6.3用正交变换化二次型为标准型课件

1、6.3 用正交变换化二次型为标准形五、用正交变换化二次型为标准形的方法四、实对称矩阵与二次型的一些性质三、正交变换二、正交矩阵一、问题的引入六、在二次曲线中的应用引例考察方程 所表示的曲线。由一、问题的引入利用配方法可得(1) 令(2) 令或或引例考察方程 所表示的曲线。一、问题的引入(3) 令即其中问题哪个方程描述了真正的椭圆呢？xy引例考察方程 所表示的曲线。一、问题的引入二、正交矩阵定义设 A 为 n 阶实矩阵，若 A 满足则称 A 为正交矩阵。此时显然有例如设则有故 A 为正交矩阵。二、正交矩阵性质(1) 若 A 为正交矩阵，则 也为正交矩阵；(2) 若 A 为正交矩阵，则 或(3)

2、若 A, B 为正交矩阵，则 A B 也为正交矩阵；(4) 方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质 (4) 中列向量的情况)将矩阵 A 按列分块则即 A 为正交阵A 的列向量构成标准正交向量组。证明(仅证性质 (4) 中列向量的情况)例下列矩阵是否为正交阵？(1) A 是正交矩阵;答(2) B 不是正交矩阵。(将 B 的每一列单位化即得到正交矩阵)例设方阵 A 为正交阵，且试证 A + I 不可逆。即 A + I 不可逆。证从而有上式两端取行列式并由 得三、正交变换若 P 为正交矩阵，则线性变换 称为正交变换。定义 性质 设 为线性变换，则下列命

3、题等价：(1) 线性变换 为正交变换；(2) 在线性变换 下，向量的内积不变，即当 时，有(3) 线性变换 把 中的标准正交基变成标准经过正交变换后，向量 (线段) 的长度、夹角保持不变，优点曲线 (曲面) 的形状、大小保持不变。正交基。(1) (2)：(2) (3)：设为 中的标准正交基，经线性变换 后得向量组从而为 中的标准正交基；即 C 为正交阵，若 为正交变换,若在线性变换 下，向量的内积不变,证明 (采用循环证明的方法完成其等价性的证明)则有(3) (1)：设则有由于 和 都是正交阵，若 把 中的标准正交基变成标准正交基，设为 中的标准正交基，经线性变换 后得向量组也为 中的标准正交

4、基。则也是正交阵。因此从而 为正交变换。目标求正交矩阵 P，即使得或要求(1) 矩阵 P 的列必须为 A 的特征向量；(2) 矩阵 P 的列必须为正交向量组；(3)必须是 A 的特征值。三、正交变换四、实对称矩阵与二次型的一些性质1. 实对称矩阵的性质(1) A 的特征值都是实数；性质1设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；证明(1) 设 l 是 A 的特征值,又由 有故则存在 使得对上式两端取共轭转置，并利用 得其中 是 X 的共轭。从而有即得即实对称矩阵 A 的特征值都是实数。(a)(b)证明(2) 设 是 A 的两个不同的特征值，分别是对应于

5、的特征向量，则因此由 有即 与 正交。四、实对称矩阵与二次型的一些性质1. 实对称矩阵的性质性质1(1) A 的特征值都是实数；设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有(2) A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；性质2设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 C，使得(数学归纳法)证明 假设性质对于 阶成立，需证对于 n 阶也成立 。对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。则 P 为正交阵，且(1) 设 A 的某特征值 对应的单位特征向量为将 扩充为 中的标准正交向量组令记为即得00其中(2) 对于 有根据归纳法假设，存在 阶正交阵 使得则 Q 为正交阵，且000000000000令为 阶对

6、称矩阵，(3) 由于则 C 为正交阵，且00 令00(4) 由于定理对于任意一个给定的实二次型其中是矩阵 A 的特征值。正交变换使得四、实对称矩阵与二次型的一些性质1. 实对称矩阵的性质2. 主轴定理总存在(2) 求出相应的一组线性无关的特征向量(3) 将 标准正交化注得到步骤(4) 令(1) 求出二次型对应的矩阵A 的特征值作正交变换即得注由于实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量必正交。故标准正交化只需在每个特征值所对应的特征向量之间进行。五、用正交变换化二次型为标准形的方法例设实对称矩阵求正交阵 C，使得特征值解(1) 由(2) 对于令即求解得基础解系为单位化得单位特征向量(3)

7、对于令即求解得基础解系为这两个向量已正交，只需单位化即得：(4) 于是可得正交矩阵使得解(1) 二次型所对应的矩阵为例已知 求一个正交变换 X = PY ，将该二次型化为标准型。由可得 A 的特征值为(2) 当 时， 得基础解系直接单位化得求解方程组因 已正交，得基础解系单位化得(3) 当 时， 求解方程组(4) 于是可得正交矩阵则有解(1) 二次型所对应的矩阵为例已知求一个正交变换 X = PY ，将该二次型化为标准型。由可得 A 的特征值为(2) 当 时， 得基础解系对其进行标准正交化得求解方程组得基础解系单位化得(3) 当 时， 求解方程组(4) 于是可得正交矩阵则有六、在二次曲线中的应

8、用例已知某二次曲线的方程为写出其标准方程，并画出该二次曲线示意图。解记当 时， 求得单位化的特征向量当 时， 求得单位化的特征向量可得 A 的特征值为(1) 由则有(2) 令即原方程 化为即xy为 轴的方向，C 的第一列，即C 的第二列，即为 轴的方向，由此即可画出(3) 如何作图？原方程所表示的二次曲线为1. 对称矩阵的性质本节小结(1) 特征值为实数；(2) 属于不同特征值的特征向量必正交；(3) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的(4) 必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵。且对角矩阵个数相等；的对角线上的元素即为其特征值；而正交矩阵的列即为其特征向量。1. 对称矩阵的性质2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤(1) 求特征值；(2) 求线性无关的特征向量；(3) 将特征向量正交化并单位化；(4) 由所求得的特征向量构成正交矩阵；由特征值构成对角阵。本节小结1. 对称矩阵的性质2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何特性不