人教版八年级上册数学三角形讲义(学生版)

1、八年级上讲义 八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念三角形的定义山不在同左线上的三条线段订尾顺次连结所组成的图形叫做三角形耍点：三条线段；不在同i直线上；首尾顺次相按.三角形的表示AABC中，边：AB9BC,AC或ca9h.顶点:AfB9C.内角：ZA,ZB,ZC二、三角形的边三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)三角形任总两边之和大丁笫三边:b+Oa三角形任意两边之垫小丁笫三边:b-ca1.1判断三条已知线段养b.C能否组成三角形.当a最长，且有b+oa时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差第三边两边之和.三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的

2、个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.筑角三角形三条高线交于三角形内部点；克角三角形三条高线交丁直角顶点；钝角三角形三条高线所在II线交丁三介形外部点2.2三角形的角平分线三角形-个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点少如之间的线段叫做三角形的角平分线.三条角平分线交于三角形内部点.2.3三角形的中线连结三和形个顶点9它对边中点的线段叫做三角形的川线0三和形的三条中线交于三和形内部点.三、三角形的角1三角形内角和定理结论1:AABCZA+ZB+ZC=180三角形中至少冇2个筑角结论2：在直角三角形中，两个饶角互余.注总：在三角形中己知两个内角可以求出笫三个内角

3、三角形中至多冇1个純角如：在厶ABC中,ZC=180-(ZA+ZB)在三角形中，己知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角.如：AABC中，已知ZA:ZB：ZC=2:3:4.求ZA、ZB、ZC的度数2三角形外角和定理2.1外角：三角形-边与另-边的延长线组成的角叫做三角形的角.22性质：三角形的-个外角等丁与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点冇两个外角，这两个角为对顶角(相等)，可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类按角分：筑角三角形直角三角形饨角三角形按边分：不等边三角形底与腰不等

4、的等腰三角形等边三和形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，山些线段苜尾顺次相按组成的图形叫做多边形-2、正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.3、多边形的对角线(1丿从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形.琥?23)(2胆边形共冇2条对角线。11边形的内角和筹于(n-2)180(nM3,ri是正整数).任意凸形多边形的外角和等于360。多边形外角和恒等丁360与边数的多少无关.多边形最多冇3个内角为筑角，最少没冇说角(如矩形)；多边形的外角中晟多冇3个純角，最少没冇饨角-5、实现镶嵌的条件：拼按在同点的各个角的和恰好等丁360:相邻

5、的多边形冇公共边.【考点三】判断三角形的形状8若ABC的三边gbc满足(ab)(b-c)(c-a)-0,试判断AABC的形状已知a,b,c/iAABC的三边，fl满足卫十tZ+c-ab十be十ca,试判断ABC的形状若ZiABC的三边为gb、c(a与b不相等),且酒足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3-0,试判断ABC的形状二、三角形角有关计算1如图ZiABC中AD是高.AE、BF是角平分线,它们相交于点0,ZA=50,ZC=70求ZDAC,ZA0B八年级上讲义 # #八年级上讲义 # #八年级上讲义 #八年级上讲义 # #2如图，ZiABC中，D是BC边上一点，Zl=Z2,Z3=Z4

6、,ZBAC=63，求ZDAC的度数3.已知：PAABC内任意一点.求证：ZBPCZA4如图.Z1-Z2,Z3-Z4,ZA-100,求x的值5.己知AABC的ZB、ZC的平分线交丁点0.求证：ZBOC-90+ZA（角平分线模型丿A八年级上讲义八年级上讲义 &己知：BP.CP是ZXABC的外角的平分线，交丁点P求证：ZP-90-ZA（角平分线模型丿7.AABCUhZABC的平分线BD和ZXABC的外角平分线CD交于D,求证：ZA-2ZD（角平分线模型丿AOB中，ZAOB-90,ZOAB的平分线和ZXABC的外角ZOBD平分线交于P,求ZP的度数09如图：求证：ZA+ZB+ZC=ZADC（飞镖模型丿

7、第12章全等三角形一、全等三角形的槪念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全竽三角形(1)義示方法：两个三角形全等用符号“竺來农示，记作ABCDEF2、性质：(1)对应边相等(2)对应角相等(3)周长相筹(4)而积相等二全等三角形的判定1全等三角形的判定方法：(SAS),(SSS),(ASA),(AAS),(HL)边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边AAS直角边和斜边(HL)/AKBHCBC三边对应相等的两三角形全等冇两边和它们的夹角对应相零的两个三角形全等冇两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.冇一条斜边和一条

