西北师范大学2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数，则的虚部是（ ）ABCD12已知数列，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ）A64B32C2D43设

2、，则，则（ ）ABCD4如图，平面与平面相交于，点，点，则下列叙述错误的是（ ）A直线与异面B过只有唯一平面与平行C过点只能作唯一平面与垂直D过一定能作一平面与垂直5已知，则下列说法中正确的是（ ）A是假命题B是真命题C是真命题D是假命题6已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）ABCD7已知函数下列命题：函数的图象关于原点对称；函数是周期函数；当时，函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）ABCD8已知集合A2，1，0，1，2，Bx|x24x50，则AB（）A2，1，0B1，0，1，2C1，0，1D0，1，29九章算术是我国古代数学名著，书中有如

3、下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）ABCD10甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人已知：甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；乙不在原始森林，也不在远古村寨；“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；丁不在百里绝壁，也不在远古村寨若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）A甲B乙C丙D丁11若集合，则（ ）ABCD12如图，在正方体中

4、，已知、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某种产品的质量指标值服从正态分布，且某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_14已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是_15给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）因为所以不是函数的周期；对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；“”是“”成立的充分必要条件；若实数满足则16如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在直角坐标

5、系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长.18（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，（）求证：；（）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值19（12分）正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn .20（12分）已知等比数列是递增数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和21（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.22（1

6、0分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.（）求面积最大值；（）证明：直线与斜率之积为定值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.【详解】，所以的虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.2A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：

7、，故，.故选：.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.3A【解析】根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.【详解】，.，显然.,即，即.综上，.故选：.【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.4D【解析】根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾， 故正确.B. 根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D. 根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本

8、题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5D【解析】举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案【详解】当时，故命题为假命题；记f（x）exx的导数为f（x）ex，易知f（x）exx（，0）上递减，在（0，）上递增，f（x）f（0）0，即，故命题为真命题；是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题6D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可

9、求解.【详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.7A【解析】根据奇偶性的定义可判断出正确；由周期函数特点知错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知错误；令，在和两种情况下知均无零点，知正确.【详解】由题意得：定义域为，为奇函数，图象关于原点对称，正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，错误；，不是最值，错误；令，当时，此时与无交点；当时，此时与无交点；综上所述：与无交点，正确.故选：.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数

10、最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.8D【解析】解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.9C【解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，直角三角形的斜边长为，利用等面积法，可得其内切圆的半径为，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半

11、径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10D【解析】根据演绎推理进行判断【详解】由可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由可知必有甲去了原始森林，由可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁故选：D【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础11A【解析】用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可【详解】解：由集合，解得，则故选：【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键属于基础题12B【解析】连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解【详解】如图，连接，使交于点，

12、连接、，则为的中点，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】直接计算，可得结果.【详解】由题可知：则质量指标值位于区间之外的产品件数：故答案为：【点睛】本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.14【解析】， ，函数y=f(x)g(x)恰好有四个零点，方程f(x)g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2x)b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2x)与y

13、=b的图象有四个交点， ，作函数y=f(x)+f(2x)与y=b的图象如下， ，结合图象可知， b2，故答案为.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围15【解析】对,根据周期的定义判定即可.对,根据偶函数满足的性质判定即可.对,举出反例判定即可.对,求解不等式再判定即可.【详解】解：因为当时, 所以由周期函数的定义知不是函数的周

14、期,故正确；对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确；当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误；若实数满足则所以成立,故正确正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.16【解析】根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）（2）【解析】（1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可；（2）设，由，即可求出，则计算可得；【详解】解：（1

15、）圆的参数方程（为参数）可化为，即圆的极坐标方程为.（2）设，由，解得.设，由，解得.，.【点睛】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（）见解析；（）【解析】试题分析：（1）取中点，连，由等边三角形三边合一可知，即证（2）以，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值试题解析：（）证明：连，则和皆为正三角形取中点，连，则， 则平面，则 （）由（）知，又，所以如图所示，分别以，为正方向建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，因为，所以取 面的法向量取， 则， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值19（1）（2）见解析【

16、解析】（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.20 (1) (2) 【解析】（1）先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减求和法可求出数列的前项和【详解】解：（1）由是递增等比数列，联立 ，解得或，因为数列是递增数列，所以只有符合题意，则，结合可得，数列的通项公式：；（2）由，；那么，则，将得：【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数

17、列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前项和.21（1）（2）【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.【详解】（1）当时，即，无解；当时，即，得；当时，即，得.故所求不等式的解集为.（2）因为，所以，则，.当且仅当即时取等号.故的最小值为.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22（1）；（2）（）；（）证明见解析.【解析】（1）由，解方程组即可得到答案；（2）（）设，则，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得