低维凝聚态物理学课件chapter5分数电荷

1、This chapter consists of two PPTChapter 5 (next page)*2.Picture of fractional charge (separated PPT)*original Chap.5 (K-T phase transition) is changed as Chap.6第五章 分数电荷1.两条途径：一、“分” 基本粒子有结构，例如质子、中子、介子由三个或二个quark组成，单个quark具有分数电荷 ， 。 将基本粒子加速对撞（加速器，宇宙线），撞碎后，可得分数电荷，此途径还未走通。宇宙空间中可能有分数电荷，但天体物理研究还未发现。二、“合”

2、用大量粒子（每个粒子都有整数电荷）组合成一个体系，它的某些状态（集体激发）具有分数电荷。 这已在低维凝聚态中实现，例如在二维电子气的边缘态（一维）中，已观察到 ，于1998年获Nobel 物理奖。详情在“量子Hall效应”的课程中讲解。凝聚态物理中的激发能量只有几个eV，远不能敲碎质子等，那里的“分数电荷”是如何形成的？ 本章将说明“合”的物理思想，展示由大量整数电荷构成分数电荷的物理图像。 “合”的物理思想很简单：“波粒二象性” 电子状态是波函数 ， 表示在空间各点上电子出现的几率。原子中的 只有一个波包。固体中的波函数具有周期性，有无数波包。这些形式的波函数都不能构成分数电荷。核 如果能用

3、大量粒子制造出某种体系，在此体系中，电子的状态有两个波包, 这两个波包之间虽无交叠，但它两共同构成了一个状态（具有量子关联），并不是完全独立的。这两个波包可独自运动。在运动中，各个波包的形状不变，于是，每个波包就是一个“准粒子”。类似于高分子中的Soliton。该电子状态（波函数 ）的总电荷为e。由于每个波包可独自运动，且形状不变，因而可单独观察其中的一个“波包”，对于该波包所对应的“准粒子”，在其波包的范围内，具有的电荷是 （或 ）， ， 和 都小于e，因而每个波包（准粒子）的电荷就是分数电荷。 这种分数电荷是“准粒子（波包）”所带的电荷，不是一个“基本粒子”的电荷。 具有这种形式波包的一个

4、例子是 。 氢分子有两个电子，将一个电子电离去，剩下的就是 ，他有两个核，一个电子。 氢分子 ，将一个电子电离， 只有一个电子，波函数为 0.8 一个波包理想实验：将两个原子核的距离拉远两个波包让我们来想象，如有某种办法将两个原子核逐渐分开，则电子的波函数就有两个波包。在每个波包上，电子出现的几率是50%,每个波包所带的电荷是 。 然而，这只是想象，不能实现。因为无法使 的两个核分离开来。 但是，回想一下前面讲过的高分子，其中的孤子反孤子对能够满足上述的波包要求， 和 可独自运动，如果将一个电子状态分布在 和 上，就出现了两个波包，每个波包带有分数电荷。因而可用大量粒子所组成的一维体系来实现分

5、数电荷，这就是“合”的物理思想。How to observe the charge of the “ wave pocket” ? One way is “Shot noise” .散粒噪声 ( shot noise )电流不是连续流体，是分离的载流子在流动，因而电流不是完全均匀的， 有涨落。出现散粒噪声。设每个载流子的电量为如果 小， 的起伏小。如果 大， 的起伏大。噪声用不同的测量方法，可分别观察 电子的粒子性和波动性。1. 光子散射：（观察粒子性）确定电子在左边，还是在右边。几率各为50%。2. 散粒噪声（观察波包）E可测波包的电量，e/2 分数电荷的观察边缘态 (edge state）

6、类似于分子电流，内部抵消。边缘上出现电流（边缘态），其载流子是“分数电荷”。1997年，边缘态的隧道电流散粒噪声（shot noise）二维电子气二维电子气证实崔琦正确。1998年Nobel奖（崔琦，Stormer，Laughling） 由于波包的形状不变，整个波包所带的电荷 不随时间改变， 是守恒量。现在，我们观察的是一个波包，而不是单个电子。当我们测量波包的电荷时，每次都是 （虽然它是分数），它不是多次观察的平均值。当然，如果是观察单个电子，则只能得到几率，那就会看到，在一个波包的范围内要多次观察，有时电子落在此波包范围内，有时没有电子，则在此波包范围内观察到电子的几率是分数。 可以证明，

7、整个波包的电荷算符 与 对易， 的本征值是好量子数，因而分数电荷是物理量。Appendix: 理论准备正交完备性 （1）一组本证函数（1） 正交归一 （2）（2）完备性 的全体是完备的：任何函数 都可按 来展开. (3)其中 (4) 不是任何一组函数都是完备的.例如 Sin(nx) 就不完备. Sin(nx) 和 Cos(nx) 一起，才完备. 具有完备性的条件是 (5) 这组函数组成完备的基函数.证明：将（4）代入（3） （6）此式要对任意的 都成立，则要求 Wannier 表象第m个C原子的核位于 ，其原子波函数为 每个 定域在 附近， 的全体展布于整个空间. 这N个波函数 具有完备性.

