高中数学联赛一二试及详解高清审批稿

1、高中教学张赛一二试及详解高清YKK standardization office YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK1810,设用,占,匕是非负实数，满足马+匕=1，求(内+3占+5X3)(玉+自+11.设复数满足Re(ZI)0, Re(z2)0,且Re(z：) = Re(z；) = 2 (其中Re表示复数z的实部).(1)求Re(ZR2)的最小值；(2)求 + 2| + q + 2 -哥Z2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在AA8C中.AB = AC, /为A43C的内心，以A为圆心，A3为半径作圆口，以/为圆心，为半径作圆口，过点8的圆心与分别交于点P

2、,Q （不同于点B） .设/P与8。交于点 证明：BRLCR二.设数列包定义为4=1, = 12-，求满足巴32。|7的正整数,的个 口一“4 ，数.三.将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边，试求分隔边条数的最小值.四,设7,均是大于1的整数，在，4,如，是个不超过 ?的互不相同的正整数，且2叫，”互素证明：对任意实数x,均存在一个使得血M之前工卜|,这里帆表 示实数y到与它最近的整数的距离.4.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.答案解：由条件知，/(3+ 14) = . I?) =/=),

3、所以/(-100) = /(-100 +14 x 7) = /(-2)=-/ log/ 22.答案：解：由于厂一1 Zcos.rI 1. 3 放了 JL 6卜I /-rbI X1I 1f由 COS可矢口，X- COS V-.K一一 (f+l)-222a c(有最小值1(这时y可以取三)：当丫 = 时，、 心】因此当.丫 = |时,cos 有最大值人.I(这时y可以取汽),由于:(工十lf-1的值域是-1,6 + 1,从而x-cosy的取 值范围是-L 6+1.3.答案:手.解，易知工(3,0),尸(0, 1).设P的坐标是(3cos伍 而疑冲，9W 0, 1卜Sw，F = Sw I 烟而sin

4、。I JlNos。2其中 p - accian ) 当=arctail10.即 9 g,I S】nJ=-ySin伊十中)而时，四边形0T尸尸面积的最大值为士.答案：75.解：考虑平稳激赢.若/ = 0,则。=1, CWO,1有2个平稳数.若占=1,则aWE,2,cW02，有2x3 = 6个平稳数.若力08,则%cWT,b+l,有7x3x3 = 63个平稳数.若b = 9,则%c8,9,有2x2 = 4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75.5.答案:10解：设工区尸。的中点分别为则易证平而月就是平面a.由中线 长公式知Af | JC-I T )242所以 KM

5、 =J/-W =3v510At/h又易知直线夕C在平面。上的射影是直线MK,而CW = 1, KC=5，所以Kf 4- MC - K（ cosZAA/C -2KM - XfC故棱尸C与平而Q所成角的余弦值为些.106.f 4答案：.解：易知K中有9个点，故在A中随机取出三个点的 方式数为C； = 84种.将火中的点按右图标记为4,4,4，。，其中有g 对点之间的距离为右.由对称性，考虑取44两点的情 况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8 = 56个三点 组（不计每组中三点的次序）.对每个4 = 1,2,8）, K中恰有4卬4=两点与之距离为 （这里下标按模8理解），因而怡有14,4-3，

6、4-5$ # = 1,2,8）这8个三点组被计了两次.从而满足条件的三点组个4.04数为56-8 = 48,进而所求概率为竺=二，84 77.答案：-1-1.解：由条件知，Af -AB-V AC, AN - - AB一一AC,故 2,44而疝-+珂萍+ ：可-;仲可+同-4M.可.由于 JT = S，1tBe = AB|, |.,C| sin A =|j| , |/4C|,所以 AZ?| - J( | - 4,进一步可得。./o 一卜44冈cos/l - 2, 从而7m / L i 2 0可 7? .4瓦.工LAli JC AB-AC 6 . 1.41当网=指 国=2 乂打时，石下的最小值为6

7、I.438.答案：13, 20.解：由条件可知：，2，4均为正整数，且(mod34i.另一方而，注意到q小,有554 34n, + 21q512匕，故S ! ?r/,V155 1当打一 1时，分别化为/ _ 26(niod34). 4当，无解.当2时，分别化为4 52(mod34k 4cH，得到唯一的正整数 % 18,比时 & 十 九- 20.当“一3时，分别化为 78(mod34)./ ,得到唯一的正整数 55q 10,比时 4 + - 13.综上所述，/+的所有可能值为13, 20.9.证明：令/(.丫)=/一日一加，x E a, b,则/(x) W-l, 1,于是f (a) = az -

8、 ka - m f(b) = h2-kb-m 一2 一4分由十一2x知，(a) + f -2 d等)w 4, 故b-ag2016分10.）解：由柯西不等式(七 + 3x, + 5.x3)(.r, +申 + ) 2 (百百 +=(x + x2 + x3 r = H当七=1,七=0,均=0时不等式等号成立，故欲求的最小值为1.因为区+ 3x, + 5w）区+申+5）=* + 3- ，H - = Re(z；) = 2 . 因此Re(zRz)= Rex1 +y 1)(受 +”i)=天三 一”=+2)( + 2) 一乂必 2 (|片J； I + 2 - y必2 2 .又当z： = Z2=近时，Re(vJ

