高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）圆的方程

1、eq avs4al(第三节圆的方程) 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如x年xTx等.归纳知识整合1圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆(2)确定一个圆的要素是圆心和半径2圆的方程(1)标准方程两个条件：圆心(a，b)，半径r；标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程一般方程：x2y2DxEyF0；方程表示圆的充要条件为：D2E24F0；圆心坐标eq blc(rc)(av

2、s4alco1(f(D,2)，f(E,2)，半径req f(r(D2E24F),2).探究1.方程x2y2DxEyF0一定表示圆吗？提示：不一定只有当D2E24F0时，上述方程才表示圆2如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：eq x(圆的标准方程)eq o(,sup7(展开),sdo5(配方)eq x(圆的一般方程)3点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2

3、点在圆内自测牛刀小试1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)2已知方程x2y22kx4y3k80表示一个圆，则实数k的取值范围是()A1k4 B4k1Ck1 Dk4解析：选D由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4.3若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1 B0a1C1aeq f(1,5) Deq f(1,5)a1解析：选A点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，(2a)2a25，解得1a0)，则eq

4、blcrc (avs4alco1(2545D2EF0，,943D2EF0，,2blc(rc)(avs4alco1(f(D,2)f(E,2)30，)解得D4，E2，F5.所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)根据题意可知圆心坐标为(1,0)，圆的半径长为eq f(|103|,r(2)eq r(2)，故所求圆C的方程为(x1)2y22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x1)2y22求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量eq avs4al(代数法，即设出圆的方程

5、，用待定系数法求解.,若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程.)1求下列圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,x)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有eq blcrc (avs4alco1(b4a，,3a22b2r2，,f(|ab1|,r(2)r，)解得a1，b4，r2eq r(2).故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3.与y4x联立可得圆心为(1，4)，所以半径req r(132422)2eq r(2

6、).故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.则eq blcrc (avs4alco1(1144D12EF0，,491007D10EF0，,8149D2EF0，)解得D2，E4，F95，所以所求圆的方程为x2y22x4y950.法二：由A(1,x)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,x)，kABeq f(1,3)，则AB的中垂线方程为3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30.联立eq blcrc (avs4alco1(3xy10，,xy30，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)即圆心坐标为(1,2)，半径req r

7、(1122122)10，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10，求：(1)eq f(y,x)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值自主解答(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，eq r(3)为半径的圆，eq f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq f(y,x)k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq f(|2k0|,r(k21)eq r(3)，解得keq r(3).所以eq f(y,x)的最大值为eq r(3)，最小

8、值为eq r(3).(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq f(|20b|,r(2)eq r(3)，解得b2eq r(6).所以yx的最大值为2eq r(6)，最小值为2eq r(6).(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为eq r(202002)2，所以x2y2的最大值是(2eq r(3)274eq r(3)，x2y2的最小值是(2eq r(3)274eq r(3).本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x4yx0的距离的最大值和最

9、小值解：圆心(2,0)到直线3x4yx0的距离为deq f(|612|,5)eq f(18,5)，P(x，y)到直线3x4yx0的距离的最大值为eq f(18,5)eq r(3)，最小值为eq f(18,5)eq r(3). 与圆有关的最值问题及解题方法(1)形如ueq f(yb,xa)型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；2形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；3形如xa2yb2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.2由方程x2y2x(m1)yeq f(1,2)m20所确定的圆中，最大面积是多少？解：由题意知，r2eq

10、f(1m124f(1,2)m2,4)eq f(m22m2,4)，所以当m1时，req oal(2,max)eq f(3,4)，所以Smaxr2eq f(3,4).与圆有关的轨迹问题例3已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程自主解答(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐

11、标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.求轨迹方程的一般步骤(1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)；(2)列式：列出几何等式；(3)坐标化：用坐标表示得到方程；(4)化简：化简几何等式得到的方程；(5)证明作答：除去不合题意的点，作答3如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，