8、任何波函数 可按这组基函数展开，轨道， m=1,2N(2.1)于是，可用N个分立的数W(m)，m=1,2 N.来表示波函数 . 以原子波函数 为基函数的表象称为Wannier表象，在此表象中，波函数是一组分立的数W(m)，m=1,2 N可写成一列矩阵(2.1)在Wannier表象中， 成为一个矩阵，其矩阵元为其完备性为正交性为特别是 m=m， 是第个本征态在格点m上出现的几率。（2.5）式表明：在每一个格点上，所有状态出现的几率之和等于一。这是显然的，因为每格点上只有一个状态。（2.3）（2.4）（2.5）它的本证值是能谱 ，=1N每一个能量 有一本征矢它们就是 Wannier 表象中的本征波

9、函数.这一组本征波函数 满足： 对于不同原子的 ，它们之间的交叠很少，可近似地认为它们是相互正交的. 实际上，从 出发可构成一组正交的基函数.其做法是：对每一个 ，它的最近邻是 和 ；次近邻是 和 ； 将它们线性组合 然后，根据 的正交性要求确定A和B. 如此构成的 就是相互正交的.它更接近 Wannier 波函数.严格的 Wannier 波函数 是 Bloch 波函数的 Fourier 变换其中 是波矢为 的 Bloch 波函数 (本征函数)，求和在第一布里渊区. 定域在 附近，组成正交完备系，但不是本征函数.2. 能带计算（1）等距离晶格 在紧束缚近似下，电子在相邻的两原子间跳跃.因而在

10、Wannier 表象中， 矩阵形式为m-1m+11100100每个能级对应的波函数mm求得 W (m) 后，可以直接验证，它们满足：2. 完备性1. 正交归一性（2）二聚化m当N=100时，价带和导带各有50个状态这一组W (m)满足正交性 也满足完备性特别是，当 m=n 时对能级求和时，可分为对价带和导带分别求和因为价带和导带是对称的，（3）由100个格点组成一条闭链.左半边为A相，右半边为B相.在第25格点从A相过渡为B相（孤子 ）；在第75格点由B过渡为A（ ）1100在 Wannier 表象中，紧束缚近似下的 Hamiltonion 为 AB2575（图2-3-1）孤子附近的矩阵元为2

11、52122232426272829图 2-3-2将100100矩阵对角化后，得100个能级组成的能谱 ， 由于在 和 两处存在畸变，形成两个定域态(第50和51能级). 对于二聚化中的 ，能谱的对称中心在能隙的中央.于是，两个定域态位于能隙中心. 下部49个状态组成价带，上部49个能级组成导带.与二聚化的能谱相比较，可以看到：价带和导带各少了一个状态，能隙中多了两个定域态.（图 2-3-3）波函数（图 2-3-4）3. 格点上的“状态数”，“半个状态”在 Wannier 表象中，第 个状态的波函数是 ， 表示该状态在格点m上出现的几率. 整个波函数 是一个状态，该状态分布在各个格点上，可将 称

12、为该状态“在格点m上的状态数”，它是小于1的分数.波函数的归一化条件为它表示：在所有格点上，状态数的总和等于1.因为整个波函数 对应于一个状态.波函数的完整性是特别是，当 时 它表明：在一个格点上，所有“状态数”之和为1. 也就是说， 每个格点上有一个状态.能 隙价 带 （图 3-3-5）1255075100能 隙导 带 （图 3-3-6）一般来说，体系的能谱有几个能带：价带，导带，能隙中的定域态.对于某一个格点 m，表示 m 上价带的状态数. 表示 m 上导带的状态数. 例如， 对于二聚化基态的能谱这说明，对于任何一个格点，它上面的价带状态数是 ，导带状态数也是 .当键上存在一对 ， 时（图

