材料力学-扭转变形（PPT共61页）

1、第四章 扭转第四章 扭 转材料力学1第四章 扭转第四章 扭转41 工程实例、概念42 外力偶矩、扭矩43 圆轴扭转时的应力、强度计算44 圆轴扭转时的变形、刚度计算45 等直圆杆的扭转超静定问题46 非圆截面杆的扭转47 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力扭转变形小结2第四章 扭转一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。41 工程实例、概念MMFFM3第四章 扭转3、机器中的传动轴工作时受扭。4第四章 扭转5第四章 扭转6第四章 扭转二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。轴：

2、主要发生扭转变形的杆。72、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转分(rmin；rpm)。外力偶矩：第四章 扭转一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转分(rmin； rpm)。外力偶矩：42 外力偶矩、扭矩82、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。第四章 扭转T+T-mmTx1、内力的大小：（截面法）二、内力：T（扭矩）94、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。作法：同轴力图：第四章 扭转例 已知：一传动轴， n =300r/

3、min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4（1）、截开面上设正值的扭矩方向。（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。3、注意的问题10第四章 扭转求扭矩（扭矩按正方向设）解：计算外力偶矩例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。11第四章 扭转nA B C Dm2 m3 m1 m4112233T1m2m2m3T2m4T3绘制扭矩图9.56xT（kN.m）4.786

4、.3712一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。一）、几何关系：1、实验：第四章 扭转43 圆轴扭转时的应力、强度计算13第四章 扭转142、变形规律：圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。4、定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于

5、其半径方向。第四章 扭转TO1A2155、切应变的变化规律：第四章 扭转二）物理关系：弹性范围内工作时方向垂直于半径。16第四章 扭转 应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）17三）静力关系：第四章 扭转TOdAA令代入物理关系式 得：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。18第四章 扭转横截面上抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。整个圆轴上等直杆：变直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip截面的极惯性矩，单位： m4 mm4二、圆轴中max的确定19四、薄壁圆管（圆筒）扭转切应力薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与

6、扭矩的转向一致.T20五、Ip, Wp 的确定 ：1、实心圆截面2、空心圆截面DdOdDOd21xdydzdxyz六、切应力互等定理 1、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向与 y 轴平行. 可知，两侧面的内力元素 dy dz 大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。由平衡方程其矩为( dy dz) dx22xydydzzdx2、 要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得( dy dz) dx233、切应力互等定理单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都指向（或背离

7、）该两平面的交线.纯剪切单元体：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.xydydzzdx24MeMel式中， r 为薄壁圆筒的外半经.七、剪切胡克定律由图所示的几何关系得到薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶 Me 在某一范围内时，与 Me （在数值上等于 T ）成正比. 25 弹性模量E，剪切弹性模量G与泊松比的 关系TO从 T 与 之间的线性关系，可推出 与 间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克定律.G 剪切弹性模量扭转 (torsion)O26八、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。272

8、、max：=00， max=（=0）。横截面上！1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！结论： 如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏（塑性材料）； 如果材料的抗拉压能力差，构件就沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。分析：ttsmaxsmin4528九、圆轴扭转时的强度计算1、强度条件：2、强度计算：1）校核强度；2）设计截面尺寸；3）确定外荷载。29一、变形：（相对扭转角）44 圆轴扭转时的变形、刚度计算 T=常量,且分段。T=常量单位：弧度（rad）。GIP抗扭刚度。第四章 扭转注意： “T” 代入其“、”号30单位长度的扭转角，二、刚度条件：三、刚度计算：1、校核刚度；

9、2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。第四章 扭转31例 功率为150 kW，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所示，许用切应力 =30 M Pa, 试校核其强度。T1.55 kN.m解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度D3 =135D2=75D1=70ABCmmx第四章 扭转32例 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何

10、安排合理？解：图示状态下,扭矩图500400P1P3P2ACBTx7024 4210(Nm)第四章 扭转33由刚度条件得：由强度条件：第四章 扭转34综上：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后, 轴的最大直径才为 75mm。Tx 4210(Nm)2814第四章 扭转P1P3P2ACB35第四章 扭转已知：P7.5kW,n=100r/min, 许 用切应力40MPa, 空心圆轴的内外径之比 = 0.5。求:：实心轴的直径d1和空心轴 的外径D2。解：P T=9549n7.5= 9549 100 =716.2 N.mmax=wp116 TT= d1

11、3=40 MPa=0.045( m)=45 mmd1=16 716. 2 40 106336第四章 扭转max=40 MPawp2T16 T= D23(1- 4)d 2 =0.5D2=23 mmA1A2=d12D22(1- 2)=1.28=0.045( m)=45 mmD2 =16 716.2 (1- 0.5 4) 40 10633745 等直圆杆的扭转超静定问题解扭转超静定问题的步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第四章 扭转38例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图

12、，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：几何方程：第四章 扭转39 力的补充方程： 由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。第四章 扭转x40第四章 扭转低碳钢41第四章 扭转铸铁42第四章 扭转六、圆轴扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。43mT第四章 扭转方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）tttttttasax44第四章 扭转设：ef 边的面积为 dA 则tttasaxn

13、tefbeb边的面积为dAcosbf边的面积为dAsin45第四章 扭转2、max：=00， max=（=0）。横截面上！1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！结论： 如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏（塑性材料）； 如果材料的抗拉压能力差，构件就沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。分析：ttsmaxsmin4546一、非圆截面杆与圆截面杆的区别圆杆扭转时 横截面保持为平面；非圆杆扭转时 横截面由平面变 为曲面（发生翘曲）。46 非圆截面杆的扭转第四章 扭转47二、研究方法：弹性力学的方法研究三、非圆截面杆扭转的分类：1、自由扭转（纯扭转）2、约束扭转。四、分析两种扭转

14、：1、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸），任意两相邻截面翘曲程度相同。受力特点：两端受外力偶作用。变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵 向应变等于零。应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。2、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。受力特点：两端受外力偶作用。第四章 扭转48变形特点:相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以 纵向应变不等于零。应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。五、矩形截面杆的自由扭转：1、分布：2、应力计算： （整个横截面上最大的切应力）。短边中点3、变形：长边中点第四章 扭转hbht

15、1T t max 注意！b49六、非圆截面杆扭转的有关规律：1、截面周边各点处切应力的方向与周边平行（相切）。2、在凸角处的切应力等于零。第四章 扭转50一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。47 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第四章 扭转51三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b），同 一厚度处，应力均匀分布。第四章 扭转52四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图上取 单元体如图（d）。图（c）d xd 2d1t1t2图（d）第四章 扭转53第四章 扭转54例 图示椭圆形薄壁截面杆，横

16、截面尺寸为：a=50 mm， b=75 mm，厚度t =5 mm，杆两端受扭转力偶 T=5000 Nm， 试求此杆的最大切应力。解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力：bat第四章 扭转55第四章 扭转扭转变形小结一、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。二、外力：m （外力偶矩）功率 P千瓦，转速 n转分。三、内力：T（扭矩）功率 P马力，转速 n转分。1、内力的大小确定、画内力图56第四章 扭转2、内力的符号规定：右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。（1）、截开面上设正值的扭矩方向。（2）、在采用截面法之前不能将外力简化和平移。3、注意的问题四、薄壁圆筒横截面上的应力五、剪切虎克定律几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律1、公式推导六、圆轴扭转时横截面上的应力重点57第四章 扭转静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。等直杆：变直杆：2、圆轴中max的确定3、公式的使用条件：（1）、等直的圆轴，（2）、弹