12、令动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)，由重心坐标公式得，eq blcrc (avs4alco1(xf(112x01,3)，,yf(2y0,3)，)则eq blcrc (avs4alco1(x0f(3x1,2)，,y0f(3y,2)y00，)代入x2y21，整理得，所求轨迹方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,3)2y2eq f(4,9)(y0)1种方法待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已

13、知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇高考中与圆有关的交汇问题1近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题2对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气

14、地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题典例(xx高考)设集合Aeq blcrc(avs4alco1(x，yblc|rc (avs4alco1(f(m,2)x22y2m2，x，yR)，B(x，y)|2mxy2m1，x，yR若AB，则实数m的取值范围是_解析由题意知A，则eq f(m,2)m2，即m0或meq f(1,2).因为AB，则有：(1)当2m12，即m2，即m1时，圆心(2,0)到直线xy2m的距离为d2eq f(|22m|,r(2)|m|，化简得m24m20，解得2eq r(2)m2eq r(2)，所以10，b0)始终平分圆C：x2y28x2y10，则ab的最大值

15、为()A4B2C1 D.eq f(1,4)解析：选C圆C的圆心坐标为(4，1)，则有4ab40，即4ab4.所以abeq f(1,4)(4ab)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4ab,2)2eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,2)21.当且仅当aeq f(1,2)，b2时取等号2如果点P在平面区域eq blcrc (avs4alco1(2xy20，,x2y10，,xy20)上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_解析：由点P在平面区域eq blcrc (avs4alco1(2xy20，,x2y10，,xy20)上

16、，画出点P所在的平面区域由点Q在圆x2(y2)21上，画出点Q所在的圆，如图所示记Q所在曲线的圆心为点M(0，2)，又(1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界因此，|PQ|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为eq f(|0221|,r(1222)eq r(5)，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为eq r(5)1.答案：eq r(5)1一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1若直线2xya0与圆x2y22x4y0的相切，则a的值为()Aeq r(5)B5C3

17、 D3解析：选B圆的方程可变为(x1)2(y2)25，因为直线与圆相切，所以eq f(|a|,r(5)eq r(5)，即a5.2已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值是()A8 B4C6 D无法确定解析：选C因为圆上两点A，B关于直线xy30对称，所以直线xy30过圆心eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，0)，从而eq f(m,2)30，即m6.3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4C8 D9解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x2)2y24(x1)2y2，

18、整理得x24xy20，配方得(x2)2y24.可知圆的面积为4.4(x广州模拟)若圆心在x轴上，半径为eq r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(xeq r(5)2y25 B(xeq r(5)2y25C(x5)2y25 D(x5)2y25解析：选D设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()Ax2y2x2yeq f(1,4)0Bx2y2x2y10Cx2y2x2y10Dx2y2x2yeq f(1,4)0解析：选D抛物线y22x(y0)的准线为xeq f(1,2)，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线yxeq f(1,2)(y

19、0)上，与y22x(y0)，联立可得圆心的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)，半径为1，则方程为eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2(y1)21，化简得x2y2x2yeq f(1,4)0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(x开封模拟)若PQ是圆O：x2y29的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是_解析：由圆的几何性质知kPQkOM1.kOM2，kPQeq f(1,2)，故直线PQ的方程为y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.答案：x2y508(x金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在x象限，与y轴相

20、切，与x轴相交于点A、B，且ABeq r(3)，则该圆的标准方程是_解析：依题可设C：(x1)2(yb)21(b0)，且eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2b21，可解得beq f(1,2)，所以C的标准方程为(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)21.答案：(x1)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)219定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合eq blcrc(avs4alco1(x，y|r(xx02yy02)0)；eq blcrc(avs4alco1(x，y|xy|6)；eq blc

21、rc(avs4alco1(x，y|0 x2yr(2)21).其中是开集的是_(请写出所有符合条件的序号)解析：集合eq blcrc(avs4alco1(x，y|r(xx02yy02)r)表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程解：因为圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为eq f(1,f(1,6)6，其方程为y16(x4)，即y6x

