高考数学一轮复习各章节复习题及答案解析(20210410090150)

1、变化率与导数、导数的计算、选择题1. (2019 -若 y= log 2x,1右f(x)= /)给出下列结论：=-At；若 y=)，则 y =r TOC o 1-5 h z xln2x2xx则f (3) = 27；若y=ax(a0),则y = axln a.其中正确的个数是(D )A. 1B. 2C. 3D. 4解析:根据求导公式可知正确；若) = = -#-丁，则4x HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 31I=亍=一二,所以正确；若/(/) =3,则/(2= 22才 77-2x，所以/(3)= -不，所以正确；若y =E(口 0), 则y二/h

2、%所以正确 因此正碉的结论个数是4,故选d.x2.已知函数f(x) = /(e是自然对数的底数)，则其导函数f (x) = ( B )+ x1 xA.B.-eD. 1-xC. 1+xx ex xex 1 x解析：函数f(x) =-x,则其导函数f (x)= L=k,故选B. ee e.若函数f (x) = x3x+3的图象在点P处的切线平彳T于直线y=2x1,则点P的坐标为(C )A. (1,3)B. (-1,3)C. (1,3)或(一1,3)D. (1 , 3)解析：f (x) =3x2-1,令 f (x) =2,即 3x2-1= 2? x=1 或一1,又 f(1) =3, f ( 1) =

3、 3,所以R1,3)或(一1,3),经检验，点(1,3) , (-1,3)均不在直线y=2x1上，故点 P的坐标为(1,3)或(一1,3). (2019 合肥市质量检测)已知直线2xy+1 = 0与曲线y=aex+x相切(其中e为自 然对数的底数)，则实数a的值是(B )1A.2B. 1C. 2D. e解析：由题意知y =aex+1=2,则a0, x = ln a,代入曲线方程得y=1 lna,所以切线方程为 y- (1 - ln a) = 2( x + ln a),即 y=2x+ ln a+ 1 = 2x+ 1? a= 1.5.曲线y=2lnx上的点到直线 2x y+3 = 0的最短距离为(

4、 A )A. ：5B, 2 ：5 TOC o 1-5 h z C. 3 ：5D. 2解析：设与直线2xy+3= 0平行且与曲线y= 2ln x相切的直线方程为2x y + m= 0.设切点为 Rx, y。)，,y = 斜率 k= 7= 2,解得 xo=1,因此 y0=2ln1 =0,切点 xxo,一|2 0+ 3| 广 ，为 R1,0),则点 P到直线 2x y+3=0 的距离 d=-= = /5,曲线 y=2lnx 上 的点到直线2xy+3=0的最短距离是、/5.(2019 福州质检)过点(1,1)与曲线f(x) =x3x2 2x+1相切的直线有(C )B. 1条D. 3条A. 0条C. 2

5、条解析：设切点Ra, a3 -a2- 2a+1),由f (x) =3x22x 2,当aw 1时，可得切线oa3 a2 2a +1 1o。 o的斜率 k=3a2-2a-2=,所以(3a22a 2)( a+1) = a3-a2-2a,即a 12(3a -2a-2)( a+1) =a(a2)( a+1)，所以 a= 1,此时 k=- 1.又(一1,1)是曲线上的点且f ( 1)=3w 1,故切线有2条.7.已知函数f(x)=ex m杆1的图象为曲线 C,若曲线C存在与直线y= ex垂直的切 线，则实数m的取值范围是(B )B.+8e1C. eeA oo - eD. (e , +) TOC o 1-5

6、 h z 解析：由题意知，方程f (x)= 1有解，即ex-m 1有解，即ex=mv1有解，故只 eee11要mi- -0,即m一即可，故选 B. ee.给出定义：设f (x)是函数y=f(x)的导函数，f(x)是函数f (x)的导函数，若 方程f (x) = 0有实数解x0,则称点(x(b f(x(o)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x) = 3x + 4sin xcosx 的拐点是 Mx。，f(xo),则点 M B )A.在直线y = - 3x上B.在直线y = 3x上C.在直线 y = 4x上D.在直线 y = 4x上解析：f(x)= 3+4cosx+sinx,f( x)= 4

7、sin x+cosx,结合题意知4sinx。一cosx。=0,所以 f(xo) = 3x。，故 Mx。，f(x。)在直线 y=3x上.故选 B.二、填空题. (2。18 全国卷出)曲线y=(ax+ 1)ex在点(。,1)处的切线的斜率为一2,则a= 3.解析：y =(ax+1+a)ex,由曲线在点(。,1)处的切线的斜率为一2,得y |x=o=(ax + 1 + a)e | x=0= 1 + a= 2,所以 a= 3.已知函数f(x)是偶函数，当x0时，f (x) = (2x- 1)ln x,则曲线y=f(x)在点(一 1, f ( 1)处切线的斜率为.解析：当 x0 时，f ( x) = 2

