高考冲刺函数的基本性质(基础)

1、函数的基本性质(基础)【考纲要求】.会求一些简单函数的定义域和值域；.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会运用函数图象理解和研究函数的性质.【知识网络】函数的基本性质奇偶性单调性周期性【考点梳理】.单调性一般地，设函数 f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值%?2,当X X2时，若都有f(x) f(X2),那么就说函数在区间 D上单调递增，若都有f(xj f(X2), 那么就说函数在区间 D上单调递减。(2)如果函数y f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y f (x)在这一区间具有严格的单调性，区间

2、D叫做y f (x)的单调区间。(3)判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导.数定义复合图像定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是设x1,x2D ,且x1 x2 ;作差f (x1) f(x2);变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)判断f(x1) f(x2)的正负符号；根据定义下结论。复合函数分析法设y f(u),u g(x) x a,b,u m,n都是单调函数，则y fg(x)在a,b上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数k为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：ug(x)yf(u)yfg(x)增增增增减减减增减减减

3、增导数证明法设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f(x),若f(x)在区间(a,b)内，总有f(x) 0( f(x) 0),则f(x)在区间(a,b)上为增函数(减函数)；反之，若 f(x)在区间(a, b)内为增函数(减函数) ，则f (x) 0( f (x) 0)。图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、奇偶性(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x尸-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x尸f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.理解：(I )上述定义要求一对实

4、数x,-x必须同时都在f(x)的定义域内，注意到实数x,-x在x轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.(n)判断函数奇偶性的步骤：考察函数定义域；考察f(-x)与f(x)的关系；根据定义作出判断.(m)定义中条件的等价转化f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0; 或 f(-x)=-f(x)f( x) =-1 (f(x) w0)f(x)f(-x)= f(x)f(x)-f(-x)=0； 或 f(-x)=f(x)f( x) =1 (f(x) W0)f(x)(2)奇(偶)函数图像的特征(I )奇函数图像关于原点对称；(n)偶函

5、数图像关于y轴对称.【典型例题】类型一、求(判断)函数的单调区间例1.证明函-数f(x) x a (a 0)在区间(乱，)是增函数。 x TOC o 1-5 h z 解：设 ja x1x2, HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 22a ax2 xiaxi x x? ax2f(x2) f(xi) x2 xi - HYPERLINK l bookmark28 o Current Document x2x1x1 x2a)x1x2(x2 x1) a(x2 x1) (x2 x1 )(x1 x2X1X2X1X2x1x2a函数f(x)X2x2 x10f(X2)

6、f(X1)0X a(a 0)在区间(ja, x)是增函数。举一反三：【变式】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|(2) y2x 1解：X 1(x1)1(x画出函数图象,1).函数的减区间为函数的增区间为(-1+ 0)；u=2x-1为增函数， y 工在(-0, 0) u(2)定义域为2x与(0 , +8)为减函数，则在2x 11，一-, 上为减函数;2(3)定义域为(-巴 0) U(0, +8),1 、，一、，、一，一， 单倜增区间为：(-8, 0),单倜减区间为(0 , +8).X类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值例2.已知函数f(x)在(0, +

7、8)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与 f (3)的大小.41 o 33斛：Q a -a+1=(a-) + - 一0244又f(x)在(0 , +)上是减函数，则f (a2 - a 1)3f(4).例3.已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间(1,1)上是增函数，求：实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)二.对称轴a -1-、，一， 心 一是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知222(2) f(2)=2 2-2(a-1)+5=-2a+11又,. aW2 .f(2)=-2a+11 -4+11=7f(2)7，+ . -2a -4【变式】已知函数f(x)2,X

8、2 x(X 1)3,X 2若关于x的方程f(X) k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是- .、2 . -3解：f(x)(x2)单调递减且值域(0,1, f (x)(x 1)3(x2)单调递增且值域为(x,1),由图象知，若f(x) k有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是(0,1) 类型三、判断函数的奇偶性例4.判断下列函数的奇偶性：1- x f(x) (x 1)(2)，1 x(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3|f (x), x -1f(x) 1- x2|x 2|-2(6) f(x)2-x x(x 0)x2 x( x 0),1f(x)声回 x)(x

9、R)解析：(1) f(x)的定义域为-1,1 ,不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数;(2) . x-1 0, f(x)定义域(3)对任意x C R,都有-x C R,1,十不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数;且 f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x),则 f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数；(4) . x 6 R,c 1-x2Qx+2f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x) f(x)为奇函数;f(x)2，1- x2-1x 1x0且 x-41- x2-1,00,1f(-x)(x 2)-21-(-x)2必-f(x), .f(x)为奇函数;-x(

10、6) x C R, f(x)=-x|x|+xxf(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),.f(x)为奇函数;1 、1 Q f(-x) 2g(-x)-g-(-x)1g(-x)-g(x) -f(x)举一反三：【变式】已知f(x) , g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证： 函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x)- g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)f(x)为奇函数.f(x)+g(x)为奇函数，f(x)- g(x)为偶G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x) g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x) - g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用 (求值，求解析式，与单调性结合例5. f(x)是定义在R上的奇函数，且当 数图象.解析：二奇函数图象关于原点对称，x0时，f(x)的解析式,并画出函即 y=-x 2-x 又 f(0)=