高等数学课件极值与最值

1、一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值第十节多元函数的极值及其求法第九章一、 多元函数的极值定义: 若函数f (x, y z f (x, y, y) 的某邻域内有在点或xf, y) fx)(, y)则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.z例如 :z 在点(0,0) 有极小值;在点(0,0) 有极大值;yyz yx在点(0,0) 无极值.x函数 z 定理1 (必要条件)f (x, y) 存在在点偏导数, 且在该点取得极值 , 则有f x(xf y (x, y在点, y, y证: 因z f (x,) 取得极值, 故在 x x0(xy

2、0取得极值x0y) 在y y0 取得极值据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点.但驻点不一定是极值点.例如, z yx有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.z f (x, y) 的在点定理2 (充分条件) 若函数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,f x (x(, y,ff y (x(x, yA ff(xy令A0 时取极小值.则: 1) 当AC B2当AC B2当AC B20 时, 具有极值 0 时, 没有极值. 0 时, 不能确定, 需另行.证: 由二元函数的公式, 并注意, y )h2 kf x (x, y, f y (x, yzh(y

3、 k f (xy kf (x则有 1 fxx2(x 2 fhk k连续k 2 所以 (f(y由于 f (,的二阶偏导数在点(x0 (x0 (x0 k k k A B C ff f000其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 , 于是2hk Ck 22k k 2 1 z 1A2122( 2o(k), kz 的正负号可由,很小时,因此当(确定(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号,( Ah2 ( Ah B1A1 Q(h, k ) ABhk ) BBAk2 ) ( AB) kA时(h, k ) 0, 从而z0 , 因此 f (x见, 当y可(有极小值;在点(h

4、, k) 0, 从而z0, 因此当时(y在点(有极大值;(2) 当 ACB2 0 时,1若A , C不全为零, 无妨设 A0,Bk 2 ) 2k 2 Q(h,) (h C 则Ax x0 ) B( y y0 ) 0 接近当(x,时, 有hA当(x故 Q(h(,)沿直线 Bk ,0沿直线故 Q(h与接近异号;,)时, 有 k ,0y0y与同号.可见z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,(,(y无极值因此在点ox若 AC 0 , 则必有 B0 , 不妨设 B0 , 此时2 hk Ck 2 2Bhk AkQ(h, k对点(y, 从而z ,0, 从而z ,0(, k, k当kh当kh同号时异号时y可

5、见z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,(,(y无极值因此在点(3) 当ACB2 0 时,若 A0, 则 Q(h,o(x21k) h Bk可能Ak 2为零或非零Q(h若 A0 , 则 B0 ,+(xy此时(h, k o 2 ) 1)2的正负号由 o( 2时, 因为Q(h,确定因此不能断定(x0 , y0) 是否为极值点 .第十录上页下页返回结束y x3 y3 3例1. 求函数 f (xx 的极值.解:第一步求驻点.x22x 9 0f x (xyy解方程组 0f(xy得驻点: (1, 0) ,第二步 判别.(1, 2) , (3, 0) ,(3, 2) .求二阶偏导数(x,) fyy(x,

6、y (x, y) x f,fxx,在点(1,0) 处 A B ,0C ,6A ,022C (1, 02 0, f 为极小值;ABCA 12, B 0C 在点(1,2) 处22 6) 0, f (1C ) 不是极值;在点(3,0) 处 A 2B ,0C ,62 0, 2f, 0)不是极值;C A 12 ,B 0C 在点(3,2) 处22 6) 0, A ,0C f (3, 2 3为极大值.(x,) fyy(x, y (x, y) x f,fxx,CBAz 2在点(0,0)及 z 例2.函数是否取得极值.解: 显然(0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有AC B2 0zo xz 正