8、ln x + 2x-1,则 f (1) = 1, x函数 f(x)是偶函数，f ( 1) = - 1.11.若函数y= 2x3+1与y=3x2b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b = 0或1.解析：设公共切点的横坐标为 x。，函数y=2x3+ 1的导函数为v =6x2, y=3x2b的 导函数为v = 6x.由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x0=6x。且1 + 2x0= 3x2b,解得 x0=0, b=1 或 x0=1, b= 0.故实数 b=0或一1.三、解答题.已知函数 f(x) =x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f (x)在点(2, f(2)处的切线方程.(2)求经过点A

9、(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程.解：(1)因为 f (x) =3x28x+5,所以 f (2) = 1,又 f(2) =-2,所以曲线在点(2, f(2)处的切线方程为 y+2 = x-2,即xy4=0.(2)设曲线与经过点 A(2 , -2)的切线相切于点 Rx。，x。一4x0 + 5x。4),因为f (x。)= 3x0 8x0+5,所以切线方程为 y- (-2)=(3 x0-8x0+5)( x-2),又切线过点 Rx。，x34x2 + 5x04),所以 x34x0+5x。2=(3x28x0+5)( x。一 2),整理得(x。2) 2(x。1) = 0,解得 x0 = 2或1,所以经

10、过 A(2 , 2)的曲线f(x)的切线方程为 x-y 4 = 0或y + 2=0.已知函数f(x) =e2x-2ex+ax- 1,曲线y = f (x)上存在两条斜率为 3的切线，则实 数a的取值范围为(B )7A. (3, +8)B. 3,-7C. 8, 2D. (0,3)解析：f (x) =e2x 2ex+ax 1 的导函数为 f (x) = 2e2x2ex+a,由题意可得 2e2x2exx 1 2 7 2ax 1 S2ax 1 x/7-2a+ a=3的解有两个，即有e -2 =-4-,即为 e =2+2或e =万一 -2，即有 72a0 且 72a1,解得 3a 1,即曲线 C上任意一

11、点处的切 线斜率的取值范围是1, +8).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(kw0),则由(2)中条件并结合(1)中结论可知k- 1,1解得1 w k1,-k AT，故由1W x24x + 31,得 xC(oo, 2-钧 U(1,3) U2+V2,+oo).尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用 x(2019 安徽江南十校联考)若曲线G： y=x2与曲线C2： y = e(a0)存在公共切线，a则a的取值范围为(D )A. (0,1)1,2e4，22 e4+ OOx解析：曲线y= x2在点(m n2)的切线斜率为2m,曲线y=(a0)在点n的切线斜率为gen,如果两条曲线存在公

12、共切线， 那么2m= 4n.又由直线的斜率公式得到m2-ena1则有m= 2n 2,贝U由题思知 4n-4 = -e a.1 V有解，即y = 4x 4, y=-e的图象有父点.右直线a1 xy=4x4与曲线y = ：e相切，设切点为a(S, t),则1es=4,且 t = 4S4=1es,可得切点为aa,1 4 (2,4),此时-=-2,故要使满足题思，需a e14eaw?则a“故a的取值氾围正2e ,a-.故选D.4(2019 安徽淮南一模)已知函数f(x)=x2lnx. 求函数f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)在函数f (x) =x2-ln x的图象上是否存在两点，使以这

13、两点为切点的切线互相垂直,.，一、 1, _ ,一 一 .且切点的横坐标都在区间2, 1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.解：(1)由题意可得f(1) =1,且f (x) =2x :f (1) = 21 = 1,则所求切线方程 x为 y1 = 1 x (x1),即 y = x. TOC o 1-5 h z 1(2)假设存在两点满足题息，且设切点坐标为(xb y1) , (x2, y2),则x1，xzC 2, 1 ,不妨设x1x2,结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1)(2 x2- -) = 1 ,又函数x1x21111f (x)=2x x在区间2, 111解得x1

14、 = 2, x2 = 1(x1 = - 1, x2= 2)舍去，故存在两点2, ln2 +4 , (1,1)满足题意.上单调递增，函数的值域为1, 1,故一1W2 x1x2x2x0时，r越大，相关性越强，当 rkc)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828下列说法中，正确的结论是 （C ）A.在犯错误的I率不超过0.1 %勺前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”.在犯错误的I率不超过0.1 %勺前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99蛆上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99蛆上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：,K2=9.6166.635 ,

15、 有99%上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.二、填空题.某单位为了了解用电量 y（度）与气温x（C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量 与当天气温，并制作了如下对照表：气温（C）1813101用电量（度）24343864由表中数据得线性回归直线方程 y=bx+a中的b=2,预测当气温为一4 C时，用电量 为强度.解析：回归直线过点（7，7）, TOC o 1-5 h z 门卜口日衿/日 18+13+10+ 1根据题思得 x =4=10,24+ 34+38+64y =4=40,将（10,40）代入 y=2x+a,解得 a=60,贝 Uy=2x+60,当x= 4时，y=(2)X( 4) +