13、 3-3-7） 由于 和 的定域波函数只分布在 和 附近的小范围内. 在 和 的范围之外，例如在格点 处，只有价带和导带，于是如果某格点 n 在 或者 的范围内，则由于价带与导带对称因此比较一下孤子对出现前后的状态数变化，(1). 未出现孤子对时，是二聚化情况，价带有50个状态， 导带有50个状态，能隙中是空的.(2). 出现孤子对后，价带中只有49个状态，减少了一个.导 带中也只有49个态 ，也减少了一个. 能隙中出现了两个定域状态 和 . 因为价带中填满电子，导带是空的，需要特别讨论一下价带. 价带减少了一个状态，它分布在所有的格点上.孤子对出现后，格点 m 上价带的状态数为因为所有的 都

14、已经知道， 可以算出来. 未出现孤子时，各个格点上价带的状态数都是0.5. 孤子出现后，在 和 的范围内，各个格点上价带的状态数都小于0.5.m（图 3-3-8）m（图 3-3-8） 在 的范围内（格点15-35），状态数总共减少了0.5；在 范围内（格点65-85），状态数总共减少0.5. 因此，在价带中减少了一个状态，此状态呈现两个波包，一个在 处，另一个在 处. 处的波包是“半个状态”， 的波包也是“半个状态”.这两个波包构成了“一个状态”. 注意，对于价带，每个状态上都有一个自旋的电子和自旋的电子. 因而在 S 的范围内，状态虽是“半个”，但电荷并不出现e/2. 因为同时存在两种自旋的

15、电子，两者之和是e. 因此，对于二聚化的孤子，状态已出现分数，但电荷仍是整数.下一节进一步讨论三聚化，那里的孤子就产生e/3了. 4三聚化 有机分子TTF和TCNQ是片状的，见图21，它们可叠成分子柱，每个柱是一维体系，载流子沿柱的方向运动。在TTF柱和TCNQ柱之间有电荷转移，转移的数量随压力而变，在19千帕时，转移电荷填充了能带的1/3。图 21图 21 Peierls不稳定性要产生三聚化，使晶格周期性从a变为3a。能隙在Fermi面kF=1/6a上打开，原来的一个能带分裂成三个能带。见图22。同时，产生了两个能隙。下能带填满，中能带和上能带是空的。能带的对称中心在中能带的中心点上，下能带

16、的中点不是对称中心。图 22 上能带中能带下能带对于三聚化，有三个不同的相。见图23。1. A相。格点A不动，格点B和C向A移动；2. B相。格点B不动，C和向移动；3.相。格点不动，和B向C移动。这三个相具有相同的能量，所以三聚化的基态是三度简并的。图 235三聚化中的孤子 在均匀的A相中，将一段从A相变为B相，就形成一对孤子S和 ，（图51）。 图 5-1S是从B相过度为A相，中的晶格畸变如图52所示。 是从A相过渡到B相， 的晶格畸变如图53所示。图 52图 53特别注意，三聚化中的 对与二聚化中 对的差别。对于二聚化，只有相和相两种，和 的晶格畸变是相互对称的。 对于三聚化，有A、B、

17、C三种。在形成S（从B相到A相）和 （从A相回到B相）对时，除了A、B两种原子外，还有C参与其中。这使得S和 的畸变不再相互对称了。对于 S ，它的中心部分位形是A-B-C-A-B（见图52）；对于 ，它的中心部分是C-A-B-C-A-B-C（见图53），两者明显不同。 S处和 处的晶格畸变产生了两个定域电子态 和 。 在S附近， 在 附近,（见图54）。于是在能隙中产生了两个分立能级和 ,（见图55）。同样在上能隙中也产生两个分立能级。图 54中能带下能带图 55 前面已指出，对于三聚化，S与 的晶格畸变不对称。因而分立能级 和 不再相等，而是一个能级偏上，另一个偏下。这不同于二聚化情况下的

18、孤子能级。在二聚化情况下，由于S和 的晶格畸变相互对称，S与 的分立能级是简并的，它们都位于能隙的中央。 在下能隙中产生两个定域态 和 时，中能带和下能带必须各减少一个状态。因为下能带是填满的，减少了一个状态，随之就要减少两个电子，这两个电子要填到 上来，见图55。 如果通过掺杂加入一个电子，此电子将进入能级 。中能带下能带图 551449B相A相90360下面来作定量计算.由450个格点组成一个闭合环（图5-6）左半边为B相，右半边为A相.图 5-62450在第90个格点处，由B相过渡为A相，该处为 . 在第360个格点处，由A相过渡为B相，该处为 .Hamiltonian 是450450的

