高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算学案新人教B版必修第二册

1、- -i -2.3平面向量的坐标及其运算学I聚焦考点学习目标核心素养向量的止交分解了解平向向量的正交分解，掌握向量的坐标表小数学抽象平面向量的坐标理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则数学抽象、数学运算两种坐标的区别掌握平向向量的坐标与平囿内点的坐标的区别与联系数学抽象向量共线能根据平面向量的坐标，判断向量是否共 线；并掌握三点共线的判断方法逻辑推理、数学建模研读，导学曾凤W问题导学预习教材P160 P166的内容，思考以下问题：.两个向量垂直如何定义？. 一个向量如何正交分解？.向量的坐标定义是什么？.如何由a, b的坐标求a+b, a- b,入a的坐标？.如何利

2、用向量的坐标运算表示两个向量共线？新知初探.平面向量的坐标平面上的两个非零向量 a与b,如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直,记作ab.规定零向量与任意向量都垂直.如果平面向量的基底ei, e2中，e，e2,就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量 的分解称为向量的正交分解.一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量ei, e2,对于平面内的向量 a,如果a= xei+ ye2,则称(x, y)为向量a的坐标，记作 a=(x, y).方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量.此时，如果平面上一点A的坐标为(x, y)(通常记为A(x,

3、 y),那么向量OA寸应的坐标也为(x, y),即OA= (x, y)；反之结论也成立.平面上向量的运算与坐标的关系设平面上两个向量 a, b满足a=(xi, yi), b=(x2, y2),则a=b?xi=X2_且 yi = y2； a+b=(xi + X2, yi + y2).设 u, v 是两个实数，那么ua+ vb =(UX1 + VX2,uyi + vy2),uia vb= (uxivx2,uyivy2).如果向量 a = (x, y),则 | a| =X2+y2.名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确

4、定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式设A(xi, yi), B(X2, y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB= (X2 xi,平一小)；A氏 | 俞=A (X2 Xi) 2+ (y2yi) 2设线段AB中点为M(x, y),则Xi + X2X= 2 y=yi + y22w.4.向量平行的坐标表不设 a=(xi, yi), b=(X2, y2),则 a b? X2yi = xiy2.名师点拨两向量的对应坐标成比例，这种形式较易记忆，而且不易出现搭配错误.自我检测.a判断正误(正确的打“，”，错误的打“x”) TOC o 1-5 h z 若O为坐

5、标原点，OA= (2 , i),则点A的坐标为(2 , i).()(2)若点A的坐标为(2, i),则以A为终点的向量的坐标为(2 , i).()平面内的一个向量 a,其坐标是唯一的.()xi yi(4)右 a=(xi, yi) , b=(X2, y2)且 bw。，则, = ()X2 y2答案：(i) V (2) X (3) V (4) X已知向量OA= (3, 2), Ob= ( 5, -i),则向量2AB勺坐标是()iiA. 4, 2B. 4,-C. (-8, i)D. (8, i)解析：选 A.AB=OB-OA= (5, i)(3, -2)=(8, i),i3，i2AB= - 4, 2

6、.下列各对向量中，共线的是()B. a=(2 , 3) , b=(4, 6)A. a=(2 , 3), b=(3 , 2)a=( ；2, - 1)解析：选D.A, B,C中各对向量都不共线,a=(1 , p , b=(倨D中b =、/2a,两个向量共线.2)已知a=( -3,2) , b= (6 , y),且 a / b,贝U y =解析：因为a / b,所以-3解得 y= -4.答案：4rf讲练互动解窸部克突破I探究点平面向量的坐标表不的巨如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知OA= 4,AB= 3,/AOx= 45,/ OAB= 105OA= aAB= b,四边形 OABCj平行四边形.求