16、 60 = 68,即当气温为一4 C时，用电量约为68度. (2019 安徽蚌埠段考)为了研究工人的日平均工作量是否与年龄有关，从某工厂抽 取了 100名工人，且规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”， 列出的2X2列联表如下：生产能手非生产能手总计25周岁以上25356025周岁以下103040总计3565100有90喋上的把握认为“工人是否为生产能手与工人的年龄有关”.解析：由2X2列联表可知，K2=2100X 25X3010X35-2 93 一40X60X35X65因为2.932.706 ,所以有90姒上的把握认为“工人是否为生产能手与工人的年 龄有关”.三、解答题.某公司为了了

17、解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用， 并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图 (如图所示).由于工作人员操作失误， 横轴的数据 丢失，但可以确定横轴是从 0开始计数的.(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(2)估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代广告投入X（单位：力兀）12345销售收益y（单位：力兀）2327表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表:表中的数据显示，X与y之间存在线性相关关系，请将 （2）中的结果填入空白栏, 算y关于X的线性回归方程.解：（1）设各小长方形的宽度

18、为 mi由频率分布直方图中各小长方形面积总和为并计1,可知(0.08 +0.1 +0.14 +0.12 +0.04 +0.02) m 0.5 m 1,故 rn 2.(2)由(1)知，各分组依次是0,2) , 2,4) , 4,6) , 6,8) , 8,10) , 10,12,其中点值分另1J为1,3,5,7,9,11故可估计平均值为（3）空白栏中填5.,对应的频率分另1J为0.16,0.20, 0.28, 0.24,0.08,0.04由题意可知，X1 + 2+ 3+4+5=3,2 + 3+ 2+5 + 7 =3.85Xi yi = 1X2+2X3+3X2+4X5+5X7= i =169,52

19、2 -2-22_2Xi =1 + 2 + 3 +4 + 52= 55.i =1根据公式可求得 b= 698 = 1|= 1.2 , a= 3.8 -1.2 X 3= 0.2 ,555X3 10即线性回归方程为 y=1.2x+0.2.11.已知某产品连续4个月的广告费用为Xi（i =1,2,3,4）千元，销售额为 万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：X1+ X2+ X3+ X4= 18,yi(i =1,2,3,4)yi+ y2 + y3+ y4 =1X0.16+3X0.2 +5X0.28 +7X0.24 +9X0.08 + 11X0.04 =5.14；广告费用x和销售额y之间具有较强的

20、线性相关关系；回归直线方程y=bx + a中的卜b= 0.8（用最小二乘法求得）.那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（B ）A. 3.5万元B. 4.7万元C. 4.9万元D. 6.5万元解析：依题意得 7 = 4.5 , V = 3.5 ,由回归直线必过样本中心点得a= 3.5 0.8 X 4.5= 0.1.当 x=6 时，y = 0.8 X6 0.1 =4.7.12.近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作则可以追溯到远古的“结绳记事”和二十四史中大量的关于我国人口、钱粮、 水文、天文、地震等资料的记录.近几年，雾霾来袭，对某市该年11月份

21、的天气情况进行统计，结果如下表：表日期12345678910不晴环里霾阴霾霾阴霾霾霾日期11121314151617181920不阴晴霾环里霾霾环里霾阴晴日期21222324252627282930环里环里晴环里晴霾环里霾晴霾对于此种情况，该市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.下表是一个调查机构对比以上两年11月份（该年不限行30天、次年限行30天，共60天）的调查结果：表二不限行限行总计没后雾霾a后雾霾b总计303060（1）请由表一中数据求 a, b的值，并估计在该年 11月份任取一天是晴天的概率；（2）请用统计学原理计算，若没有90%勺把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没

22、有雾霾？P(K2kc)0.1000.0500.0100.001k。2.7063.8416.63510.828（表中数据使用时四舍五入取整数）解：(a)a=10, b=20,所求概率 P=。=1.30 5（2）设限行时有x天没有雾霾，则有雾霾的天数为30-x,由题意得K2的观测值k= ；n, :d_b& 3,代入数据化简得 21x2- 440 x+ 1 500 & 0,a+bc+da+cb+dx 0,30 , xCN*,即(7x30)(3 x 50)W0,解得 30WxW50, 73所以 5WXW16,且 xC N*,所以若没有90%勺把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有516天没有雾霾.尖子生

23、小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用13. （2019 山西八校联考）某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（万元）和销售量y（万台）的数据如下:年份2011201220132014201520162017卢旺期 ）口贝支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4（1）若用线性回归模型拟合 y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程;（2）若用y=c+ d5模型合y与x的关系，可得回归方程 y = 1.63 + 0.996，经计算 线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明

