3.5.2简单线性规划 (3)

1、3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域学习目标1.理解二元一次不等式组的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.知识点一二元一次不等式(组)的概念思考对于只含有一个未知数的不等式x6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x0.那么对于含有两个未知数的不等式xy0，,x40)的解集为数轴上的一个区间(如图).那么，在直角坐标系内，二元一次不等式xy6的解集表示什么图形呢？答案 二元一次不等式xy6的解是一个有序数对(x，y)，它在平面直角坐标系中对应一个点.显然不等式xy6的解不止一个，且这些解不在直线xy6上.经

2、探索，以二元一次不等式xy6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式xy6.因此，在直角坐标系中，不等式xy0(或0(或0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域.()2.点(1，2)不在不等式2xy10表示的平面区域内.()3.不等式AxByC0与AxByC0表示的平面区域是相同的.()4.二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式.()5.二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域.()类型一二元一次不等式解的几何意义例1已知点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是 .答案(7，24)解析点(3，1)和(4，6)必有一个是3x

3、2ya0的解，另一个点是3x2ya0的解.eq blcrc (avs4alco1(3321a0，,3426a0)或eq blcrc (avs4alco1(3321a0，,3426a0，)即(3321a)3(4)26a0，(a7)(a24)0，解得7a24.反思与感悟对于直线l：AxByC0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，则Ax2By2C0，即同侧同号，异侧异号.跟踪训练1经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.解由题意知直线l的斜率存在，设为k.则可设直线l的方程为kxy10，由题意知A，B两

4、点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1.故直线l的斜率k的取值范围是1，1.类型二二元一次不等式表示的平面区域例2画出不等式x4y4表示的平面区域.解先作出边界x4y4，因为这条线上的点都不满足x4y4，所以画成虚线.取原点(0，0)，代入x4y4，因为040440，所以原点(0，0)在x4y40表示的平面区域内，所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方.所以x4y0表示的平面区域在直线x2y60的()A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x2y60，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0，0)代入x2y

5、6，得00660，所以原点(0，0)在不等式x2y60表示的平面区域内，故选B.类型三二元一次不等式(组) 表示的平面区域eq x(命题角度1画平面区域)例3用平面区域表示不等式组eq blcrc (avs4alco1(y3x12，,x2y)的解集.解不等式y3x12，即3xy120，表示的平面区域在直线3xy120的左下方；不等式x2y，即x2y0，表示的是直线x2y0左上方的区域.取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.引申探究|x|2y|表示什么区域？解|x|2y|等价于x2(2y)2，即(x2y)(x2y)0，即eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,x

6、2y0)或eq blcrc (avs4alco1(x2y0，,x2y0，)其表示的平面区域如图阴影部分所示.反思与感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：画线；定侧；求“交”；表示.但要注意是否包含边界.跟踪训练3画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)eq blcrc (avs4alco1(x2y3，,xy3，,x0，,y0.)(2)eq blcrc (avs4alco1(xy2，,2xy1，,xy2.)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方的区域；x0

7、表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域.综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示.(2)xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方的区域；xy2表示直线xy2左下方的区域.综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示.eq x(命题角度2求区域面积)例4在平面直角坐标系中，求不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy20，,xy20，,x2)表示的平面区域的面积.解在平面直角坐标系中，作出xy20，xy20和x2三条直线，利用特殊点(0，0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示，所以面积为S

8、eq f(1,2)424.反思与感悟求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.跟踪训练4不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,x3y4，,3xy4)所表示的平面区域的面积等于()A.eq f(3,2) B.eq f(2,3) C.eq f(4,3) D.eq f(3,4)答案C解析作出平面区域如图所示为ABC，由eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,3xy40，)可得A(1，1)，又B(0，4)，C

9、eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4,3)，SABCeq f(1,2)|BC|xA|eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(4,3)1eq f(4,3)，故选C.1.不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点是()A.(0，0) B.(1，1)C.(0，2) D.(2，0)答案D解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x2y0，,x2，,3x2y60，,x0) D.eq blcrc (avs4alco1(y2，,3x2y60，,x2.又阴影部分在直线x0左边，且包含直线x0，故可得不等式x0.由图象可