22、23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线yeq f(5,2)eq f(5,7)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(13,2)，即5x7y500上，则eq blcrc (avs4alco1(y6x23，,5x7y500，)解得圆心为(3,5)，所以半径为(93)2(65)2eq r(37)，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.x已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4eq r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)，直线C

23、D的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4eq r(10)，|PA|2eq r(10).(a1)2b240.由解得eq blcrc (avs4alco1(a3，,b6，)或eq blcrc (avs4alco1(a5，,b2.)圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.x在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xeq r(3)y4相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求的取值范围解：(1)依题设，圆O的半径r

24、等于原点O到直线xeq r(3)y4的距离，即req f(|4|,r(13)2，所以圆O的方程为x2y24.(2)由(1)知A(2,0)，B(2,0)设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，eq r(x22y2) eq r(x22y2)x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)，由于点P在圆O内，故eq blcrc (avs4alco1(x2y24，,x2y22，)由此得y20，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号探究1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：当ab时，eq f(ab,2)eq r(ab)取等号，即abeq f

25、(ab,2)eq r(ab)仅当ab时，eq f(ab,2)eq r(ab)取等号，即eq f(ab,2)eq r(ab)ab.2几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；eq f(b,a)eq f(a,b)2(a，b同号)abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，bR)；eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(a2b2,2)(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为eq f(ab,2)，几何平均数为eq r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知

26、x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2eq r(P)(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是eq f(P,4)2(简记：和定积最大)探究2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解例如，yxeq f(1,x)在x2时的最小值，利用单调性，易知x2时ymineq f(5,2).自测牛刀小试1已知m0，n0，且mn81，则mn的最小值为()A18B36C81 D243解析：选A因为m0，n0，所以mn2eq r(mn)2eq r(81)18.2若函数f

27、(x)xeq f(1,x2)(x2)在xa处取最小值，则a()A1eq r(2)B1eq r(3)C3D4解析：选Cf(x)xeq f(1,x2)x2eq f(1,x2)2，x2x20f(x)2 eq r(x2f(1,x2)24当且仅当x2eq f(1,x2)，即x3时，“”成立，又f(x)在xa处取最小值，所以a3.3已知x0，y0，z0，xy2z0则eq f(xz,y2)的()A最小值为8 B最大值为8C最小值为eq f(1,8) D最大值为eq f(1,8)解析：选Deq f(xz,y2)eq f(xz,x2z2)eq f(xz,x24xz4z2)eq f(1,f(x,z)f(4z,x)

28、4)eq f(1,8).当且仅eq f(x,z)eq f(4z,x)，即x2z时取等号4函数yxeq f(1,x)的值域为_解析：当x0时，xeq f(1,x)2 eq r(xf(1,x)2；当x0，xeq f(1,x)2 eq r(xf(1,x)2，所以xeq f(1,x)2.综上，所求函数的值域为(，22，)答案：(，22，)5在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)eq f(2,x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_解析：由题意知：P，Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为x象限中的点，则m0，n0，neq f(2,m)，所以|PQ|24|OP|24(

29、m2n2)4eq blc(rc)(avs4alco1(m2f(4,m2)16(当且仅当m2eq f(4,m2)，即meq r(2)时，取等号)故线段PQ长的最小值为4.答案：4利用基本不等式证明不等式例1已知a0，b0，ab1，求证：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)9.自主解答法一：a0，b0，ab1，1eq f(1,a)1eq f(ab,a)2eq f(b,a).同理，1eq f(1,b)2eq f(a,b).eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(

30、1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(a,b)52eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)f(a,b)549，当且仅当eq f(b,a)eq f(a,b)，即ab时取“”eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)9，当且仅当abeq f(1,2)时等号成立法二：eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)1eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,ab)1eq f

31、(ab,ab)eq f(1,ab)1eq f(2,ab)，a，b为正数，ab1，abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(1,4)，当且仅当abeq f(1,2)时取“”于是eq f(1,ab)4，eq f(2,ab)8，当且仅当abeq f(1,2)时取“”eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b)189，当且仅当abeq f(1,2)时等号成立保持例题条件不变，证明： eq r(af(1,2) eq r(bf(1,2)2.证明：a0，b0，且ab1， eq r(af(1,2) eq r(bf