19、矩阵作为近似，参考图 5.3， 附近的 hopping 数值如图 5.7 所示参照图 5.2， 附近的 hopping 如图 5.8 所示在计算中，设 .如要精确定出各键上的 hopping ，参看下面的附注.( 图 5.7 )( 图 5.8 )87888990919293358359360361362注：在上面的计算中，已定下各个键上的 hopping ，将 对角化求得能谱和波函数.这只是为了展示大致的过程，而采用的近似方法.在实际的计算中，要自洽地确定各个键上的 .具体做法如下： 设各个格点的位移为 ，两相邻格点间的 hopping 为 其中 是等距离C原子之间的hopping，是耦合强度

20、. 因为 依赖于 .因而电子能谱 也依赖于 .体系的总能量为 第一项是电子能量，第二项是弹性能，将总能量取极小，可得确定 的方程将此方程与 Schrodinger 方程联立求解，就可自洽地确定电子态和格点位移 .(1)(2)(3)(4)将此 450450 矩阵对角化后，得到由450个能级组成的能谱.（图 5.8）出现三个能带和两个能隙：下能带 ，有149个能级，填满了电子，是价带.中能带 ，有148个能级，没有电子，是导带.上能带 ，有149个能级，没有电子.下能隙中有两个定域态 和 ，上能隙中也有两个定域态，为 和 .图 5.9没有 时，均匀三聚化基态的能谱为：上，中，下三个能带各有 150

21、 个能级. 下能带填满电子，是价带. 上，中能带都没有电子. 上下两个能隙中没有分立的能级. 出现后，能带发生了变化：上，下两能带各减少了一个状态，中能带减少了两个状态. 总共减少了四个状态. 上，下能隙中各出现了两个定域态的分立能级. 能隙中总共出现了四个状态. 能谱中总的状态数仍是 450 个，没有变.6. 孤子上的电荷 由波粒二象性可知，电子的一个状态由波函数表示。它在空间有一定的分布。一般来讲，一个状态在空间的分布是不均匀的。 对产生后，下能带（价带）中减少了一个状态。重要的是，这个减少的状态并不是均匀分布在晶格链上，该状态的分布是不均匀的。观察图55，能隙中的两个能级 和 并不相等，

22、 上的定域态离下能带近，S上的定域态离下能带远。于是， 上的定域态对下能带的影响大，S上的定域态 对 下能带影响小。因而，下能带中减少的一个状态在 范围内减少得多一些，在S范围内减少得少一些。两者之和是减少一个。中能带下能带图 55利用上节已经得到的波函数 ，可求得各个格点上价带（下能带=1至149）的状态数（6.1）其结果如图 （6-1）所示（图 6-1） 未出现时，每个格点上价带的状态数都是 . 的出现使价带上的状态数减少了由图可见，只是在 和 的范围内，状态数减少了.在 的范围内（m=70110），总共减少了在 的范围内（m=330400），总共减少了由此可见，价带中减少的一个状态，分成

23、为两个波包： 处是小波包，减少了1/3个状态； 处是大波包，减少了2/3个状态.两个波包合在一起，减少了一个状态. 这样一来，就形成了具有两个波包的一个状态。 处的波包占有2/3；S处的波包占有1/3，见图61. 下面来计算一下，在这两个波包区域内，所带的电荷各是多少？ 先看 处的波包区域，从图55可见，此范围内的电荷有两部分：一部分在下能带内，另一部分在定域能级 上。中能带下能带图 55下能带是填满的，各个状态上有一个正自旋的电子和一个负自旋的电子。在 区域，当下能带减少2/3个状态时，（注意，另外1/3个状态在S处，这两部分是连在一起的，两者构成一个状态），电荷也会随之减少，正负自旋的电荷

24、各减少(2/3)e.（注意，另外的(1/3)e在S处，(2/3)e和(1/3)e是连在一起的，两者构成一个状态的电荷分布，其总电荷是e）。于是在 处，下能带中减少的电量是(4/3)e.在定域态 上有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下），因而，在 波包区域内，带有的电荷是 同样，可以计算体系在S波包范围内的电荷。在S处，下能带中减少的状态数是1/3，因而电荷少了(2/3)e，（正负自旋各占e/3）。定域态 是空的，因而在S波包区域内的电荷是 整个体系的电荷 ，保持电中性。让我们再作进一步的讨论： 对于上述的 对，如果通过掺杂从外界加进一个电子(e)，从能级图55可见，由于下能带是填满的， 的定

