数字滤波器的基本概念和设计

1、数字滤波器的基本概念和设计滤波的目的 为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计。信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。滤波技术 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号进行滤波的目的。数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。优点：数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗

2、匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的设计原理6.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字滤波器的设计是已知它的频率特性 ，求它的系统函数H(z)或单位脉冲响应h(n). 完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个H(z)或h(n)满足指标。因此， 设计出的H(z)或h(n)不是唯一的。 分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) 加性噪声若 中的有用成分 和希望去

3、除的成分各自占有不同的频带, 通过一个线性系统可将 有效去除.一、数字滤波器的分类1、经典滤波器与现代滤波器经典滤波器种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。现代滤波器一、数字滤波器的分类2、理想滤波器的频率响应一、数字滤波器的分类几点说明：一、数字滤波器的分类 （1）由于频率特性的周期性，只需考虑数字频率在(02)范围的幅度响应。 （2）根据耐奎斯特定理，输入信号不得超过采样频

4、率的一半，而且实序列的频谱具有共轭对称性质，所以，频率特性只能限于（ 0 ）内。 （3）图示的滤波器特性没有过渡带，不可能实现。只能在误差范围内近似实现。3、本课程数字滤波器设计的适用对象 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器，其有用信号和干扰信号的频谱分别在不同的频段。用IIR或FIR系统实现时，系数是固定的。 如果两者的频谱共用同一个频段，则需使用自适应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。 一、数字滤波器的分类 设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。 一、数字滤波器的分类左边为时域波形，右边为它的频谱。滤波前：滤波后：二、 数字滤波器的

5、技术指标数字滤波器的频率特性：其中： 选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况二、 数字滤波器的技术指标通带阻带过渡带低通滤波器的幅频特性指标示意图 二、 数字滤波器的技术指标 在阻带内，幅度响应以误差 逼近0，即在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。在通带内，幅度响应以误差 逼近1，即二、 数字滤波器的技术指标 上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往往使用通带允许的最大衰减（波纹） 和阻带应达到的最小衰减 表示，这里的两个指标

6、都是正数。定义为： 二、 数字滤波器的技术指标这里=0处幅度已归一化到1。：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与s间距越小, 过渡带就越窄。低通滤波器的设计指标：二、 数字滤波器的技术指标三、数字滤波器设计方法概述 设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1. 间接法:首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。2.直接法：直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计

7、算机作辅助设计。6.2 模拟滤波器的设计常用模拟滤波器: 1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3、椭圆(Ellipse)滤波器一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。1、四个技术指标 工程实际中通常用损耗函数（衰减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性 损耗函数A()是对幅频响应|Ha(j)|的非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。1、四个技术指标模拟滤波器的设计指标：1、四个技术指标p:

8、通带截止频率s: 阻带截止频率p: 通带最大衰减s:阻带最小衰减 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示，即 由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j)满足 2、由幅度平方函数确定系统函数如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半开平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半开平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。2、由幅度平方函数确定系统函数二、巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯逼近又称

9、最平幅度逼近，它具有通带内最大平坦的振幅特性,且随的增大，幅频特性随单调下降。1、原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系二、巴特沃斯低通滤波器的设计由图可知：二、巴特沃斯低通滤波器的设计 优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；缺点：阶次N一般较大。二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： 上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：二、巴特沃斯低通滤波器的设计2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是/Nrad。设N=3，极点有6个，它们分别

10、为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计设N=4，极点有8个，它们分别为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。二、巴特沃斯低通滤波器的设计归一化后的系统函数： 令p=s/c，（p称为归一化复变量），则巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为：二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，以及极点pk，可以由表得到。表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计二、巴特沃斯低通滤波器的设计阶数N

11、取大于或等于N的最小整数。二、巴特沃斯低通滤波器的设计3、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤(1) 根据技术指标p、 p、s和s，求出滤波器的阶数N和c。(2) 求出归一化极点pk，及归一化低通原型系统函数Ga(p)。(3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计例1、已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数N和c 二、巴特沃斯低通滤波器的设计取N=5二、巴特沃斯低通滤波器的设计或直接查表可

12、得极点：， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为式中, b0，b1，b2，b3， b4=3.2361二、巴特沃斯低通滤波器的设计(3) 去归一化将p=s/c代入Ga(p)中, 得到：二、巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯模拟滤波器的设计总结： 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 ，利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的阶数N和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来去归一化，求实际滤波器的参数。二、巴特沃斯低通滤波器的设计切比雪夫低通滤波器 切比雪夫低通滤波器采用切比雪夫函数来逼近给定的指标，该函数具有

13、等波纹特性。它可将指标要求均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波器阶数较低。切比雪夫低通滤波器切比雪夫型切比雪夫型：通带等波纹、阻带单调：通带单调、阻带等波纹 巴特沃斯低通滤波器的缺点是阶次较高，原因是它的频率特性在通带和阻带内都是随的增大而单调减小，如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通带）内肯定有富裕量。三、切比雪夫滤波器的设计切比雪夫型的幅度平方函数为：为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大; p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式。三、切比雪夫滤波器的设计设计过程： 1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和