32、(1,2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)1)eq r(blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)1)eq f(af(1,2)1,2)eq f(bf(1,2)1,2)eq f(ab3,2)eq f(4,2)2.当且仅当aeq f(1,2)1，beq f(1,2)1，即abeq f(1,2)时“”成立利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等1已知a0，b0，c

33、0，求证：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.证明：a0，b0，c0，eq f(bc,a)eq f(ca,b)2 eq r(f(bc,a)f(ca,b)2c，eq f(bc,a)eq f(ab,c)2 eq r(f(bc,a)f(ab,c)2b，eq f(ca,b)eq f(ab,c)2 eq r(f(ca,b)f(ab,c)2a.以上三式相加得：2eq blc(rc)(avs4alco1(f(bc,a)f(ca,b)f(ab,c)2(abc)，即eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.利用基本不等式求最值例2(1)(x浙江高考)若正

34、数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.eq f(24,5)B.eq f(28,5)C5 D6(2)已知a0，b0，a2eq f(b2,2)1，则a eq r(1b2)的最大值为_自主解答(1)由x3y5xy，得eq f(3,x)eq f(1,y)5(x0，y0)，则3x4yeq f(1,5)(3x4y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,x)f(1,y)eq f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(13f(12y,x)f(3x,y)eq f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(132 r(f(12y,x)f(3x,y)eq f(1,5)

35、(13x)5.当且仅当eq f(12y,x)eq f(3x,y)，即x2y时，“”成立，此时由eq blcrc (avs4alco1(x2y，,x3y5xy，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,yf(1,2).)(2)a0，aeq r(1b2)eq r(a21b2) eq r(2) eq r(a2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(b2,2)eq r(2)eq f(a2f(1,2)f(b2,2),2)eq f(3r(2),4)，当且仅当eq blcrc (avs4alco1(a2f(1,2)f(b2,2)，,a2f(b2,2)1，)即eq blcrc (avs

36、4alco1(af(r(3),2)，,bf(r(2),2)时取等号aeq r(1b2)的最大值为eq f(3r(2),4).答案(1)C(2)eq f(3r(2),4)应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2(1)函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，若

37、点A在直线mxny10(m，n0)上，求eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值；(2)若正数a，b满足abab3，求ab的取值范围解：(1)ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A，A(1,1)又点A在直线mxny10(m0，n0)上，mn1(m0，n0)eq f(1,m)eq f(1,n)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)2eq f(n,m)eq f(m,n)224，当且仅当mneq f(1,2)时，等号成立，eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值为4.(2)abab3，又a，b(0，)，ab2eq r(ab)3.设eq r(ab)t0，t2

38、2t30.t3或t1(舍去)ab的取值范围是9，)利用基本不等式解决实际问题例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在x年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4eq f(k,2t1)(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知x年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入x万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家x年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家x年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？自主解答(1

39、)由题意有14eq f(k,1)，得k3，故x4eq f(3,2t1).故y1.5eq f(612x,x)x(6xx)t36xt36eq blc(rc)(avs4alco1(4f(3,2t1)t27eq f(18,2t1)t(t0)(2)由(1)知：y27eq f(18,2t1)t27.5eq blcrc(avs4alco1(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2).基本不等式eq f(9,tf(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)2 eq r(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)6，当且仅当eq

40、f(9,tf(1,2)teq f(1,2)，即t2.5时等号成立故y27eq f(18,2t1)t27.5eq blcrc(avs4alco1(f(9,tf(1,2)blc(rc)(avs4alco1(tf(1,2)27.5621.5.当且仅当eq f(9,tf(1,2)teq f(1,2)时，等号成立，即t2.5时，y有最大值21.5.所以x年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；3在求函数的最值时，一定要

41、在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元公司拟投入eq f(1,6)(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq f(1,5)x万元作为浮动宣传费用