24、选择哪个回归模型更好；（3）已知利润z与x, y的关系为z = 200y x.根据（2）的结果回答下列问题：广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？广告费x为何值时，利润的预报值最大？（精确到0.01）nxiyi n x y参考公式：回归直线y= a+ bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=n22xi n xi = 1nxi xyi y,a=7-b 7. n一 2xi x=1参考数据：5 = 2.24. 772解：(1) x =8, y =4.2 ,x yi = 279.4 ,xi = 708,7 _xiyi 7 x ya i = 1b=72 r - 2 xi 7 xi =1279.4

25、 -7X8X4.2 Z 2708 7X8= 0.17 ,a= y -b x =4.20.17X8= 2.84 , ，y关于x的线性回归方程为y= 0.17x+2.84.a（2） 0.75NB. M nC. M0,所以 MNI,故 选A.若a, b, cC R, ab,则下列不等式成立的是(C )A.1b2a a bCCHD- a|c|b|c| TOC o 1-5 h z 解析：取a=1, b= 1,排除选项A；取a=0, b=- 1,排除选项B；取c= 0,排除选 11项D；显然c。，则不等式ab的两边同时乘不,所得不等式仍成立.故选 C.A ）1 1B.-t a bD. a2b2a2b20”

26、 的（A ）B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件.若ab-a b aC. | a| b|11解析：取a= 2, b=- 1,则一不成立. a b a.若a, b都是实数，则“ 4邓0”是“A.充分不必要条件C.充要条件解析：由出qb0得ab0,则a2b2? a2b20；由 a2b20 得 a2b2,可得 ab0 或 ab0是a2b20”的充分不必要条件.故选 A.已知xyz, x+y+z=0,则下列不等式成立的是 （C ）A. xyyzB. xzyzC. xyxzD. x| y| z| y|解析：因为 xyz, x + y+z=0,所以 3xx+y + z= 0,3 z0, z0,所以由

27、可得xyxz.故选C.yz6.已知ab,则下列各式一定正确的是 (D )22A. alg xblg xB. ax bxC. a2b2D. a 2xb 2x解析：A中，当x=1时，不成立；B中，当x=0时，不成立；C中，当a= 0, b=-1 时，不成立；D中，因为2x0,所以a-2xb-2x成立.故选 D.111.已知 a=4log 23, b = 2，c = log53,则(A )A. cabB. abcC. bcaD. bac解析：由题可知 a= log 24/3log 24y4= 2= b,又 a = 4* 号=；* 牛乎，那么 c=；log 53=；x 翳=2* 黑igg23=a，则

28、cab.故选 A.若 ab, dc,且(ca)( cb)0 ,则 a, b, c, d 的大小关系是(A )A. dacbB. acbdC. adbcD. adcb解析：ab, (ca)( cb)0 ,，acb,且 db,结合 dc,知 dacb.故选 A.二、填空题9.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m,要求菜园的面 积不小于216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不等式（组）表示为0216.2 30 xx解析：矩形靠墙的一边长为 x m,则另一边长为 -2 m,即15-2 m,根据题意知0 x216.b2,，a2b-.m已知a, b为实数，且

29、a-b, a0,则比2bq（填-y或）.lb2a- b 2解析： ；awb, a0, bc- ad0,贝Uc g0； a b若 ab0, c?0,贝U bc ad0； a b若 bc ad0, cg0,贝U ab0.a b其中正确的命题是.解析：ab0, bc- ad0,bc ad jH, .正确;ab0,又 cd。，即b o, a b abbc-ad0,，正确；. bc-ad0,又三一d0,即bc：ad0,ab0,，正确.故都正确.a bab3 5.已知函数 f (x) = ax+b, 0f (1)2 , 1f ( 1)1 ,则 2ab 的取值范围是 一2, 2 .13解析：由函数的解析式可

30、知 0a+b2, 1 a+baab,则实数b的取值范围是(一巴 1).解析：因为解得b 1；当a1,ab aab,所以 aw0,当 a0 时，b 1b,即 b1,时，b21b,即b21无解.综上可得 bya b、ab,贝U在 a-xb-y,a+xb+y,axby,xby a,一“这 y x五个式子中，恒成立的不等式的序号是.解析：令 x = 2, y=3, a=3, b= 2,符合题设条件 xy, ab,因为 ax=3( 2) = 5, b y=2 ( 3) = 5,所以 a x= b y,因此不成立.因为 ax = - 6, by= - 6, 所以ax= by,因此也不成立.因为 -=-3z

31、=y 31, b-= N= 1,所以旦=b,因此不成立.由不等式的性质可推出成立.x - 2y x尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用15.据统计，某超市两种蔬菜A, B连续n天的价格(单位：元)分别为日，a2, a3,，3.，,an和b, b2, b3,，bn.令M= m| ambm, m= 1,2 ,，n,右M中兀素个数大于-n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B,记作：A?B现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是(C )A.若 A?B, B?Q 则 A?CB.若A?B, B?C同时不成立，则 A?C不成立A?B, B?A可同时不成立A?B, B?A可同时成立解析：特例法：例

