2013级启明学院上期期中试题参考答案

1、2013 级启明学院一元分析学课程期中试题参考一. 对错错(1. 用数列和无穷大的定义可证明; 2. 间断点是第一类的, 是可去间断点,因为x0 , lim R(x) 0 , 见学习材料 p37 例 3.1.6; 3. 反例见学习材料 p89 思考 1)xx0二. 4. M 0 0, 0, x (a, a ), : | f (x ) | M 0 .5. 0 0, M 0, x1 , x2 M , :| f (x1 ) f (x2 ) | 0 .三. 6. f (x) 1 113 2x 1x 1(1)2013 (2013!) 220131f(x) (2013)(2x 1)(x 1)3201420

2、14f (2013) (0) 2013! 22013 1. .3注: 也可由 Taylor 公式来求得.dy cost cost t sin tdy tan t , 1.7.dx sin t sin t t costdx t 4222t 时, x a(1),y x a(1) .4 切线方程为244y 2 a(1 ) x 2 a(1 ) ,y 2 a x.即24244d 2 y sec2 td 2 y8 2, .22adxat costdxt 4三. 8. 0 , 由11n 1 3 n | | 3(n 1)2n(n 1) 3 3n23 n23 1 1 1解得 n , 取 N (或 N 1), 则

3、n N ,有 n 1 3 n | .| 3故lim(3 n 1 3 n ) 0.nf (0) lim x cos 1 0,f (0) lim x 0 , f (0) 0 .9.x2x cosx0 x0 0 x 0.f (x) 2x,lim 2不存在x0lim f (x) 0 不存在.故 f (x) 在 x 0 处间断.x0五. 10. 11!2 2! n n! (2 1) 1!(3 1) 2! (n 11) n! 2!3! (n 1)!(1!2! n!) (n 1)!1 limn1 原式 lim n(1) 1 0.(n 1)!n (n 1)!n注: 可用 Stolz 定理来做.22)211 .

4、 (1)x1 e x ln(1 x ) 2(x )2这里利用了等价关系et 1 t(t 0) 和 lim x ln(1 2.x( 2 o( 1 ) 2 2e2 .4原式 e2 lim xx ln(1x2x2x2x注: 上式中可令t 1/ x 后用 Hospital 法则.另解: 令t 1/ x , 则 x 时t 0 . 于是由 Hospital 法则得到11(1 2t) t e22t (1 2t) ln(1 2t)t 2 (1 2t)原式 lim lim(1 2t) t tt0t0 e2 lim 2t (1 2t) ln(1 2t) e2 lim 2 2 ln(1 2t) 2t 22tt 0t

5、 0 e2 lim ln(1 2t) 2e2 .t 0t六. 12. f (x) 在a,b) 上一致连续, 0, 0, x1, x2 a,b) , 当| x1 x2 | 时有| f (x1) f (x2 ) | .方法 1: 于是对上述 , z1, z2 (b ,b) 有| z1 z2 | , 从而有| f (z1 ) f (z2 ) | . 由Cauchy 收敛准则, f (b 0) 存在.方法 2: 在区间a,b) 内任取收敛于b 的点列xn , 由数列的Cauchy 收敛准则, 对上述的 ,N , n, m N , 有| xn xm | . 因此| f (xn ) f (xm ) | (

6、n, m N ) ,即 f (xn ) 为 Cauchy 基本列, 从而收敛. 故, 由Heine 定理知 f (b 0) 存在.13. 由 f (0) f (2) 0 和 f (1) f (2) 0 知 f (0) f (1) 0 . 连续函数 f (x) 依次在区间0,1 和1,2 上用零点定理, 存在 x (0,1), x (1,2) 使得 f (x ) 0 f (x ) . 令 h(x) eax f (x) ,1212则 h(x) 在区间x1 , x2 上连续, 在(x1 , x2 ) 内可导, 且h(x1 ) 0 h(x2 ) . 由 Rolle 中值定理,(x , x ) (0,2

7、) , 使得 h() 0 .而 h(x) eax ( f (x) af (x) ,eax0 , 所以12f () af () 0 , 即 f () af ().f (1) (a a b )2 ,14. f (a) f ( a b ) f ( a b )(a a b ) (a, a b )1222222f (b) f ( a b ) f ( a b )(b a b ) (2 ) (b a b )2 , ( a b ,b)f22两式相加, 得到22222(2 ) (b a) (b a)22 f (a) f (b) 2 f (f( ),2244其中1, 2 由 Darbourx 定理(导函数的介值性定理, 学习材料 p66, p79)得到. 证毕.f (x) 0 ,15. 因为 f (0) lim所以由函数极限的局部保号性, 存在 0 , 使当1x0 xx (1,0) 时 f (x) 与 f (0) 反号, 即 f (x) f (0) 0 . 又因为 f (x) 连续, 所以存在2 0 ,使当 x (2 ,0) 时 f (x) 与 f (0) 同号. 取 min1, 2, 则 0 , 且当 x (,0) 时有 f (x) f (x) 0 . 同理,