42、试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设每件定价为x元，依题意，有eq blc(rc)(avs4alco1(8f(x25,1)0.2)x258，整理得x265x1 0000，解得25x40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最高为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850eq f(1,6)(x2600)eq f(1,5)x有解，等价于x25时，aeq f(150,x)eq f(1,6)xeq f(1,5)有解，eq f(150,x)eq f(1,6)x2 eq r(f(150,x)f(1,

43、6)x)10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元1个技巧公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是abeq f(a2b2,2)；eq f(ab,2)eq r(ab)(a，b0)逆用就是abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2(a，b0)等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形(1)eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)

44、2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2,f(1,a)f(1,b)(a0，b0，当且仅当ab时取等号)3个关注利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用1考题多以函数

45、、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题2解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件典例(xx高考)已知两条直线l1：ym和l2：yeq f(8,2m1)(m0)，l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，eq f(b,a)的最小值为()A16eq r(2)B8eq r(2)C8eq r(3,4) D4eq r(3,4)解析数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐

46、标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以eq f(b,a)eq f(xBxD,xCxA)，根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以eq f(b,a)2，由于eq f(8,2m1)meq f(8,2m1)eq f(2m1,2)eq f(1,2)4eq f(1,2)eq f(7,2)，当且仅当eq f(8,2m1)eq f(2m1,2)，即2m14，即meq f(3,2)时等号成立，故eq f(b,a)的最小值为28eq r(2).答案Beq avs4al(名师点评)1本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、

47、转化为基本不等式求最值问题(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标；(2)正确理解a，b的几何意义，并能正确用A、C、B、D的坐标表示；(3)能用拼凑法将meq f(8,2m1)(m0)化成利用基本不等式求最值的形式eq avs4al(变式训练)1已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列x，c，d，y成等比数列，则eq f(ab2,cd)的最小值是()A0B1C2D4解析：选D由题知abxy，cdxy，x0，y0，则eq f(ab2,cd)eq f(xy2,xy)eq f(2r(xy)

48、2,xy)4，当且仅当xy时取等号2若直线axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值为()A.eq f(1,4) B.eq r(2)C.eq f(3,2)eq r(2) D.eq f(3,2)2eq r(2)解析：选C圆的直径是4，说明直线过圆心(1,2)，故eq f(1,2)ab1，eq f(1,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(3,2)eq f(b,a)eq f(a,2b)eq f(3,2)eq r

49、(2)，当且仅当eq f(b,a)eq f(a,2b)，即a2(eq r(2)1)，b2eq r(2)时取等号3若x0，y0，且eq r(x)eq r(y)aeq r(xy)恒成立，则a的最小值是_解析：由eq r(x)eq r(y)aeq r(xy)，得aeq f(r(x)r(y),r(xy)，令f(x，y)eq f(r(x)r(y),r(xy)，则f(x，y)eq f(r(x)r(y),r(xy) eq r(f(r(x)r(y)2,xy) eq r(1f(2r(xy),xy) eq r(1f(2r(xy),2r(xy)eq r(2)，当且仅当xy时等号成立故a eq r(2).答案：eq

50、r(2)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(xx高考)下列不等式一定成立的是()Alg(x2eq f(1,4)lg x(x0)Bsin xeq f(1,sin x)2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.eq f(1,x21)1(xR)解析：选C取xeq f(1,2)，则lgeq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,4)lg x，故排除A；取xeq f(3,2)，则sin x1，故排除B；取x0，则eq f(1,x21)1，故排除D.2(xx高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aaveq r(ab)Bveq r(a

51、b)C.eq r(ab)veq f(ab,2) Dveq f(ab,2)解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为eq f(S,a)，从乙地到甲地所需时间为eq f(S,b)，又因为ab，所以全程的平均速度为veq f(2S,f(S,a)f(S,b)eq f(2ab,ab)eq f(2ab,2b)a，即av0，b0，且ln(ab)0，则eq f(1,a)eq f(1,b)的最小值是()A.eq f(1,4)B1C4D8解析：选C由a0，b0，ln(ab)0得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,a0，,b0.)故eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,a