7、向量a, b的坐标;(2)求向量BA勺坐标;求点B的坐标.【解】(1)作AML x轴于点一2贝U OM= OA cos 45=4X 22-=22,AM= OA sin 45=4X乎=2啦,所以代2啦，2啦)，故2=(2啦，2& .因为/ AO仔 180 105 =75 , Z AOy= 45 ,所以/ COy= 30 .又 OC= AB= 3,所以 c3,323,所以回0降-2 323 ,(2)孤一正 |, 323 .(3)因为0&加危=(2 小,2p + -|, 32P=2#-|, 2小 + 孚.所以点B的坐标为(2、J2-|, 2/l + 3|3).平面内求点、向量坐标的常用方法(1)求一

8、个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标， 该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点的坐标，再运用终点坐标减去始 点坐标即得该向量的坐标.已知O是坐标原点，点 A在第一象限，|Oa = 4/I, /xOA= 60(1)求向量OA勺坐标；(2)若国淄，一1),求BA的坐标.解：(1)设点 A：x, y),则 x=4/3cos 60 = 2V3, y = 43sin 60 = 6,即 A：2v3, 6),所以 OA= (2镉，6). (2)BA= (23, 6)-(V3, 1)=(V3, 7).榇究点酉平面向量的坐标运算例 (1)已

9、知 a+b=(1, 3), a-b= (5 , 7),则 a=, b =.(2)已知 A( -2, 4) , B(3 , 1) , q 3, 4),且CM= 3CA CN4= 2Cb 求 M N及Ml的坐 标.【解】(1)由 a+ b= (1 , 3) , a- b= (5 , 7),所以 2a=(1 , 3) + (5, 7)=(6, 10),所以 a= (3 , 5),2b= (1 , 3) (5, 7)=(4, 4),所以 b=( 2, - 2).(2)法一(待定系数法)：由 A( 2, 4) , R3 , 1), C(-3, -4),可得加(2, 4)-(-3, 4)=(1, 8),C

10、B- (3, 1) (3, 4)=(6, 3),所以碗 3CA= 3(1, 8)=(3, 24),Cn= 2CB- 2(6 , 3) =(12 , 6).设 M(X1,，)，N(X2, v*，则CM= (X1+3, V1 + 4) = (3 , 24) , X1=0, y1=20;CN= (X2 + 3, y2 + 4) = (12 , 6) , X2= 9, y2 = 2,所以 M。， 20), N(9 , 2),MN= (9 , 2) - (0 , 20) = (9 , 18).法二(几何意义法 广 设点o为坐标原点，则由CMi= 3CA CN= 2cBi._,1 7 可得OMFOC= 3

11、(OWOC, ON- OC= 2(O9 OC,从而 Om= 3条 2OC ON= 2OBOC所以 Om= 3( -2, 4) -2(-3, 4) = (0, 20),ON= 2(3, 1)( 3, 4)=(9, 2),即点 M0 ， 20), N(9 , 2),故MN= (9, 2) (0, 20) = (9, 18).国回回国平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.若 A, B, C三点的坐标分别为(2

12、 , 4) , (0 , 6) , ( - 8, 10),求AB+ 2BC,解：因为 Ab-(2, 10), BC= ( 8, 4), XC= ( 10, 14),所以AB+ 2BC= (-2, 10) +2( -8, 4)=(-2, 10) + ( 16, 8)=( 18, 18),BC- 1Ab= (8, 4)-1(-10, 14)=(-8, 4)-(-5, 7)=(3, 3).判定直线平行、三点共线例31 (1)已知A, B, C三点共线，且A(3, 6) , B(5, 2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为()B.A. 13C. - 9D.13(2)已知 A(1, 1), B(1

13、, 3), Q1 , 5), D(2,7),向量A的CDF行吗？直线 AB平行于直线CD吗?【解】选C.设Q6,y),因为 AB/AC又AB= ( -8, 8) , AC= (3y+6),所以一8X( y+ 6) 3X8=0,所以y= 9.(2)因为 AB= (1( 1), 3-(-1) =(2, 4),CD= (2 - 1, 7-5) =(1 , 2).又 2X2 4X1= 0,所以 AB/CD又AC= (2 , 6), AB= (2 , 4),所以 2X4 2X60,所以A, B, C不共线,所以AB与CK重合,所以AB/ CD图国国向量共线的判定方法利用向景共线定理，由。=儿小访洪明 揪

