)共振频率 :共振速度振幅 :A阻尼0阻尼较小阻尼较大O位移共振曲线56基础教育a3、 共振的利用与防止(1)位移共振 (2) 速度共振调谐（能量输入处于最佳状态）防止过桥、机床、海堤利用振动筛、打夯、核磁共振57基础教育a5.4 非线性振动简论 一、非线性振动的原因由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。从动力学角

17、度来看，发生非线性振动的原因有两个方面：2、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力F为位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动 。 1、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆二、自激振动以单方向的力激励的振动称为自激振动或自振。 例如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声， 自来水管突如其来的喘振。 58基础教育a1、广义坐标 广义速度 在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x，y，z，vx ，vy ，vz）描述，一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。2、相平面 相空间以(qi，pi)为坐标，可以构建一

18、个2n（n 为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.相空间:三、相图 相平面59基础教育a当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。相平面:相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。如某质点作直线运动，其坐标为x、速度为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面以（x，y ）60基础教育a相平面中的一个点M（x,y ），对应一个运动状态，M 称为相点。在相平面

19、中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条光滑的曲线。相点相轨迹例：以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。简谐振子的位移、速度和加速度分别为61基础教育a常数C由初始条件决定。以x和y为轴，可建立相平面Oxy。简谐振子的相图研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线相轨迹。对于一定的C值，相轨迹是一个椭圆，如图所示。从位移、速度公式中消去时间t ，得62基础教育a按C值的不同，可得到一族大小不同的椭圆。从相轨迹中，可以看出：简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动，其周期是

20、一个有限值。在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。63基础教育a3、奇点相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平衡点。奇点的分类中心焦点结点鞍点64基础教育a单摆的线性振动：单摆例：以单摆的振动为例，来分析讨论相图。小角度下单摆的运动是单摆的非线性振动:简谐振动，其周期为随着的增大，单摆的周期变为65基础教育a两边积分得单摆线性振动的相图即T/T随摆幅m变化关系单摆无阻尼线性振动的相图可见，线性振动的相轨迹为椭圆,中心点是稳定的奇点。初始条件确定

21、后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。66基础教育a当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为鞍点,如上图。单摆无阻尼非线性振动的相图单摆非线性振动的相图 如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，可以证明其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，表示运动仍是周期性往复摆动。67基础教育a鞍点和中心点一样也是一个奇点，但是在鞍点上 说明鞍点是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状。从势能曲线和相图上可知处势能最大，势能曲线、相图、鞍点68基础教育a双曲点的存

22、在，预示着混沌运动的可能假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。69基础教育a四、非线性振动系统的混沌行为仍以单摆为例, 前面已经讨论过它的自由振动,下面分析其阻尼振动和受迫振动有阻尼、无策动力的振动小摆幅时运动方程为单摆阻尼振动的相图(小摆幅) 取0.25，01，用软件MathLab给出数值解。70基础教育a有阻尼、并有策动力的振动大摆幅时运动方程是非线性的单摆阻尼振动的相图(大摆幅)此时,从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心的吸引子.振动方程为 这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分析. 取0.25，01， D2/3，f的变化范围为0.5,1.98,每一个相图相差0.02，用软件MathLab给出数值解。71基础教育a (1)f=0.5,1.0 f较小，是的相图都收敛在一个规则的极限环内。72基础教育a （2）f=1.00,1.481.00,1.14内似乎有较规则的极限环。1.16,1.26内图形有界，但是“极限环”形状已经非常不规则，出现奇异吸引子。1.28,1.48内相图呈振荡状，随时间变化角位移是无界的。即单向旋转73基础教育a（3）f