52、b)eq f(1,ab)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)4.当且仅当abeq f(1,2)时上式取“”4(x淮北模拟)函数yeq f(x22,x1)(x1)的最小值是()A2eq r(3)2 B2eq r(3)2C2eq r(3) D2解析：选Ax1，x10，yeq f(x22,x1)eq f(x22x2x2,x1)eq f(x22x12x13,x1)eq f(x122x13,x1)x1eq f(3,x1)22 eq r(x1f(3,x1)22eq r(3)2，当且仅当x1eq f(3,x1)

53、，即x1eq r(3)时，取等号5设a0，b0，且不等式eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(k,ab)0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：选C由eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(k,ab)0得keq f(ab2,ab)，而eq f(ab2,ab)eq f(b,a)eq f(a,b)24(ab时取等号)，所以eq f(ab2,ab)4，因此要使keq f(ab2,ab)恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.6(x温州模拟)已知M是ABC内的一点，且2eq r(3)，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为eq f(1,2)，x，y，则eq

54、 f(1,x)eq f(4,y)的最小值是()A20 B18C16 D19解析：选B由|cos 302eq r(3)得|4，SABCeq f(1,2)|sin 301，由eq f(1,2)xy1得xyeq f(1,2).所以eq f(1,x)eq f(4,y)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)(xy)2eq blc(rc)(avs4alco1(5f(y,x)f(4x,y)2(522)18.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站1

55、0公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1eq f(20,x)；y20.8x费用之和yy1y20.8xeq f(20,x)2 eq r(0.8xf(20,x)8，当且仅当0.8xeq f(20,x)，即x5时“”成立答案：58若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab1eq r(a)eq r(b) eq r(2)a2b22a3b33eq f(1,a)eq f(1,b)2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即abeq f(ab2,4

56、)1，当且仅当ab时取等号，故正确；(eq r(a)eq r(b)2ab2eq r(ab)22eq r(ab)4，当且仅当ab时取等号，得eq r(a)eq r(b)2，故错误；由于eq f(a2b2,2)eq f(ab2,4)1，故a2b22成立，故正确；a3b3(ab)(a2b2ab)2(a2b2ab)，ab1，ab1，又a2b22，a2b2ab1，a3b32，故错误；eq f(1,a)eq f(1,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)eq f(ab,2)1eq f(a,2b)eq f(b,2a)112，当且仅当ab时取等号，故正确答案：9(x泰州模拟)已

57、知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_解析：依题意得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)2eq r(x12y1)6，x2y4，当且仅当x12y1，即x2，y1时取等号，故x2y的最小值是4.答案：4三、解答题(本大题共3小题，每小题x分，共36分)10已知a0，b0，c0，d0.求证：eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)4.证明：eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(b,a)eq f(d,c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(

58、c,d)f(d,c)224(当且仅当ab，cd时，取“”)，故eq f(adbc,bd)eq f(bcad,ac)4.x已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2eq r(16xy)，即xy8eq r(xy)，eq r(xy)8，即xy64.当且仅当2x8y，即x16，y4时，“”成立xy的最小值为64.(2)x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即eq f(2,y)eq f(8,x)1.xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,y)f(8,x)10eq f(2x,y)eq f(8y,x)102 eq

59、 r(f(2x,y)f(8y,x)18，当且仅当eq f(2x,y)eq f(8y,x)，即x2yx时“”成立xy的最小值为18.x提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)

60、xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解：(1)由题意，当0 x20时，v(x)60；当20 x200时，设v(x)axb，则由已知得eq blcrc (avs4alco1(200ab0，,20ab60，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,3)，,bf(200,3).)故函数v(x)的表达式为v(x)eq blcrc (avs4alco1(60，0 x20，,f(1,3)200 x，20 x200.)(2)依题意并由(1)可得f(x)eq blcrc (avs4alco1(60 x，0 x20，,f(1,3)x200 x，20 x200.)当0 x20时，