14、出“卜利用向我报的坐标表达式的力 =#讲直抵求群踪训婚1已知 A(1 , 3) , B8, 2 , C(9 , 1),求证：A B, C三点共线.证明：由题得，AB= 8 1, 1 + 3一 7 f 小，、7, 2 , AC= (9 1, 1+3)= (8, 4),因为 7X4(X8=0,所以XB/ AC 且届 品有公共点 A,所以A B, C三点共线.臊究点国,已知平面向量共线求参数例 已知a=(1 , 2), b=( -3, 2),当k为何值时，ka+b与a3b平行？平行时它 们是同向还是反向？【解】法一(共线向量定理法 广ka+b= k(1 , 2) + (3, 2) = (k-3, 2

15、k+2),a-3b=(1 , 2)-3(-3, 2) =(10, 4),当ka+ b与a 3b平行时，存在唯一实数入,使 ka+ b=入(a 3b).由(k3, 2k+2)=入(10 , 4),所以k- 3= 10 入,2k + 2= 4 入,1当k=1时，ka+b与a3b平行, 3这时ka+b= 3a+b= 3( 3b)因为 X = - - r ,1解得k=43此时 ka + b= 3,石+ 2 = (a 3b),333,1 , 一， 所以当k=w时，ka+b与a3b平行，并且反向. 3图陶法国已知平面向量共线求参数的思路(1)利用共线向量定理 a=入b(bw0)列方程组求解.(2)利用向量

16、平行的坐标表达式X1y2 X2y1= 0直接求解.已知a= (1 , 1) , b = (x2, x+入)且a / b,则实数 入的最小值是 解析：因为a / b,所以x2-x-入=0,14,21 21即入=x x= x2 4一 ，一-1所以入的最小值为一不答案：-14标反馈眼证，反懂，速标.给出下面几种说法:相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应于唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应. TOC o 1-5 h z 其中正确说法的个数是()A. 1B. 23D. 4解析：选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量

17、，故错误.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()a=(0 , 0), b=(2 , 3)a=(1 , 3), b=(2, 6)a=(4 , 6), b=(6 , 9)a=(2 , 3), b=(-4, 6)解析：选D.只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一 组基底，故选D.已知两点A(2 , 1), B(3, 1),则与ABT行且方向相反的向量a可以是()B. (9, 3)C. (2, 4)( -4, 8)解析：选D.由题意，得AEk (1 ,2),所以a= XAB (入，2入)(其中入v 0).符合条件的只有D项，故选D.4.已知平行四边

18、形OABC其中O为坐标原点，若 A(2 , 1) , B(1 , 3),则点C的坐标为解析：设C的坐标为(x, y),则由已知得OoAh所以(x, y)=(1, 2).答案：(一1, 2)5.已知点A(1 , 3) , R4, 1),则与向量A洞方向的单位向量为 一一一 Ab134解析：AB= (3, 4),则与AW万向的单位向量为- = 5(3 , 4)=石，一5 .5答案:强比用伏，通茶 .A基础达标 TOC o 1-5 h z .下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()e1 = (0,0), e2= (1,-2)e1 = ( - 1,2) , e2=(5,7)a =

19、 (3,5), e2=(6,10)13e1 = (2,-3) , e2=2,- 4一，一 一，一一，1 ,，解析：选 B.A中向重 a 为零向重，所以 e1/e2； C中e1=/e2,所以 a/e2； D中e1 = 4&,所以eU/ 故选B.一， 1 .已知M3, 2), N(5, 1)且Me 2MN则点P的坐标为()3A. ( 8, 1)B. 1,-解析：选c.因为Mp= 1MN所以Op-Om= 2(O4Om, Op= OMF ONk g(3，-2)+2(5,-1) =-1,3即点P坐标为一1, -2 .1.已知 a-2b=(1 , 2), a+b=(4 , 10),则 a 等于()A.(2

