高中数学校本课程1

1、校本课程一数学思维与方法(一) 校本课程一数学思维与方法(一)第一讲 数学思维的变通性高中数学校本课程一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通,必须具有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和 解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训 练：(1)善于观察(2)善于联想(3)善于将问题进行转化(1)观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一

2、种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以， 必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具 体特征，采用特殊方法来解题。例 1 已知 a,b,c,d 都是实数，求证 Ja2 b2Vc2d2d(a c)2 (b d)2.思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的O图1 2结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明 不妨设A(a,b), B(c,d)如图12 1所示，贝U AB na c)2(b d)2.OA ,a2 b2, OB , c2 d2,在OAB中，由三角形三边

3、之间的关系知：OA OB AB当且仅当。在AB上时，等号成立。因此，一a2 b2 .c2 d2(a c)2 (b d)2.例2 已知3x2 2y2 6x ,试求x2 y2的最大值。 TOC o 1-5 h z 22解由3x 2y6x得23 2y x3x.223 2y20,- x23x 0, 0 x 2.2g(x 3)22223 2又 x y x -x 3x 2当x 2时，x2 y2有最大值，最大值为12-(2 3)24.思路分析 要求x2 y2的最大值，由已知条件很快将 x2 y2变为一元二次1C 9 .函数f(x) 2(x 3)2 2,然后求极值点的x值，联系到y2 0,这一条件，既快又准地

4、求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。例3 已知二次函数f (x) ax2 bx c 0(a 0),满足关系 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致f (2 x) f (2 x),试比较 0.5)与()的大小。图 1 2图像简捷地解出此题。解(如图 1 2 2)由 f(2 x) f (2 x),知f(x)是以直线x 2为对称轴，开口向上的抛物线它与x 2距离越近的点，函数值越小。2 0.5 |2| f (0.5) f()(2)联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、 间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能

5、否由观察到的特 征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。例如,解方程组x y 2 .xy 3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为3。由此联想到韦达定理，x、y是一元二次方程t2 2t 3 0的两个根，x 1x 3所以 或.可见，联想可使问题变得简单。y 3y 1例4在ABC中，若C为钝角，则tgA tgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析此题是在 ABC中确定三角函数tgAtgB的值。因此，联想到三 角函数正切的两角和公式tg(A B) tgA tgB可得下面解法。1 tgA tgB解C为钝角，tgC 0 .在 ABC中A B C C

6、(A B)且A、B均为锐角,校本课程一数学思维与方法(一) 校本课程一数学思维与方法(一) tgC tg (AB) tg(AtgA QtgB 0, 1 tgA tgBtgA tgB 0.tgA tgB0.即tgA tgB 1.例5 若(z x)2 4(xy)(y z)0,证明：2y x z.故应选择(B)思路分析 此题一般是通过因式分解来证。 但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当 x y 0 时，等式(z x)2 4(x y)(y z) 0可看作是关于t的一元二次方程(x y)t2 (z x)t (y z)

7、 0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ,根据韦达定理就有：-一z 1 即 2y x z x y若x y 0 ,由已知条件易得 z x 0,即x y z,显然也有2y x z.例6已知a、b、c均为正实数，满足关系式a2 b2 c2,又n为不小于3的自然数，求证：an bn cn.思路分析由条件a2 b2 c2联想到勾股定理，a、b、c可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明 设a、b、c所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是ab厂sin A - , cosA 一，且 0 sin A 1, 0 cos A 1, cc当 n 3 时

8、，有 sin nA sin2 A, cosn A cos2 A于是有 sin n A cosn A sin2 A cos2 A 1即 (a)n (b)n 1, c c从而就有an bncn.(3)问题转化的训练数学家G .波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。 可 见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的 思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题， 把抽 象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征， 联想有关问题之后，就要寻求转化关系。一，一，1111例如，已知 一 一 一 ，(abc 0,a b

9、c 0),a b c a b c求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为： (a b)(b c)(c a) 0思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用 同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。 它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的 极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的 具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。转化成容易解决的明显题目j一，111例11已知ab c 11 11,求证a、b

10、、c中至少有一个等于1。a b c思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1 ,也就是说a 1、b 1、c 1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。111证明 一 一 一 1, bc ac ab abc. a b c于是 (a 1)(b 1)(c 1) abc (ab ac bc 1) (a b c) 0.a 1、b 1、c 1中至少有一个为零，即 a、b、c中至少有一个为1。思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌

11、生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效 手段。例12直线L的方程为x ，其中p 0;椭圆E的中心为O(2 Jp,0), 焦点在X轴上，长半轴为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(-|,0),问p在什 么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线2y 2px(1)是，又从已知条件可得椭圆E的方程为x (2 争2y2 1(2)校本课程一数学思维与方法（一） 校本课程一数学思维与方法(一) 因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p的取值范

12、围。将（2）代入（1）得：2 .P2 ccx （7p 4）x 2p 0.4（3）确定p的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：2 p2（7p 4）4（2p） 024p 2p 047p 4 0在p 0的条件下，得0 p 13.本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题： 解方程组和不等式组的 问题。2）逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考， 而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题 得到解决。例13 已知函数f（x） 2x2 mx n,求证|f、|f、1f（3）中至少有一个不小于1.思路分析 反证法

13、被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可 考虑采用反证法证明 (反证法)假设原命题不成立，即f(1)、|f(2)、f (3)都小于1。f (1)112m n 1f (2)1182m n 1f(3)11183m n 13 m n 19 2m n 719 3m n 17十得11 2m n 9,与矛盾，所以假设不成立，即|f(1)、f(2)、f (3)中至少有一个不小于13 一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一 问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使 学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例14 已知复数z的模为2,求z i的最大值。解法一(代数法)设z x yi(x、y R),则x2y2=4. z i|Vx2(y 1)252y.y2,当 y2时，z imax3.解法二(三角法)设z 2(cos i sin ),则 z iv4cos2 + (2sin 1)2、5 4sin当Sin1 时 口 imax 3.解法三