2020_2021学年新教材高考数学综合测评含解析选择性必修第一册

1、PAGE PAGE 16综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线3x-y-2018=0的倾斜角等于()A.6B.3C.4D.不存在2.已知向量a=(0,1,1),b=(1,-2,1).若向量a+b与向量c=(-2,m,-4)平行,则实数m的值是()A.2B.-2C.10D.-103.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.2954.已知点A(2,-1,2)在平面内,n=(3,1,2)是平面的

2、一个法向量,则下列各点在平面内的是()A.(1,-1,1)B.1,3,32C.1,-3,32D.-1,3,-325.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为()A.x216+y212=1B.x216+y24=1C.x212+y24=1D.x24+y22=16.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10,若直线l:y=kx-2与圆交于P、Q两点,则弦长|PQ|的最小值是()A.5B.4C.25D.267.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线

3、l:y=k(x-2)(k0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是()A.|M1M3|M2M4|B.|FM1|FM4|C.|M1M2|M3M4|D.|FM1|M1M2|8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在上运动.()A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD-

4、A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是()A.A1C1平面CEFB.B1D平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B1到平面CEF的距离相等10.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是()A.1B.2C.3D.411.已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,

5、F1,F2为其左、右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P的纵坐标为3B.F1PF22C.F1PF2的周长为4(2+1)D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r20,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是. 16.九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA平面ABC,ACB=90,AC=4,PA=2,D为AB的中

6、点,E为PAC内的动点(含边界),且PCDE.当E在AC上时,AE=,点E的轨迹的长度为.(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.18.(本小题满分12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:(1)短轴长等于23,离心率等于12的椭圆;(2)与椭圆x216+y225=1共焦点,且过点(4,5)的双曲线.19.(本小题满分12分)已知圆

7、C:(x-6)2+y2=20,直线l:y=kx与圆C交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围;(2)若OB=2OA,求直线l的方程.20.(本小题满分12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,A1C的中点,AD=AA1=2,AB=2.(1)求证:EF平面ADD1A1;(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值;(3)在线段A1D1上是否存在点M,使得BM平面EFD?若存在,求出A1MA1D1的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0pb0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=

8、45与直线AB相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,ABDC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1k2是不是定值?证明你的结论.答案全解全析一、单项选择题1.B直线3x-y-2018=0化为y=3x-2018,则直线的斜率为3,所以直线的倾斜角等于3.故选B.2.Aa+b=(1,-1,2),由(a+b)c得-21=m-1=-42,解得m=2,故选A.3.C因为直线3x+4y-12=0与直线6x+8y+5=0平行,所以|PQ|的最小值就是两直线间的距离,即d=|-24-5|62+82=2910,故选C.4.B设平面内的一点为P(x,y,z)(不与点A重

9、合),则AP=(x-2,y+1,z-2),n是平面的一个法向量,APn,3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,即3x+y+2z=9.将选项代入检验知B正确,故选B.5.A设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).依题意得,a+c=6,且4a=16,a=4,c=2,b2=a2-c2=16-4=12,故选A.6.D由题意得,直线y=kx-2过定点(0,-2),设为A,要想弦长|PQ|最短,则点A应为弦PQ的中点,易知圆C:(x+2)2+(y+2)2=10的圆心坐标为(-2,-2),半径r=10,则点A到圆心的距离d=(0+2)2+(-2+2)2=2,由圆的弦长公式,可得|PQ|=2

10、r2-d2=210-22=26,即弦长|PQ|的最小值为26,故选D.7.C设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2,又|M1F|=|M1M2|+2,|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,x1x4=4,|M1M2|M3M4|=4,故选C.8.B作F2Q与F1P的延长线交于点M,连接OQ.因为PQ是F1PF2的外角的平分线,且PQF2M,所以在PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线

11、段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.二、多项选择题9.AC建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).E,F分别是A1D1,C1D1的中点,EFA1C1,又EF平面CEF,A1C1平面CEF,A1C1平面CEF,故选项A正确;C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0).DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),

12、CF=(0,-1,2),nEF=0,nCF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,令x=2,则y=2,z=1,n=(2,2,1),DB1=(2,2,2),DB1与n不平行,B1D不垂直于平面CEF,故选项B错误;CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1=12DA+DD1-DC,故选项C正确;DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DCn|n|=44+4+1=43,B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,则d2=|B1Cn|n|=|-4+0-2|3=243,故选项D错误.故选AC.10.BCD由已知得直线l1:ax+3y+6=0与l2:2x