14、阶数N。 2) 求归一化传输函数 。 3) 去归一化。将 代入归一化原型滤波器系统函数，即得到实际滤波器传输函数 。三、切比雪夫滤波器的设计四、椭圆滤波器 椭圆(Elliptic)滤波器允许在通带和阻带内都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶次，但通带上的相位响应非线性失真（波形）较大。五、三种滤波器比较 复杂性: 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。 当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带

15、最宽。 两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。 椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。五、三种滤波器比较六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。 设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: (1) 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器

16、指标； (2) 设计相应的低通系统函数Q(p)； (3) 对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数H (s)。 七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数buttap, buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)

17、该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示数字频率。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当wswp时，为高通滤波器； 当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。N和wc作为butter函数的调用参数。七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其

18、他参数与格式2）相同。七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器4） B, A=butter(N, wc, ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于归一化），一般按格式2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数： 七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3 dB

19、截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器参数ftype区分滤波器类型。ftype=high时，设计3 dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3 dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量wcl, wcu，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wcl0,1,即s平面的右半平面映射到z平面单位圆外；r1,即s平面的左半平面映射到z平面单位圆内；（2）与的关系（=T） 用脉冲响应不变法设计

20、IIR数字低通滤波器 s平面宽 的水平条带对应整个z平面。= 0， = 0，s平面的实轴对应 z平面正实轴； 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 s平面宽 的水平条带，同样对应整个z平面。一、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器设计过程是： （1）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一变换规则转换成相应的模拟滤波器的性能指标。（2）如要设计的不是数字低通滤波器，则需将步骤（1）中变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标转换为低通性能指标。（3）设计一个过渡模拟低通滤波器。（4）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。（5）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。6.

21、3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器二、脉冲响应不变法的变换原理 已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤波器的冲激响应ha(t) ，先离散化ha(t)，使数字滤波器的单位脉冲响应h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值，即 从这个关系式出发，找出Ha(s) 和H (z)之间的关系式。 这里Ha(s)表示 ha(t) 的拉普拉斯变换， H(z)表示h(n) 的 z 变换，即映射关系 ： 二、脉冲响应不变法的变换原理z 平面S 平面数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特性之间的关系： 上式说明，H(ejT)是Ha(j)以2/T为周期的周期延拓函数（对数字频率，则是以2为周期）。

22、三、频谱混叠三、频谱混叠 如果模拟滤波器的频率特性是带限信号，带限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。 如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，或采样频率不满足采样定理时将会产生混叠。三、频谱混叠 由于实际的模拟滤波器，其频率响应都不可能是真正带限的，因而数字滤波器的频率响应不可避免地存在频谱的混叠，从而带有一定的失真。 模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减越大，失真越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。三、频谱混叠四、模拟滤波器的数字化 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达传递函数。 设模拟滤波

23、器的传递函数只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数 NM，则可表达为部分分式形式： 其相应的冲激响应ha(t)为Ha(s)的拉普拉斯反变换： 四、模拟滤波器的数字化 式中si 是Ha(s)的单阶极点。 在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于ha(t)的采样，即对h(n)取z变换，得到数字滤波器的系统函数：四、模拟滤波器的数字化比较两式： 四、模拟滤波器的数字化此时，四、模拟滤波器的数字化例题例5：设模拟滤波器的系统函数为 试用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。例题 五、优缺点 脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应。 优点： （1）时域逼近好

24、；（2）如线性相位关系不变。 缺点： 存在频谱混叠，只适合带限的模拟滤波器，如低通、带通，但不适合高通、带阻滤波器。而且对低通、带通应充分的带限。6.4 用双线性变换法一、变换原理 第一步：将整个s平面压缩到另一个s1平面的一条横带里，横带的宽度为2/T； 第二步：再通过变换 将此横带变换到整个z平面上去。 由此建立s平面与z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混叠现象。一、变换原理z平面一、变换原理 先推理s与s1之间的关系式一、变换原理从s1平面转换到z平面，得或二、优缺点优点： 缺点：没有频谱混叠。 这种非线性关系如右图所示，表现为： 二、优缺点 所以，原来是线性相位的模拟滤波

25、器经双线性变换后得到的却是非线性数字滤波器。 在零频率附近，近似为线性关系；随着的增加，非线性关系关系越来越严重，造成两者的幅频响应不同（有畸变）。 所以，双线性变换适合用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。是目前使用的最普遍、最有成效的一种设计工具。二、优缺点频率预校正 模拟滤波器的频率点与数字滤波器的频率点是非线性对应关系，应按转换，称为频率预校正。例题例题解：（1）预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为（2） 设计巴特沃斯低通模拟滤波器。 计算得 N，取N=6； c=0.7663 rad/s 查表得Ga(p)例题将p=s/c代入Ga(p)，去归一化得到实际的Ha(s)为（3） 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z), 即例题6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计 对于数字高通、带通和带阻的设计，通用方法为双线性变换。可以借助于模拟滤波器的频率变换设计一个所需类型的过渡模拟滤波器，再通过双线性变换将其转换成所需类型的数字滤波器。 具体设