20、,-2)B.(2, 2)C.(2,2)D.(2 , 2)解析：选 D.由已知得 2ab=(2, 4), a+b=(4, 10),所以 3a=(6, 6) , a=(2 , 2).4,设向量a=(1, 3), b=( 2, 4),若表示向量4a, 3b 2a, c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c等于()A. (1 , 1)B. (-1, 1)C. (4, 6)D. (4, 6)解析：选D.因为4a, 3b2a, c对应的有向线段首尾相接，所以4a+ 3b2a + c= 0,故有 c= 2a3b= 2(1 , -3)-3(-2, 4)=(4, 6). TOC o 1-5 h z 5.已知

21、点A(1, 2) ,B(2, 4) ,C(-3,5).若BP=孤 miB。且点P在y 轴上，则m()1A. -2B-5C. - 1D. 25解析：选B.设Rx, y),由题意AP= miBC所以, 156 所以p( 5m 1,2),又点P在y轴上，所以一5m 1 = 0, m= 1.y2=n5.已知 A( 1, 4) , B(x, 2),若 C(3, 3)在直线 AB 上，则 x =.解析：AB (x+1, 6), AC (4, 1),因为AB/AC 所以一(x+1)+24=0,所以 x=23.答案：23.向量a, b, c在正方形网格中的位置如图所示，若 c=入a+(1 b(入，R) ,则4

22、= (1解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系 xOy,设一个小正方形网格的边长为 1,则 a=(-1, 1) , b=(6, 2) , c=( -1, -3).由 c=入 a +(ib, 即(一1, - 3)=入(-1, 1)+(! (6, 2),得一入+ 6(1=1,入+2|i = 3,故 人=2,所以 * = 4.211答案：48.已知向量 a= (1,2), b= (2,3), c= (3 , 4),且 c=入 ia+ 入 2b,贝U 入 1+ 入 2=解析：由c=入旧+入2b,得(3 , 4)=1 1(1 , 2) + 入 2(2

23、 , 3),所以入 1+2 入 2=3,2 入 i + 3 入 2=4,解得入i=1,入 2= 2,所以入1+入2=1.答案：1.已知向量 a=(2 , 1), b=(1 , 1) , c=(5, 2) , m 入 b+c(入为常数).(1)求 a+ b；(2)若a与 WH亍，求实数 入的值.解：(1)因为 a=(2 , 1), b=(1 , 1),所以 a+b=(2, 1)+(1, 1) = (3, 2).(2)因为 b=(1 , 1) , c=(5 , 2),所以 m 入 b+c=入(1 , 1) + (5, 2)=(入+5,入+2).又因为a= (2 , 1),且a与m平行，所以2(入+

24、2)=入+5,解得 入=1.已知 A( -2, 4), B(3 , 1), q 3, 4),设AB= a, Bc= b, CA= c,且 CMl= 3c, CN=-2b.(1)求 3a+ b3c；(2)求满足a= mb+ nc的实数 m n.解：由已知得 a=(5, 5), b=(-6, 3), c=(1, 8).(1)3 a+b3c = 3(5 , 5)+(6, - 3) -3(1 , 8)= (15 6 3, - 15-3-24) = (6 , 42).(2)因为 m)+ nc= ( 6m n, 3m 8n) = (5 , - 5),所以-6m n=5,3m 8n= 5,解得- 1,n= - 1.B能力提升.已知A( -3, 0), B(0, 2), O为坐标原点，点 C在/AO咕，且/ AO8 45。，设O件XOA (1 入)OB入e R),则入的值为()B.31C.5A.5D.2解析：选C.如图所示，因为/ AO仔45设 C(x, x),则 OG=