13、+(a+1)y+6=0平行,a(a+1)=32,解得a=2或a=-3,当a=2时,两直线方程相同,两直线重合,不合题意,当a=-3时,检验符合题意,a=-3.此时两直线方程分别为x-y-2=0,x-y+3=0,将x2+y2+2x=b2-1(b0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,圆心坐标为(-1,0),半径为b.当两条平行直线与圆“平行相切”时,b=|-1-0-2|2=322或b=|-1-0+3|2=2,当两条平行直线与圆“平行相离”时,b322且b2,即b2且b322,故选BCD.11.CD由x28+y24=1得,a2=8,b2=4,c2=4.设P(x,y),则SF1PF2=12|F1F2

14、|y|=124|y|=3,解得|y|=32,选项A错误;设椭圆的上顶点为B,b=c=2,F1PF2F1BF2=2,选项B错误;F1PF2的周长为2a+2c=42+4,选项C正确;设F1PF2的内切圆半径为r,则SF1PF2=12|F1P|r+12|F2P|r+12|F1F2|r=12(|F1P|+|F2P|+|F1F2|)r=124(2+1)r=3,解得r=32(2-1),选项D正确.故选CD.12.BC由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.当r1+r24时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均

15、外切或一个内切,一个外切.若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时|PC1|-|PC2|=|r1-r2|,当r1r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时|PC1|-|PC2|=|r1-r2|,则点P的轨迹与相同.若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双

16、曲线,与中双曲线不一样.故选BC.三、填空题13.答案(-2,1,-2)解析依题意设b=a=(2,-,2)(R),所以ab=4+4=-9,解得=-1.故b=(-2,1,-2).14.答案2x-4y+3=0解析圆的方程可化为(x-1)2+y2=2,可知圆心为C(1,0).设A12,1,则以A为中点的弦所在的直线l即为经过点A且垂直于AC的直线.又知kAC=0-11-12=-2,所以kl=12,所以直线l的方程为y-1=12x-12,即2x-4y+3=0.15.答案2解析由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在RtBMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|B

17、M|2+|MN|2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,所以双曲线E的离心率e=ca=2.16.答案2;255解析建立空间直角坐标系,如图所示.设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).当E在AC上时,设E(0,t,0)(0t4),则DE=(-m,t-2,0),又PC=(0,4,-2),所以由PCDE,可得PCDE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).当E在AC的中点时,作EEPC于点E,由PCDE,PCEE,DEEE=E,得PC平面DEE,所以点E在PAC内的轨迹为

18、线段EE,因此求出EE的长度即可.解法一:设PE=PC=(0,4,-2),则E(0,4,2-2),所以EE=(0,4-2,2-2),由EEPC得,4(4-2)-2(2-2)=0,解得=35,所以E0,125,45,所以|EE|=125-22+452=255.解法二:过点A作AFPC,则|EE|=12|AF|.又|AF|=|PA|AC|PC|=2422+42=455,所以|EE|=255.四、解答题17.解析(1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.(5分)

19、(2)设直线m的方程为y=-34x+b,b72,则3=34(-2)+5-b916+1,解得b=-14或b=294.(8分)直线m的方程为y=-34x-14或y=-34x+294.(10分)18.解析(1)由题意可知,短半轴长b=3,离心率e=ca=12,(2分)因为a2=b2+c2,所以a=2.(5分)若焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x24+y23=1;(6分)若焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为y24+x23=1.(7分)(2)由椭圆x216+y225=1的焦点为(0,3),可设双曲线方程为y2m-x29-m=1(0m9),(8分)将点(4,5)代入可得25m-169-m=1(0m0,k的取值范围为-52k52.(4分)(2)OB=2OA,A为线段OB的中点,设A(x1,y1),则B(2x1,2y1),(x1-6)2+y12=20,(2x1-6)2+4y12=20,由可得x1=2,y1=2或x1=2,y1=-2,直线l的方程为y=x.(12分)20.解析(1)证明:连接AD1,A1D,交于点O,所以点O是A1D的中点,连接FO.因为F是A1C的中点,所以OFCD,OF=12CD.因为AECD,AE=12CD,所以OFAE,OF=AE.所以四边形AEFO是平行四边形.所以EFAO.因为EF平面ADD1A1,AO平面ADD1A1,所以EF平面ADD1A1