8、直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL2.全等三和形证题的思路:找夹角(SAS)己知两边找直角CHL)找第三边(SSS)若边为角的对边，则找任意角(A4S)己知一边一角找己知角的另一边(5AS)边为角的邻边找己知边的对角C4AS)找夹己知边的另一角C4SA)己知两角2找两角的夹边SSA)找任意一边G4AS)3全等三角形的隐含条件公共边(或公共角)相等对顶角相等利用等边(等角)加(或减)等边(等角)，其和(或差)仍相等利用平行线的性质得出同位角.内错角相等冬普玉育形fSAS；【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”.几何表示如图，在ABC和ADE/7中

9、,AB=DEZB=ZEABCDEF(SAS)BC=EF【典型例题】【例1】已知：如图，AB=AC,AD=AE,求证：BE=CD.【例2】如图，已知：点D、E在BC上.J1BD=CE,AD=AE,Z1=Z2.山此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】如图已知：AE=AFAB=AC.ZA=60,ZB=24,求ZBOE的度数.【例4】如图点A、F.C.D在同-直线上，点B和点E分别在左线AD的两侧，ABDEHAB=DE,AF=DC求证：BCEF八年级上讲义八年级上讲义 #八年级上讲义八年级上讲义 #【例5】如图.己知ABC.ABDE均为等边三角形求证：BD+CD=AD.八年级数学上讲义八年级数学上讲义

10、 # 全等三角形(SSS)【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”,几何表示【典型例题】【例1】如图.在ABCM在BC上.D在AM上，AB-AC,DB-DC求证：AM是ABC的角平线.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #【例2】如图：在厶ABC中，BA-BC,D是AC的中点求证：BD丄AC.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #0IJ3如图：ABYD,AE-DF,CE-FB。证：ZB-ZC.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #例4.如图

11、，在ABC中,ZC=90,D、E分别为AC、AB上的点，旦AD-BDAE-BCQE-DC求证：DE丄AB。 #a八年级数学上讲义会著形（AAS丿【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AASJ【典型例题】【例1】已知如图，ZA=ZD,AB=DE.AB/DE.求证：bc=ef # # # #【例2】如图.AB=AC,Z=ZC,求证：AD=AE # # # #【例3】己知：如图，AB-AC.BD1AC,CE1AB.垂足分别为/XE,BD.CE相交丁点F,求证：BEYD. # # # #【例4】已知如图.Z1=Z2,Z3=Z4，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试

12、证明之.八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # 全#王形(ASA丿【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成靛边角边”或“AAS”.【典型例题】【例1】如图.已知MBC中，AB=AC.BE.CD分别是ZABC及平分线.求证：CD=BE八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #【例2】如图，在厶MPN中，H是高MQ和NR的交点，1MQ=NQ求证：HN=PM八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #【例3】已知：如图AC丄CDTC、BD丄CD丁D,M是AB的中点，连结CM并延长交BDT点F求证：AC-BF.

13、八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #八年级数学上讲爻八年级数学上讲爻 # #舍#形(HL)【知识要点】亶角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”【典型例题】h如图，AB=CD.DB丄AC,BPLAC.B,F是垂足，DE=BF求证：ABWCD.八年级数学上讲艾八年级数学上讲艾例2、已知：BELCD,BE=DE,BC=DA,求证：ECZAE；DF丄BC八年级数学上讲艾八年级数学上讲艾八年级数学上讲艾八年级数学上讲艾例3.如图：在ZiABC中，ZC-90%AC-BC，H点C在ABC外作直线MN,AM丄MN丁M,BN丄MNTN.(l)求证:MN-AM+BN.八年级数学上讲艾八年级数学

14、上讲艾八年级数学上讲艾八年级数学上讲艾全等三角形常见辅助线的作法一倍长中线法倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长XX到某点，使什么等于什么（延长的那一条）.用SAS证全笹（对顶角方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后构造全等三角形_，转移边.转移角，然后和己知条件重新组合解决问题【例题精讲】例1、如图1,在磁中，为及7边上的中线.求证：ABAC2AD.分析：因为AD为中线.延长AD至点&使DE7D连接CE;进而利用全等三和形的判定（SAS）aABDmECD；山全等可得_AB-EC_；八年级数学上讲狡八年级

15、数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 例2如图分，G?分别是钝角和锐角的中线，且AOAB求证：C22CD.八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #例3.如图，在MBC中，AD交BC于点,点E是BC中点,EF/AD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BG=CF,求证：AD为ABC的角平分线.八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 #八年级数学上讲艾 #H例4、如图.在LABC中.ADJtBC边的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于点F求证：AF=E

