专题五立体几何中的向量方法_(一)__平行与垂直关系的向量证法(共8页)

1、PAGE - PAGE - 8 - -立体几何(j h)中的向量方法(fngf) (一) 平行与垂直关系(gun x)的向量证法知识点一：求平面的法向量例1.已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，试求平面的一个法向量解:A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，eq o(AC,sup6()(1，2，4)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n= 0， neq o(AC,sup6() = 0.即eq blcrc (avs4alco1(x2y4z0,2x4y3z0)，解得eq blcrc (avs4alco1(x2y,z0).令y

2、1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可“用向量法”求法向量的解题步骤：（1）设平面的一个法向量为； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；（3）根据法向量的定义列出方程组；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.证明: 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面A1D1F的法向量设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0

3、,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)， eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2). D1(0,0,1)，Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，A1(1,0,1) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，1)，eq o(A1D1,sup6()(1,0,0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，1)eq f(1,2)eq f(1,2)0，同理eq o(A1D1,sup6()0，且eq o(A1D1,sup6(

4、). 又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F， 是平面A1D1F的法向量知识点二：利用向量方法证平行关系（1）线线平行：设直线、的方向向量分别为、，则（2）线面平行： 由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；设直线的方向向量为，平面的法向量为，则；由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个(lin )不共线向量表示即可.（3）面面平行(pngxng)： 证明两个(lin )平面的法向量平行，即两个平面的法向量；证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.例2在正方体中，是的中点，求证：.证方法一：=，

5、又,证法二： = +=+ =+.，共面.又B1C 面ODC1，B1C面ODC1.证法三: 如图建系空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，C1(0,1,1)，(1,0，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0).设平面ODC1的法向量为n(x0，y0，z0)，则得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x0f(1,2)y0z00,f(1,2)x0f(1,

6、2)y00 )令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又 n1101(1)(1)0，n，B1C平面ODC1.【反思】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直练习(linx)：如图所示，矩形(jxng)和梯形(txng)所在平面互相垂直，.求证：平面.证明：如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.设ABa，BEb，CFc，则C(0,0,0)，A(eq r(3)，0，a)，B(eq r(3)，0,0)，E(eq r(3)

7、，b,0)，F(0，c,0)eq o(AE,sup6()(0，b，a)， (eq r(3)，0,0)，(0，b,0)，所以eq o(AE,sup6() = 0， = 0，从而CBAE，CBBE.所以CB平面ABE.因为CB平面DCF，所以平面ABE平面DCF.故AE平面DCF.知识点三利用向量方法证明垂直关系（1）线线垂直：设直线、的方向向量分别为、，则（2）线面垂直： 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则；由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。（3）面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量；由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的

8、一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直.例3在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得平面.解：建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)设M（2，2，m），则 =（1，1，0），eq o(B1E,sup6()=（0， 1， 2）， =（2，2，m2）. 平面EFB1， EF，B1E， = 0且eq o(B1E,sup6() = 0，于是(ysh)m1，故取B1B的中点(zhn din)为M就能满足D1M平面(pngmin)EFB1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线

9、与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行练习：1在正方体中，是棱的中点，试在棱上求一点，使得平面平面.2在正三棱柱中，. 求证：.证明建立空间直角坐标系C1xyz，设ABa，CC1b.则A1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(a,2)，0)，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(1,2)a，b)，C1(0,0,0)于是 =eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)a，f(1,2)a，b) =（0， a，b），eq blc(rc)(av

10、s4alco1(f(r(3),2)a，f(a,2)，b).B1CA1B， eq f(a2,2)b20,而eq f(3,4)a2eq f(1,4)a2b2eq f(a2,2)b20 即AC1A1B.课堂小结：1用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)建立适当的坐标系(2)设平面的法向量为n(x，y，z)(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(4)根据法向量定义建立方程组eq blcrc (avs4alco1(an0,bn0).(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2平行关系的常用证法eq o(CD,sup6().证明线面平行可转化为证直线的方向

11、向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行3垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化(zhunhu)为对应的向量垂直要证线面垂直(chuzh)，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直要证面面垂直，可以转化为证明(zhngmng)两个平面的法向量垂直一、选择题1. 已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把按向量a(2,1,1)平移后所得的向量是()A(4，3,0) B(4，3，1)C(2，1,0) D(2，2,0)答案B(4，3，1)平移后向量的模和方向是不改变的 2平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面

12、的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D不能确定答案C解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直3从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为()A(9，7,7) B(18,17，17)C(9,7，7) D(14，19,31)答案B解析 ，设B（x，y，z），=（x2，y+1，z7）=（8，9， 12），0.故x2=8,y+1=9,z7=12，又（x22+（y+12+（z72 = 342，得（17）2 = 342，0,=2.x = 18,y = 17,z =17,即B（18，17， 17）.4已知a(2,4,5)，b(3，x

13、，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yeq f(15,2)Cx3，y15 Dx6，yeq f(15,2)答案D解析l1l2，ab，则有eq f(2,3)eq f(4,x)eq f(5,y)，解方程得x6，yeq f(15,2).5若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交(xi jio)答案(d n)B解析(ji x)u2a，au，l.二、填空题6已知A(1,1，1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，

14、f(2,3)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2,3)，f(2,3)解析， =（1，2，2），| | = 3 .模为1的方向向量是,7已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_答案xyz0解析 e=（x，y，z）（1，1，1）= x+y+z = 0.8若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，3，2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是_答案(1,4，5)(答案不唯一)解析设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n(x，y，z)，

15、a与b的方向向量分别为n1，n2，由题意得eq blcrc (avs4alco1(nn10，,nn20，)即：eq blcrc (avs4alco1(xyz0，,2x3y2z0.)解之得：y4x，z5x，令x1，则有n(1,4，5)三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以 =（0，2，1）， =（2，0，0）， =（0，2，1）.（1）设n1=（x1 , y1 , z1）是平面ADE的法向量,则n1 ， n1，即 得令z12，则y11，所以(suy)n1(0，1,2)因为(yn wi)