第六课时两角和与差的余弦、正弦、正切（三）

1、- PAGE 7 -第六课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(三)教学目标：进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.教学重点：利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.教学难点：怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.教学过程：.复习回顾cos()coscossinsinsin()sincoscossintan（） eq f(tantan,1tantan) .讲授新课例1已知一元二次方程ax2bxc0(a0且ac)的两个根为tan、tan，求tan()的值.分析：由题意

2、可得tan、tan为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tantan eq f(b,a) ，且tantan eq f(c,a) ，联想两角和的正切公式，不难求得tan()的值.解：由a0和一元二次方程根与系数的关系，可知： eq blc(aal(tantan eq f(b,a) ,tantan eq f(c,a) ) 且ac所以tan() eq f(tantan,1tantan) eq f( eq f(b,a) ,1 eq f(c,a) ) eq f(b,ac) eq f(b,ca) .评述：在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.例2设sincos eq f(r(2),3

3、)， eq f(,2) ，求sin3cos3与tancot的值.解：sincos eq f(r(2),3)sin22sincoscos2 eq f(2,9) sincos eq f(7,18) 又sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)(sincos)(1sincos) eq f(r(2),3) (1 eq f(7,18) ) eq f(25,54) eq r(2) 又 eq f(,2) sin0，cos0sincos eq f(4,3) tancot eq f(sin,cos) eq f(cos,sin) eq f(sin2cos2,sincos) eq f(（sin

4、cos）（sincos）,sincos) eq f( eq f(r(2),3) eq f(4,3) , eq f(7,18) ) eq f(8r(2),7)评述：(1)在sincos、sincos与sincos中，知其中之一便可求出另外两个.(2)解决有关sincos、sincos与sincos的问题是三角函数中的一类重要问题.例3tan2Atan(30A)tan2Atan(60A)tan(30A)tan(60A)_.解：原式tan2Atan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)tan2Atan(30A)(60A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(6

5、0A)tan2Atan(902A)1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)tan2Acot2A1tan(30A)tan(60A)tan(30A)tan(60A)1评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.例4已知tan、tan是方程x23x30的两个根，求sin2()3sin()cos()3cos2()的值.解：由题意知 eq blc(aal(tantan3,tantan3) tan() eq f(tantan,1tantan) eq f(3,1（3）) eq f(3,4) sin2()3sin()cos()3cos2()cos2()ta

6、n2()3tan()3 eq f(1,1tan2() tan2()3tan()3 eq f(1,1（ eq f(3,4) ）2) ( eq f(3,4) )23 eq f(3,4) 33例5已知、为锐角，cos eq f(4,5) ，tan() eq f(1,3) ，求cos的值.解：由为锐角，cos eq f(4,5) ，sin eq f(3,5) .由、为锐角，又tan() eq f(1,3) cos() eq f(3r(10),10)，sin() eq f(r(10),10)coscos()coscos()sinsin() eq f(4,5) eq f(3r(10),10) eq f(3

7、,5) ( eq f(3r(10),10) eq f(9r(10),50).课堂练习1.若方程x2mxm10的两根为tan、tan.求证sin()cos().解：由题意可知 eq blc(aal(tantanm,tantanm1) 由：tan() eq f(tantan,1tantan) 得：tan() eq f(m,1（m1）) 1即：sin()cos()命题得证.评述：要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.2.若ABC的三内角成等差数列，且ABC，tanAtanC2 eq r(3) ，求角A、B、C的大小.分析：由A、B、C为ABC的三内角，可知ABC18

8、0，又已知A、B、C为等差数列，即2BAC，所以B60且AC120与已知条件中的tanAtanC2 eq r(3) 可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.解：由题意知： eq blc(aal(ABC1800,2BAC) 解之得：B60且AC120tan(AC)tan120 eq r(3) eq f(tanAtanC,1tanAtanC) 又tanAtanC2 eq r(3) tanAtanCtan(AC)(1tanAtanC)tan120(12 eq r(3) ) eq r(3) (1 eq r(3) )3 eq r(3) tanA、tanC可作为一元二次方程x2(3 eq r(3)

9、)x(2 eq r(3) )0的两根又0ABCtanA1，tanC2 eq r(3) 即：A45，C75答：A、B、C的大小分别为45、60、75.评述：要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.3.如果sinsina，coscosb，ab0，则cos()等于 ( )A. eq f(ab,a2b2) B. eq f( eq r(3) （a2b2）,2) C. eq f(2ab,a2b2) D. eq f(a2b2,2) 1分析：由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式sin2cos21不难求得cos()，再利用平方关系求得sin().解：由 eq blc(aal(sinsina

10、,coscosb) 得：a2b2sin2sin22sinsincos2cos22coscos22cos()cos() eq f(a2b2,2) 1 评述：遇到这种已知条件式时，往往要结合同角三角函数平方关系式.课时小结在解决三角函数问题时，常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使用.课后作业课本P101 9 ，10，11，13两角和与差的余弦、正弦、正切(二)1cos（15）等于 （ ）A. eq f(r(6)r(2),2) B. eq f(r(6)r(2),2) C. eq f(r(6)r(2),4)D. eq f(r(6)r(2),4) 2在ABC中，若sin

11、AsinBcosAcosB，则ABC的形状为 （ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均可能 3sin eq f(,12) eq r(3) cos eq f(,12) 的值是 （ ）A.0 B. eq r(2) C. eq r(2) D.2 4若tan() eq f(2,5) ，tan( eq f(,4) ) eq f(1,4) ，则tan( eq f(,4) )等于 （ ）A. eq f(13,18) B. eq f(13,22) C. eq f(3,22) D. eq f(3,18) 5 eq f(1tan2750,tan750) 的值是 （ ）A.2 eq r(3) B.

12、2 eq r(3) C. eq f(2,3) eq r(3) D. eq f(2,3) eq r(3) 6已知cos eq f(3,5) ，且（， eq f(3,2) ），则tan（ eq f(,4) ）= . 7tan70tan50tan70tan50的值等于 . 8若cos() eq f(12,13) ，cos() eq f(1,13) ，则tantan . 9已知coscos eq f(1,2) ，sinsin eq f(1,3) ，则cos() . 10已知： eq f(,2) eq f(3,4) ，且cos() eq f(12,13) ，sin() eq f(3,5) ，计算sin2

13、的值.11已知tan，tan是方程x2(4m1)x2m0的两个根，且m eq f(1,2) .求 eq f(sin(),cos() 的值. 12已知3sinsin(2)，k eq f(,2) ，k eq f(,2) ，kZ.求证：tan()2tan.两角和与差的余弦、正弦、正切(二)答案1D 2B 3B 4C 5B 6 eq f(1,7) 7 eq r(3) 8 eq f(13,11) 9 eq f(59,72) 10已知： eq f(,2) eq f(3,4) ，且cos() eq f(12,13) ，sin() eq f(3,5) ，计算sin2的值.利用sin2sin()()可求得sin2 eq f(56,65) .11已知tan，tan是方程x2(4m1)x2m0的两个根，且m eq f(1,2) .求 eq f(sin(),cos() 的值.解：由题知tantan(4m1)，tantan2m eq f(s