32、如蔬菜 A连续10天的价格分别为1,2,3,4 ,，10,蔬菜B连续10 天的价格分别为10,9,，1时，A?B, B?A同时不成立，故选 C.16. (2019 杭州质检)若实数a, b, c满足对任意实数 x, y有3x+4y 5 ax+ by + c3x+4y+ 5,则(A )a+bc的最小值为2a一b+c的最小值为一 4a+bc的最小值为4a b+c的最大值为6解析：当x=1, y= 1时，一6w a b+cw4,所以ab+c的最小值为一6,最大值 为 4,故 B, D错误；当 x = - 1, y = 1 时，-12w a b + cw 2,贝U 2wa+b c0, b0, c0,且

33、 a+b+ c= 1. 求证：a2+b2+c21；3(2)求证:a2 b2 c2E+W+W*.证明：(1)a2+ b22 ab, b2 + c22 bc, c2 + a22 ca, 1- a2+ b2+ c2ab+ bc+ca,-.1 (a+b+ c)2=1, 1- a2 + b2+c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca= 1,1- 3( a2+ b2+ c2) 1,即 a2+b2+c2；3a?b?c?a? b? c?a-+b2 a, -+ 02 b, -+ a2 c,+ c + -+ (a+ b+ c) 2( a+ b+ c),即卫b2 c2+ + - a+ b+ c,c aa2 b2 c2a

34、+b+cf -4.2. (2019 南宁、柳州联考)已知函数f(x) = |x-1|.a2 b2 t+-b a(1)求不等式f (x) 32|x|的解集；(2)若函数g(x) = f (x) +1 x+3|的最小值为 m 正数a, b满足a + b=m求证: 4.解：(1)当 xl 时，x-13- 2x,解得 x4,x4；33当 0 x32x,解得 x2,无解；当 xwo 时，1 -x3+ 2x? x- I， - x4或x|( x- 1)-(x+ 3)| =4,m= 4,即 a+b= 4.a?b?又；：+b2a, -F a2 b, ba221ab二两式相加倚(b*+b) + (g + a) 2

35、 a+ 2b,a2 b2，b + ra+b=4,当且仅当a=b=2时等号成立.证法 2： . g(x) = |x-1| +|x+3|( x- 1) - (x+ 3)| = 4,m= 4,即 a+ b= 4,上, 口 a2 b22 a2 b2由柯西不等式得(豆+/( b+a) ( a+b)，石+ a+b=4,b a当且仅当=,即a =b ab= 2时等号成立.3. (2019 贵阳市监测考试 )已知不等式|2x3|*与不等式x2- mx+ n0( m, nC R)的 解集相同.(1)求 m- n;(2)若 a, b, ce (0,1),且 ab+bc+ ac= m-n,求 a2+b2+c2的最小

36、值.解：(1)当x0 时，|2 x 3| x? -x2x-3x? 1xab, -bc, -ac,222b2+c + a ： c ab+ bc+ ac= 1(当且仅当 a=b=c=*3时取等23号).，a2+b2 + c2的最小值是4. (2019 陕西质量检测 (1)解不等式f(x)w3;1.)已知函数 f(x) =|2x1| +| x+1|.(2)记函数 g(x) = f (x) + | x+1| 的值域为 M 若 tM 证明：12+ 1 -3 + 3t.-3x, x - 1,1 解：(1)依题意，得 f(x)=2 ( -1x 2，.f(x)3?x - 1,3x311x22-x31或 X 5

37、 解得一1W x1,3x0, t 1 21 2a 2b12a 2b9 . .2a+b=8b+a(2a+b)=8+& +5 %5+ 2l石 丁，原不等式得证6. (2019 山西晋中二模)已知函数f(x)=|x+1|.(1)若？ xqC R,使不等式f(x。一2) f(x。一3)u成立，求满足条件的实数u的集合M+10, t -3 t2+123t封0, t + 1 A3t .5. (2019 广东中山二模)已知函数 f(x) =x+1+ |3 -x| , x- 1.(1)求不等式f (x)6的解集；9(2)右f (x)的最小值为 n,正数a, b满足2nab=a + 2b,求证：2a+b.8x+

38、 1 + 3 xW6)解：(1)根据题意，若f(x)W6,则有1 x3x+1+ x- 3 3,故原不等式的解集为 x| 1 w xw 4.(2)证明：函数 f (x) =x+1 + |3 -x|4, -1 x3,分析可得f(x)的最小值为4,即n= 4,1 2则正数a, b满足8ab=a+2b,即1+-=8,b a(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a1, b1, c1,且(a1)( b1)( c1) = t,求证：abc 8.T, xwi,解：(1)由已知得 f(x 2)f(x3) = |x1| |x2| = 2x-3, 1x2,1 f (x) u 成立，所以 u1, b1, c1,所以