9、 = 2.这表明，Re(z0)的最小值为2.5分(2)对k = I,2,将分对应到平面直角坐标系xQy中的点弓(%,元),记g是 区关于x轴的对称点，则尼耳均位于双曲线。：-产=2的右支上.设席后分别是C的左、右焦点，易知”(一2,0),凡(2,0).根据双曲线的定义，有忆月=忸月| + 2日,|绘| =.勾+ 20,进而得|4+2| 一区+ 2卜区-2/=|4+ 2|+区+2卜卜司=|用|十|E司-忸司=4近十出国+ |次|-归闾24历， 15分 等号成立当且仅当5位于线段8上(例如，当4=Z2 = 2 + VIi时，片恰是 的中点).综上可知，,+2|+ W + 2卜三一zj的最小值为4企

10、. 20分2017年全国高中数学联赛A卷二试答案证明：连接法 IC. J0+ PBPC.由于点。在脚匚上，故出=碌.所以/畋=/侬.乂&, / . P, 0 四点共圆，所以,N/QH = 1PBt 中是 IBQ = 1PB. 放 NRRsNRR.从而有N/R4N/5P.旦IB IP 7r7b1 注意到” 二 .“，且/为a46r的内心故/6=/C.所以IC TP 7r7c 于是 3/C/s a/KC,故 ARC = 4cp.70分20分又点产缶陨IG的弧AC上.故尸c = ixcr-wZJ.因此乙BRC = 4RB 4 RC = ZAffF+Z/CP= 360 - N/C NAPC=36CT

11、( 00 +乙4)(1 KO* /SI=W.故 BRL CH .40分解；由数列的定义可知假设对某个整数厂22有q=一我们证明 对/ =1,r 有。.I =2r + f-l r + 2L 勺m =r-，r- alt2 =a, -(r + l) = 2r-(r-4-l) = r-1 + +21) =/-* + +2f = 2r + , r + 2z +1 r生力c =ri - (r + 2f+ 1) = 2r + /-(r + 2/ + l) = r-f-l r + 2/ + 2即结论对f + 1也成立.由数学归纳法知.对所有，= 1.2.,厂-I成立，特别当 i = -1 时r 有=1 ,从而

12、= wSr_2 + (3/*-2) = 3r-1.若将所有满足与 =厂的正整数，从小到大记为不小，则由上面的结论可知(=Lq = 2. 97=3与-,左=2,3,-“20 分由此可知.匚 1Jr I.h，从而由千公1* = 三4 人偶数均满足与入其中的叫数比奇数少1个.因此满足吃 r 33m 的正整数，的个数为l2017 -2018-1) =3刈 丁 201940分解：记分隔边的条数为心.首先,将方格纸按如图分成三个区域,分别染成三10分种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即2 = 56.下面证明LN56.将方格纸的行从上至下依次记为.列从左至右 依次记为4,冬,，23.行4中方格

13、出现的颜色数记为“（4）列优中方格出现的颜 色个数记为（耳）.三种颜色分别记为qgg.对于一种颜色匕，设）是含有c, 色方格的行数与列数之和.记 1ab A 2 J363 38 故/（c ）39, j = l,2,3.20分由于在行4中有（4）种颜色的方格,因此至少有（4）-1条分隔边.同理在列 生中，至少有（耳）-1条分隔边.于是/ 5-1) + 2 5(8 )-1) =| TOC o 1-5 h z = gs(4Hm8J)-66r=! 3=X (c, ) -66./ 30分下而分两种情形讨论.情形1：有一行或一列全部方格同色.不妨设有一行全为6色，从而方格纸的 33列中均含有q色的方格,由

14、于q色方格有363个,故至少有11行中含有q色方 格.于是(G)11 + 33 = 44.由，及即得L (。) + 力(6)+ n(cy) - 66 44 + 39 + 39 - 66 = 56 .40分情形2:没有一行也没有一列的全部方格同色.则对任意1433,均有“(492, n(B,)2.从而由知33L 22(4)+ (瓦)-66233x4-66=66)56.综上所述，分隔条数的最小值等于56.50分证明：首先证明以下两个结论.结论1 存在整数弓心,q ,满足+仁4 += 1 ,并且|qKm，1 4 i 4 .由于,q） = l,由裴蜀定理，存在整数g，c?,q,满足G4 +c2a2 + + c.a. = 1.下而证明.通过调整，存在一组G，q,满足,且绝对值均不超过切.记Si（qg,。）=2，20,sgj，q）= 2 1,巨。如果S0,那么存在71,于是C1,又因为M均为正数，故由可知存在J0.令ci = q - a,，Cj =Cj + ,，ck k n k * i, j则c；q + c；/ + + can = 1 并且 0 4 /n 一 叫 V c： q, c, c； 5 & m .因为 G G 且 c； vm ,所以 SiG ,匕,c： ） cj 及c；o,故E（qq,qj4s2（G,q,、q）如