10、知，第三条边界线过点(2，0)，点(0，3)，故可得直线3x2y60，因为此直线为虚线且原点O(0，0)在阴影部分，故可得不等式3x2y60.观察选项可知选C.3.下面给出的四个点中，位于eq blcrc (avs4alco1(xy10)表示的平面区域内的点是()A.(0，2) B.(2，0) C.(0，2) D.(2，0)答案C解析依次将A，B，C，D四个选项代入即可知只有C符合条件.4.画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1)x2y40；(2)y2x.解(1)画出直线x2y40，020440，x2y40表示的区域为含(0，0)的一侧，因此所求为如图所示的阴影部分区域，包括边界.(2)画

11、出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求为如图所示的阴影部分区域，不包括边界.1.对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC1，,y0)表示的平面区域内整点的个数是()A.2 B.4 C.6 D.8答案C解析画出可行域后，可按x0，x1，x2，x3分类代入检验，符合要求的点有(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，共6个.3.直线2xy100与不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xy2，,4x3y20)表示的平面区域的公共点有

12、()A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个答案B解析画出可行域如图阴影部分所示(含边界).直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0).4.如图所示，表示满足不等式(xy)(x2y2)0的点(x，y)所在的平面区域为()答案B解析不等式(xy)(x2y2)0等价于不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy0，,x2y20)或不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy0，,x2y20所表示的平面区域内，则m的取值范围是()A.m1 B.m1 C.m1答案D解析由2m350，得m1.二、填空题7.原点与点(1，1)有且仅有一个点在不等式2xya0表示的平面区域内，则a的取值

13、范围为 .答案(1，0解析根据题意，分以下两种情况：原点(0，0)在该区域内，点(1，1)不在该区域内.则eq blcrc (avs4alco1(a0，,a10，)无解；原点(0，0)不在该区域内，点(1，1)在该区域内，则eq blcrc (avs4alco1(a0，,a10，)1a0.综上所述，10，,x1)10.若点P(m，3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数m的值为 .答案3解析由点P(m，3)到直线4x3y10的距离deq f(|4m91|,5)4，得m7或m3.又点P在不等式2xy30表示的平面区域内，当m3时，点P的坐标为(3，3)，

14、则2(3)330，不符合题意，舍去.综上，m3.三、解答题11.画出不等式组eq blcrc (avs4alco1(xy50，,xy0，,x3)表示的平面区域.解先画出直线xy50(画成实线)，取原点O(0，0)，代入xy5，因为00550，所以原点在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合，同理可得xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合.所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界).12.在ABC中，A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组.解如图所示

15、，可求得直线AB，BC，CA的方程分别为x2y10，xy20，2xy50.ABC区域在直线AB上及其右上方，x2y10；ABC区域在直线BC上及其右下方，xy20；ABC区域在直线AC上及其左下方，2xy50.ABC区域可表示为eq blcrc (avs4alco1(x2y10，,xy20，,2xy50.)13.利用平面区域求不等式组eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2，,6x7y50)的整数解.解由线性约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.把x3代入6x7y50，得yeq f(32,7)，又y2，整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)；把x4代入6x7y50，得ye

16、q f(26,7)，整点有(4，2)，(4，3).把x5代入6x7y50，得yeq f(20,7)，整点有(5，2)；把x6代入6x7y50，得y2，整点有(6，2)；把x7代入6x7y50，得yeq f(8,7)，与y2矛盾.整数解共7个，为(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2).四、探究与拓展14.不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10，,xkyk0)表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k为()A.1 B.1C.1 D.2答案C解析在不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10)所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分别为(0，0)，(eq r(2)1，0)，(0，eq r(2)1)，又xkyk0表示的是过点(0，1)的直线，则当k0时，k1满足条件(如图1)；当k0时，k1满足条件(如图2).故当k1或1时不等式组eq blcrc (avs4alco1(x0，,y0，,xyr(2)10，,xkyk0)表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选C.图1 图215.记不等式组