39、a一10, b 10, c-10,则a = (a1)+12 亚70(当且仅当a = 2时等号成立)，b=(b- 1)+1 2夜0(当且仅当b= 2时等号成立)，c=(c- 1)+12亚二70(当且仅当c= 2时等号成立)，则abc8 yj a- 1blc1 = 8(当且仅当a=b=c= 2时等号成立)参数方程x= cos 0 .已知P为半圆C:(0为参数，0W 0兀)上的点，点 A的坐标为y=sin 0 一. 兀(1,0) , O为坐标原点，点 M在射线OP,线段OM与C的弧AP的长度均为 .3(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程.兀解

40、：(1)由已知，点 M的极角为,3 兀且点M的极径等于 ,3，一，. 兀 兀故点M的极坐标为 ,.(2)由(1)知点M的直角坐标为再三，A(1,0).66故直线AM的参数方程为兀x=1+ L t,(t为参数).x = 4 + 3cost ,2. (2019 贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(ty= 5+ 3sin t为参数)，以坐标原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 p = 2sin 9 .(1)求曲线G的普通方程和 G的直角坐标方程；(2)若A, B分别为曲线 G, C2上的动点，求当 ABW最小彳！时4 AOB勺面积.解：由x 4+

41、3C0St(t为参数)得G的普通方程为(x4)2+(y5)2=9,y = 5+ 3sin t由 p = 2sin 8 ,得 p 2= 2 p sin 9 ,将 x2+y2= p2, y= p sin 0 代入上式，得。的直角坐标方程为 x2+(y1)2=1.(2)如图，当A, B, G, G四点共线，且 A B在线段G, G上时，| AB取得最小值,51得 G(4,5) , G(0,1),则 kGG2= 1,0，直线GG的方程为x-y+ 1 = 0,点O到直线GG的距离d =又|AB = |GQ| -1-3=4-0 2+ 51 _2-4= 4小-4,-及aob= 2d| AB = ；x *X

42、(4 啦4) =2-2.x = 2cos 0 ,(8(2018 全国卷n )在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为y=4sin 9x = 1 + t COS a , 为参数),直线l的参数方程为(t为参数).y=2+tsin a(1)求G和l的直角坐标方程；(2)若曲线G截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 22解：(1)曲线G的直角坐标方程为x4 + y6=1.当COS a W0时，l的直角坐标方程为y= tan a x+ 2 tan a ,当cos a = 0时，l的直角坐标方程为 x= 1.(2)将l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1 +3cos2

43、a)t2 +4(2cos a +sin a)t 8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 tl, t2,则 t1 + t2 = 0.，,口4 2cos a+sina ,=,、 ,又由得ti+t2=2,故2cosa+sin a=0,于是直线l的斜率k1 + 3cos a=tan a = 2.(2019 昆明调研测试 )在直角坐标系 xOy中，已知倾斜角为 a的直线l过点 A(2,1) .以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为 p= 2sin 0 ,直线l与曲线C分别交于P, Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的直角坐标

44、方程；(2)若|PQ2=|AP |AQ,求直线l的斜率k.x = 2 + t cos a ,解：(1)直线l的参数方程为，(t为参数).y=1+tsin a曲线C的直角坐标方程为 x2+ y2= 2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，得 t2+(4cos a)t + 3=0,由 = (4cos a ) 2 4 X 30,彳导 cos 2 a 1,由根与系数的关系，得 11 + t 2= 4cos a , 11 12=3,则（t 1+ t2） 2= 5t 1 . t2,由参数的几何意义知，|AP = |AQ = |t2| , |PQ=|t1 12| , 由题意知，（t1 t2

45、）2=t1 t2, 得（一 4cos a ） 2= 5 X 3,解得cos2 a116,满足2cos a所以sin 2 a-1, tan 2 a 16所以直线l的斜率 k= tan a = Wp.(2019 洛阳市联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x=t,L(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y=V2t线C的极坐标方程为 p2=-4 且直线l经过曲线c的左焦点F.1 + sin 0(1)求直线l的普通方程；(2)设曲线C的内接矩形的周长为 L,求L的最大值.解：(1)曲线C的极坐标方程为p 2= _4 2 即 p 2+ p 2sin 2 9=4,

46、 1 +sin 8222x2 y2将p2=x2+y2, psin 0=y代入上式并化简得-+1=1,22所以曲线C的直角坐标方程为x4+2=i,于是 c2=a2b2=2, F(-2, 0).直线l的普通方程为x y=m将F(嫄，0)代入直线方程得 m= 4 所以直线l 的普通方程为x y+J2=0.L兀(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos 0,5sin 0 )(0 0 ),所以椭圆C的内接矩形的周长为L= 2(4cos 0 +2*sin 0 ) = 4/6sin( 0 + 巾)(其中 tan()=72),所以椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4J6.(2019 唐山市摸底考试)极