25、域态上已有两个电子，这个加入的电子只能填入S的定域能级 上。见图62。 图 62 此时，在 上有一个电子，在 上有两个电子，价带上填满了电子，于是，各个格点上的电荷分布为利用图 6-1中的 ，可求得 ，其结果如下图所示图 6-3波包 上的总电荷 波包 上的总电荷 图 6-3这样一来，加进的一个电子电荷就分布在两个区域，在S波包范围内，带有(1/3)e；在 波包范围内，带有(2/3)e。如图63所示。图 63 于是，一个电子的电荷e分布在两个分开的区域内，一部分在S波包，另一部分在 波包。显然，这就是“波粒二象性”的体现。 电子是一个一个的，没有被打碎，但其状态具有波动性，有一定的分布。这里的分

26、布形式比较特殊，呈现为两个波包。在S波包范围内，电子出现的几率是1/3；在 波包范围内，电子出现的几率为2/3。由于这两个波包的形状不变, 且可独自运动，行为像“准粒子”，因而“S准粒子”就带有电荷(1/3)e，“ 准粒子” 带有电荷(2/3)e，形成了“分数电荷”。这就是“分数电荷”的物理图像。 需要强调，在观察分数电荷时，一定要测量整个波包的电量，（shot noise）。这时，每次测得的电荷都是(1/3)e或 (2/3)e，它们不是多次测量的平均值。如果观测的方法是针对单个电子的，则测量的是电子在各个区域内出现的几率，有时是1，有时是0，多次的平均值是1/3或2/3。 再来讨论两个波包的

27、自旋. 在 波包的定域态上有两个自旋相反的电子，自旋相互抵消，因而 波包上的自旋为零. 在 波包的定域态上只有一个电子，因而 波包上的自旋为1/2. 总结： 当一个电子加进具有三聚化的链之后，在链上形成一对孤子（ ）.它们呈两个波包，一个波包的电荷为 ，自旋为零；另一个波包的电荷为 ，自旋为1/2. 这就是“波粒二象性”所形成的“分数电荷”. 上面已详细介绍了“分数电荷”的物理图像，为了避免对上述各图象发生误解，下面作几点补充说明。 1. 前面详细说明了，下能带中减少的一个状态，它的分布具有两个波包，一个在S处，另一个在 处。应该指出，不要将这两个波包看成是S和 上的两个定域态。 实际上，S上

28、有一个定域态，这个状态的波函数只有一个波包，它定域在S范围内。注意，这个波包是一个状态，不是一个状态的一部分。 上有另一个定域态，该态也只有一个波包，定域在 范围内，这个波包也是一个状态。这两个定域态的能级不相等，一个在能隙上部，另一个在能隙的下部。因而，这两个状态是非简并的，它们的波函数（其形状都是一个波包）不能进行组合而形成一个具有两个波包的本征状态。 更明显的区别在于：下能带中减少的一个状态（它的分布具有两个波包）是位于下能带中，而S和 上的两个定域态位于能隙中。两者的能级在不同的区域。 2. 对“下能带中减少的一个状态”要有正确的理解。它是比较 出现前后的下能带而言的。出现 以前，体系

29、是三聚化的基态，晶格具有3a的周期性，下能带中有N/3个状态，它们的波函数 都有周期性。出现 以后，晶格发生了畸变，不再有周期性。此时下能带中状态数变为(N/3-1)个，它们的波函数 没有周期性。 （有N/3个）和 （有N/3-1个）是两套不同的波函数。不要认为“减少了的一个状态”是原来N/3个波函数 中的一个。因此，“下能带中减少了一个状态”，不是从三聚化基态的下能带（有N/3个状态）中取走顶部的一个状态，而是由晶格畸变产生了新的状态，其中的(N/3-1)个仍是广延态，它们的能级靠得很近，形成了新的下能带。另外一个则变成定域态，其能级上移到能隙中去了。 7. 实验观测 在TTFTCNQ分子柱

30、中，已观察到三聚化形成的波长为3a的电荷密度波（CDW），但还未观测到由孤子对产生的分数电荷。e/3的分数电荷在另外一个一维体系中观测到了。这是二维电子气的边缘态。在半导体的表面或界面上，可形成一层二维电子气，在垂直方向加上磁场就可观察 Hall 效应.Hall 电阻（横向），Another way is 霍尔效应先看实验：quantized Hall 效应三维：连续 （1879，E. Hall）二维：量子化 51015123 分数， 1982，崔琦，stormer整数：1980, KlitzingB(T)二维三维崔琦指出，这是分数电荷e/3的表现。 大家不理解。磁通量子为下面来简要说明其图像磁通量 是量子化的， ( Aharonov-Bohm 效应)设每个 所占的面积为当 B5T, 的半径10nm设电子的面密度为n.于是，每个 (面积为 )中的电子数 为实验中，n固定，B从弱变强.令当 n1011/c