立体几何中的向量方法第二课时

1、3.2.2立体几何中的向量方法(二)课件 新人教版(选修2-1)一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题转化为求向量模长问题 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点

2、的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通

3、常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：面面距离点面距离解： 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？2、向量法求点到平面的距离：DABCGFExyzDABCGFExyz 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析： 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为

4、端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCD （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，EF在平面 AC 内作 CFAB 于 F。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。空间“夹角”问题1.异面直线所成角lmlm若两直线 所成的角为 , 则ABn2. 线面角设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，则n而利用 可求 ，从而再求出 2. 线面角l设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB DCLBA3、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图