47、坐标系的极点为直角坐标系 xOy的原点，极轴为x轴的 正半轴，两种坐标系的长度单位相同.已知圆 C的极坐标方程为 p=4(cos e+sin 0), P 一 1是C上一动点，点 Q在射线OP1?t足|OQ = 2|OP,点Q的轨迹为C2.(1)求曲线。的极坐标方程，并化为直角坐标方程.x = 2 +1 cos 6 ,(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0W巾兀)，l与曲线。有y=tsin 6且只有一个公共点，求 6的值.- 、一11解：(1)设点 p, Q 的极坐标分别为(p , e), ( p, e),则 p = - p 0=2 - 4(cos e +sin 0 ) =2(cos 0 +

48、 sin 8 ),点 Q 的轨迹 G 的极坐标方程为p =2(cos 0 + sin 0 ),2两边同乘以 p ,得 p = 2( p cos 0 + p sin 0 ),G的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x1)2+(y1)2=2.(2)将l的参数方程代入曲线G的直角坐标方程，得(tcos 6+1)2+(tsin 61)2=2,即 t2+ 2(cos 6 sin()t=0, 11= 0, t2= 2sin () 2cos(),由直线l与曲线G有且只有一个公共点，得 sin 6 cos 6 = 0,一，一兀因为0W (j) 0恒成立，则实数a的取值范围是(C )9A. 5, 3 B

49、. 6,-8C. -6, -2 D , -4, 3解析：当 x C (0,1时，a3- 3t3-x x x x4t +t，令 g( t) = - 3t 4t +t，在 tC1,+)上，g/ (t )6；同理，当xC 2,0)时，得aw 2.由以上两种情况得一6 a- x2+ax-3Xx C (0 ,十8)恒成立，则实数a的取值范围是(B ) A. ( 8, 0)B .( 8, 4C. (0, +) D . 4 ,+8)解析：2xln x x2+ax3,则 aw2ln x+ x + ,设 h(x) = 2ln x +x+( x0),则 h ( x) xxx+3 x-1 =2.x当xC(0,1)时

50、，h (x)0 ,函数h(x)单调递增，所以 h(x)min= h(1) =4.所以 aWh(x)min=4.二、填空题若关于x的不等式x33x29x + 2m对任意xC2,2恒成立，则 m的取值范围 是(一巴20.解析：令 f (X) =x33x29X + 2,则 f (x) = 3x26x9,令 f (x) =0,得 x= 1 或 3(舍去).因为 f( 1) = 7, f( 2) = 0, f(2) =20.所以 f(x)的最小值为 f(2) = 20,故 mic 20.(2019 福建三校联考)已知函数f(x) =ax2 xlnx在上单调递增，则实数 e，一1a的取值范围是a2.一一l

51、n x+ 1 , 1,一，一，解析:f (x) = 2axIn x1 0,解得2a在一，十上恒成立，构造函数g(x)x eIn x+ 1xg(x)=1一 x ln x+ 1 xIn x一L=0,解得 x=1 , x g( x)在1上单调递增，在(1+ oo)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)=1,.2a1,1 一一 1a2,故填 a2. TOC o 1-5 h z (2019 四川成都七中一诊 )设函数f(x)=x-, g(x)=4,对任意x1, x2C(0, 十 xe8),不等式g J1忘,*：恒成立，则正数 k的取值范围是k-1-.k k +12e-1g x1f x2 , 人 g x1

52、k解析： 对任息 x1, x2 (0 , +0) 不等式 -；恒成立，等价于0 得 0Vx1,此时函数 g(x)ee e为增函数，由g (x)1,此时函数g(x)为减函数，即当x=1时，g(x)取得极大值同1时也是最大值g(1) =1,则g x1的最大值为1 = 71,则由白得2ekk+1,即k(2e e f x22 2ek+1 2e-1)1,则k12e- 1三、解答题(2019 沈阳监测)已知函数f (x) = aln x( a0) , e为自然对数的底数.若过点A(2, f(2)的切线斜率为2,求实数a的值；(2)当 x0 时,求证 f (x) a 11；xx 若在区间(1 , e)上ea

53、 - ea x0),贝U g ( x) = a x令 g (x)0 ,即 a -，0,解得 x1,令 g (x)0 ,解得 0 xa 1-x .x 1(3)由题意可知 e3 e 3 x,化简得 x-x- aIn xx 1令 h(x)=-则 h，(x)1In x- 1 + - xInx2，1 由(2)知，当 xC(1, e)时，Inx1 + -0, xh (x)0,即h(x)在(1 , e)上单调递增,h( x)e- 1.故实数a的取值范围为e-1, +8).(2019 开封高三定位考试)已知函数f (x) = ax+x2-xin a(a0, aw1).求函数f(x)的极小值;(2)若存在x1,