16、F二截长补短法二截长补短法u二截长补短法截长:1过某点作长边的垂线2在长边上截取条与某短边相同的线段,再证剩下的线段与另短边相等补短：1延长短边2通过旋转等方朮使两短边拼合到起.【例题精讲】例1如图，ZiABC中，ZACB=2ZB,Z1=Z2八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #例2、如图，在厶ABC中.AD为BC边上的高，ZB-2ZC.求证：CD-AB+BD.八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #例3.如图，AD/BC,BE、AE

17、分别是ZABC.ZBAD的平分线，点E在CD上，求证：AB-AD+BC八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #例4.如图.AABCABAC,ADZBAC的角平分线，P是线段AD上任一点除*D外的任意-点.求证：AB-AOPB-PC八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # 八年级数学上讲艾 #三与角平分线有关的辅助线角平分线具冇两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等.1截取构造全等例1如图1在ABC中，4D平分ABAC9AB+BD=AC9求：ZB:ZC的值.（图1）A八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡

18、# #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形例2如图3在四边形ABCD中，BCBA,AD=DC9BD平分ZABC.求证：ZA+ZC=180.八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲狡八年级数学上讲狡 # #八年级数学上讲艾 #例3如图第已知等腰三角形/ABC中，ZA=90FZB的平分线交AC于点D,过点C作BD的垂线交3的延长线于点E.求证：BD=2CE.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 #八年级数学上讲艾 #角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相

19、等。例1,如图，0C是ZAOB的角平分线，点P是0C上一点，PD丄0A1点D,PE丄0B丁E,求证：PD-PE.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # 八年级数学上讲艾 #2.角的平分线的逆应用（角平分线的判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。例2已知：如图，点P在ZAOB内部的一条射线0C上，并KPD丄0A丁点D,PE丄0BlE,PD-PE.求证：射线0C是ZAOB的平分线【典型例题】例3：如图，已知0E平分ZAOB,BC丄OA,AD丄0B求证：EA-EB例4：如图，已知CD丄AB丁D,BE丄AC于E,CD,BE相交丁点6OB-OC.求证：Z1-Z2例5：如图所示，已知0D平分

20、ZAOB.在0A,PM-PN求证:例6：如图，AD是ZXABC中ZBAC的平分线，DE,DF分别是ZABD和2XACD的高，那么EF与AD冇何特殊的位过关系？试证明你的结论.八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲艾 #例7:如图，在四边形ABCD中，BOBA,AD-DC,BD平分ZABC.求证：ZA+ZC-L8O0-八年级数学上讲义八年级数学上讲义 #八年级数学上讲艾 #八年级数学上讲义八年级数学上讲义 # #八年级数学上讲艾 #知识网络结构图第13章轴对称定义：如果-个图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

21、这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴两个图形成轴对称(或个图形是轴对称图形八则对应线段(2丿性质J(对折后重合的线段丿相等；对应角(对折后重合的角丿相等I对称轴垂直平分连接对应点的线段轴对称轴对称图形厂定义:经过线段中戌并H垂直于这条线段的直线，叫性质:判定:做这条线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上八年级数学上讲义八年级数学上讲义 八年级数学上讲艾 #作轴对称图形用坐标农示轴对称轴对称变换：山个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换2y)关于x轴的对称点的坐标为P(x,-y)Pgy)关于y轴的对称

22、点的坐标为P(儿y)定义：冇两条边相等的三角形叫做等腰三角形等腰三和形彳等腰三和形的两个底角相等(等边对等刨性质(2)等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合(三线合一)K轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果个图形沿条卫线折叠直线两旁的部分能够互相重合.这个图形就叫做轴对称图形。这条卫线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关丁这条11线(或轴)对称.如下左图，ABC是轴对称图形.规律方法小结：轴对称图形是指“个图形J轴对称是扌&“两个图形”的位宜关系，在某种情况下，二者可以互相转换.如果把轴对称的两个图形看成-个整体.那么它就是-个轴对称图形等腰三角形和筹边三角形1、等腹三角形的定义：冇两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腹三角形的性质：等边对等角三线合一两腰相等两底角相等“三线合一S即顶角平分线.底边上的中线、底边上的高互相重合3、等腰三角形的判定：冇两条边相等的三角形是等腰三角形冇两个角相等的三角形是等腰三角形4、等边三角形的定义：冇三条边相等的三