7、负 0在(0,0)点邻域内的取值y, 因此z(0,0) 不是极值.可能为2 z0(z 0当时,0)2(0,0) (y为极小值.因此0(,0)二、最值应用问题依据最值可疑点 驻点 边界上的最值点特别, 当区域最值存在, 且只有一个极值点P 时,)(为最小(大)值)(为极小(大) 值函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值积为2 m3的有盖长方体水例3. 某厂要用铁板做一问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?2,m解: 设长,宽分别为 x , y m ,则高为yx则所用材料的面积为 x 0 22yx2yxA 2x yyx y 0yx 2 2 2 0 0 xx2得驻点 (2)令

8、 2 yy 2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为32高为2 3 2 时,所用材料最省.例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,积最大.解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 ,问怎样折法才能使断面面则断面面积 x sinsinA24 1 (2 2cos 4 ) x为2cion2s 24sxi(: 0 12,2 xx4 24xAx24sin4co2ssinxcossinx2 sin0) 令x22cosA 24xx(cos0 0 x , 0cossin 2cos1224解得:0co(scosx

9、8 sin(cm)2D0 , 603由题意知,最大值在定义域D 而在域内达到,D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.24 A sxcino2ssin (: 0 12, 2三、条件极值无条件极值:极值问题条件极值 :对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法:方法1代入法.例如,在条件) (xy (,求函数的极值下从条件(,中解出,求一元函数 z f ()的无条件极值问题转化方法2在条件日乘数法.例如,) (x, y(求函数的极值下如方法 1 所述, 设 (x, yf (y x,可确定隐函数,z 则问题等价于一元函数极值点必满足)的极值问题,故d zd y 0d

10、 xd x因d y x , 故 x 0有yx y yd xf yf x 记xyf x x 0f (x, y 0极值点必满足 0 0F Fx引入辅助函数f (x, yx, y)f 则极值点满足:FyF 0日( Lagrange )函数. 利用辅助函数F 称为日乘数法.朗日函数求极值的方法称为日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.在条件 (x, y, z例如, 求函数 u f (x, yz, (x, y, z 下的极值.z 1 (x, y 2 (x, y 0 2 y 0 z 0F f (x, yzz设f 1 f 1 f z zFx Fy Fz 解方程组F 01F 01到条件极值的可疑点

11、.推广的长方体开口, 试问例5.要设计一个容量为V0长、宽、高等于多少时所用材料最省？解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,z 使在条件 xyz V0 下最小.S 2xz yzxy表面积F 2(xz yz xy xyz V0 )令zFx 2z z 0z 0 xy yx 2z FyFz解方程组 2(x yF xyz V0 00 , 43x y 3得唯一驻点2V0V0 ,由题意可知合理的设计是存在的, 因此, 当高为长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.思考:34zyx1) 当封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?x y 3提示: 利用对称性可知,02) 当开口最省

12、, 应如何设底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价日函数? 长、宽、高尺寸如何?z yz 2 xy 2xyz V0提示:长、宽、高尺寸相等 .1. 函数的极值问题利用必要条件在定义域内找驻点.第一步如对二元函数 z f (xy, 即解方程组 f x (, y y (第二步利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .函数的条件极值问题简单问题用代入法(2) 一般问题用日乘数法内容小结在条件 (x, y如求二元函数 z 下的极值,f (xy (xF y 0 0设日函数Fxf (xyf Fy 求驻点 .解方程组F 03. 函数的最值问题第一步第二步找目标函数,判别确定定义域 ( 及约束条件)比较驻点及边界点

13、上函数值的大小根据问题的实际意义确定最值已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),22 10() 圆周上求一点 C, 使试在椭圆49ABC 面积 S最大.AyDB解答提示:设 C 点坐标为(x , y), 1CS 则 ABAC2oxEk00121212, 0,1(0)1思考与练习22) 2(y 1(1 设日函数)49) 2 x 02(19) 2 y 06(1解方程组4221 04934yx, 对应面积S 1.646得驻点55 2.5, 比较可知, 点 C 与 E 重合时,而DC三角形面积最大.备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则 z 0, z 0它们所对应的三个三角形面积分别为2 sin z2sin2sin 1 1 1x, 2yz sin, 31222x y z( 函数sincosx sin