傅立叶变换(共11页)

1、傅立叶变换(binhun)定义(dngy)f(t)满足傅立叶积分定理(dngl)条件时，下图式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换， 式的积分运算叫做F()的傅立叶逆变换。F()叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F()的象原函数。 傅里叶变换 傅里叶逆变换 中文译名 Transforme de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、 HYPERLINK /view/17568.htm t _blank 数论、组合数学、信号处理、概率论

2、、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 概要介绍* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和 HYPERLINK /view/351612.htm t _blank 离散傅里叶变换。最初 HYPERLINK /view/384993.htm t _blank 傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著自然科学中确定性问题的应用数学，科

3、学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换(binhun)属于谐波分析。 * 傅里叶变换(binhun)的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂(fz)激励的响应可以通过组合其对

4、不同频率正弦信号的响应来获取; * HYPERLINK /view/1353713.htm t _blank 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为 HYPERLINK /view/7795.htm t _blank 快速傅里叶变换算法(FFT). 基本性质线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( xright )和g left(x right)的傅里叶变换mathcalf和mathcalg都存在， 和 为任意常系数，则mathca

5、lalpha f+beta g=alphamathcalf+betamathcalg；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符； 频移性质若函数f left( xright )存在傅里叶变换，则对任意实数 0，函数f(x) ei omega_ x也存在傅里叶变换，且有mathcalf(x)ei omega_ x=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt； 微分关系若函数f left( xright )当|x|rightarrowinfty时的极限(jxin)为0

6、，而其导函数f(x)的傅里叶变换存在，则有mathcalf(x)=-i omega mathcalf(x) ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 i 。更一般地，若f(pminfty)=f(pminfty)=ldots=f(k-1)(pminfty)=0，且mathcalf(k)(x)存在，则mathcalf(k)(x)=(-i omega) mathcalf ，即 k 阶导数的傅里叶变换(binhun)等于原函数的傅里叶变换乘以因子( i)k。 卷积特性(txng)若函数f left( xright )及g left( xright )都在(-infty,+infty)上绝对

7、可积，则卷积函数f*g=int_-infty+infty f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcalf*g=mathcalfcdotmathcalg 。卷积性质的逆形式为mathcalF(omega)G(omega)=mathcalF(omega)*mathcalG(omega) ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。 Parseval定理若函数f left( xright )可积且平方可积，则int_-infty+infty f2 (x)dx = frac2piint_-infty+infty |F(omega)|domega 。其中 F()

8、是 f(x) 的傅里叶变换。 傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换主条目：连续傅立叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = mathcalF(omega) = fracsqrt2pi intlimits_-inftyinfty F(omega) eiomega t,domega. 上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F()的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F()表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一

9、般可称函数f(t)为原函数,而称函数F()为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 一种对连续傅里叶变换的推广(tugung)称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余(qy)弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform). 另一个(y )值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F() = F()*成立. 傅里叶级数主条目：傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广

10、，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的： f(x) = sum_n=-inftyinfty F_n ,e , 其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成： f(x) = fraca_0 + sum_n=1inftylefta_ncos(nx)+b_nsin(nx)right, 其中an和bn是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换 主条目：离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在 HYPERLINK /view/628441.htm t _blank 频域上则

11、是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 离散傅里叶变换主条目：离散傅里叶变换 为了在科学计算和 HYPERLINK /view/162096.htm t _blank 数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式： x_n = frac1 sum_k=0 X_k eifrac2pi kn qquad n = 0,dots,N-1 其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为mathcal(n2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进

12、为mathcal(n log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一(tngy)描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意(rny)局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于 HYPERLINK /view/82346.htm t _blank 调和(tio h)分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(dual group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。 时频分析变换主条目：时频分

13、析变换 HYPERLINK /view/586841.htm t _blank 小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性. 变换 时间 频率 连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性 傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性 离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性 离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性 傅里叶变换

14、的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。 从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅立叶变换属于调和分析的内容。分析二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，分析二字，实际就是条分缕析而已。它通过对函数的条分缕析来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，分析主义和还原主义，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而

15、已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。 数学(shxu)领域 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此(rc)的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇: 1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当(shdng)的范数,它还是酉算子; 2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常

16、类似; 3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为 HYPERLINK /view/1006229.htm t _blank 快速傅立叶变换算法(FFT). 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、