54、 xzC 1,1,使得| f(x1) f (x2)| e- 1(e是自然对数的底数)，求实数 a的取值范围.解：(1)f ( x) = axln a+ 2x- In a= 2x+ ( ax- 1)ln a.当a1时，In a0, (ax1)ln a在R上是增函数，当0a1时，In a1或0a0 的解集为(0 , +8), f( x)e- 1,而当 x C 1,1时,| f ( x。一 f ( x2)| W f ( x) max f ( x) min ,只需 f ( x) max f ( x) min A e 1 即可.当xC1,1时，x, f (x), f(x)的变化情况如表所示:x-1,0)

55、0(0,1f (x)一0十f(x)极小值.f (x)在1,0上是减函数，在(0,1上是增函数，当 xC 1,1时，f(x)min=f(0) =1, ”刈1为(1)和(1)中的较大者. TOC o 1-5 h z 一 一11人1f (1) f ( 1) =(a+ 1 ln a) (-+ 1 + In a) = a21n a,令 g( a) = a21n a(a0),aaa121 21. g ( a) = 1+孑一=(1 a) 0,，g( a) =ag21n a 在(0 ,十)上是增函数.而 g(1) =0,故当 a1 时，g(a)0 ,即 f (1) f ( 1);当 0a1 时，g(a)0 ,

56、即 f (1)1 时，f(1) f(0) e 1,即 a Inane 1.函数y=aIna在(1 , 十)上是增函数，解得 ae；当 0ae-1, 1即Fln ae 1, a一，1， ，一 ，一一 “ 11函数y=-+lna在(0,1)上是减函数，解得 00, f(x)0恒成立，求a的取值范围.解：(1) f (x) = 2(exx + a),函数f (x)的图象在x=0处的切线与x轴平行，即在x=0处的切线的斜率为 0,f (0) = 2( a+ 1) = 0, a=- 1.(2)由(1)知 f (x) = 2(exx+a),令 h(x) = 2(ex-x+ a)( x0),则 h (x)

57、= 2(ex 1)0,.h(x)在0 , +8)上单调递增，且 h(0) =2(a+1).当a1时，f (x)0在0 , +8)上恒成立，即函数f(x)在0 , +8)上单调递 增,.f(x)min = f(0) = 5-a20,解得一 班wawp,又 a- 1, 一 1w aw15.当a0,使 h(X0)=0,且当xC0 ,X0)时，h(x)0，即 f (x)0,则f (x)0,即f(x)单调递增， . f (x)min = f (x。)= 2e 0 (x。-a) +30,又 h(x。)= 2(e 0 x。+ a) = 0,2e x0-(e x0)2+30,解得 0 x0Wln3.由 e x

58、0=x0a? a=xoe，0,令 Mx) =x ex,0 xwin3 ,贝U M (x)=1 exMln3) =ln3 -3, M|x) M|0) = - 1, ln3 3w a 1.综上，ln3 3w aw 5.故a的取值范围是ln3 3,乖.尖子生小题库一一供重点班学生使用，普通班学生慎用(2019 益阳、湘潭调研考试)设函数f (x) = x33x2ax+5a,若存在唯一的正整 数x0,使得f(x0)0,得 x2,故 g(x)在(8, 0), (2,十)上单调递增，由 g (x)0 ,得0 x2,故g(x)在(0,2)上单调递减，画出函数g(x)和h(x)的大致图象如图所 示，h(x)过

59、定点(一1,0).由图可知要使存在唯一的正整数x0,使得f(x0)0,即存在唯一的正整数x0,使得gg(xo)h2 a,即 2727+54a,8 12+53a,B.10. (2019 湖北八校联考)已知函数f (x)=入 In x e x(入 C R).(1)若函数f(x)是单调函数，求 入的取值范围;(2)求证：当 0 x11x1解：(1)函数f (x)的定义域为(0,. f (x)=入 In x- e x,x一 , 、 入 x 入 + xe f (x)=+ e =,xx:函数f(x)是单调函数，f (x)W0或f (x)0在(0 , +)上恒成立,当函数f(x)是单调递减函数时，f (x)

60、wo,、x入+xe-WO,xx x即入+xe wo,入 w xe =-e.,令 Mx)=-xx 1不，则 () ( x)= -T-ee当0 x0 时,1入 w ； e当函数f(x)是单调递增函数时，f1 (x)0一 xxe 0,即入+xe x0,入 x-xe x= - e一x .由得 Hx) = -在(0,1)上单倜递减，在e(1+ 8)上单调递增，又 6(0) =0, x一十 0时，(J)(x)0.(2)证明：由(1)可知，当1一e时,ef (x) = - dn x-e x在(0 , +8)上单调递减, e/ 0 x1f(x2)1即 -ln x1 一ee1-x2 ee x1 ln x2 ee