17、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 有関傅立叶变换的FPGA実现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数的平方成正比关系，因此，在较大时，直接应用算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用来实现点的设计方法。 整体结构一般情况下，点的傅立叶变换对为： 其中(qzhng)，()。()和()都为 HYPERLINK /view/10078.htm t _blank 复数(fsh)。与之相对的快速傅立叶变换有很多种,如(时域抽取法)、（频域抽取法）、和等。对于傅立叶变换，算法可

18、导出和算法。本文运用的基本思想是算法，即将高点数的傅立叶变换通过多重低点数傅立叶变换来实现。虽然与有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣(yu li)之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以方法为对象来讨论。 点的运算表达式为： 式中，()()(，)其中和可取,和可取,。 由式（）可知，傅立叶变换可由的傅立叶变换构成。同理，傅立叶变换可由的傅立叶变换构成。而傅立叶变换可由的傅立叶变换构成。的傅立叶变换可进一步由的傅立叶变换构成，归根结底，整个傅立叶变换可由基、基的傅立叶变换构成。的可以通过个基和个基变换来实现；的变换

19、可通过个基变换来实现；的可以通过个基和个基变换来实现。也就是说：的基本结构可由基模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结构如图所示。 图中，用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据，用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。 蝶形运算器的实现基和基的信号流如图所示。图中，若，是要进行变换的信号，为旋转因子，将其分别代入图中的基蝶形运算单元，则有： ()()()()()() （） ()()()()()() (） ()()()()()() （） ()()()()()() （） 而在基蝶形中，

20、和的值均为，这样，将，和的表达式代入图中的基运算(yn sun)的四个等式中，则有： ()() （） ()() （） ()() （） ()() （） 在上述式（）（）中有很多类同项，如和等，它们仅仅(jnjn)是加减号的不同，其结构和运算均类似，这就为简化电路提供了可能。同时，在蝶形运算中，复数乘法可以由实数乘法以一定的格式来表示，这也为设计复数乘法器提供了一种实现的途径。 以基为例，在其运算单元中，实际上只需做三个复数乘法运算，即只须计算、和的值即可，这样在一个(y )基蝶形单元里面，最多只需要个复数乘法器就可以了。在实际过程中，在不提高时钟频率下，只要将时序控制好便可利用流水线（）技术并只

21、用一个复数乘法器就可完成这三个复数乘法，大大节省了硬件资源。 图2 基2和基4蝶形算法(sun f)的信号流图 的地址(dzh)变换(binhun)后输出的结果通常为一特定的倒序,因此，几级变换后对地址的控制必须准确无误。 倒序的规律是和分解的方式密切相关的，以基为例，其基本倒序规则如下： 基可以用三级基变换来表示，则其输入顺序则可用二进制序列（ ）来表示，变换结束后，其顺序将变为（ ），如： ，即输入顺序为，输出时顺序变为。 更进一步，对于基的变换，可由，等形式来构成，相对于不同的分解形式，往往会有不同的倒序方式。以为例，其输入顺序可以用二进制序列（ ）来表示变换结束后，其顺序可变为（ ）（

22、 ），如： 。即输入顺序为，输出时顺序变为。 在的傅立叶变换中，由于要经过多次的基和基运算，因此，从每次运算完成后到进入下一次运算前，应对运算的结果进行倒序，以保证运算的正确性。 旋转因子点傅立叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为： FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用 之所以可使运算效率得到提高，就是利用了对称性和周期性把长序列的逐级分解成几个序列的，并最终以短点数变换来实现长点数变换。 根据旋转因子的对称性和周期性，在利用存储旋转因子时，可以只存储旋转因子表的一部分，而在读出时增加读出地址(dzh)及符号的控制，这样可以正确实现。因此,充分利用旋转因子的性质，可节

23、省以上存储单元。 实际上，由于旋转因子可分解为正、余弦函数的组合，故中存的值为正、余弦函数值的组合。对的傅立叶变换来说，只是对一个周期进行不同的分割。由于变换的旋转因子包括了的所有因子，因此，实现时只要对读的地址(dzh)进行控制，即可实现变换的通用。 存储器的控制(kngzh)因是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部，为保证高速，所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的操作数，而这一切都需要控制信号的紧密配合。 为了实现的流形运算，在运算的同时，存储器也要接收数据。这可以采用乒乓的方法来完成。这种方式决定了实现运算的最大时间。对于操作，其接收时间为个数据周期，这样的最大运算时间就是个数据周期。另外，由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的，故在进行内部运算时，可以用较高的内部时钟进行运算，然后再存入依次输出。 为节省资源，可对存储数据采用原址读出原址写入的方法，即在进行下一级变换的同时，首先应将结果回写