理论力学07点的合成运动

1、1 71 点的合成运动的概念 72 点的速度合成定理 73 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 74 牵连运动为转动时点的加速度合成定理第七章 点的合成运动2运动学相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成合成运动。37-1点的合成运动的概念一、坐标系1. 静坐标系 把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。2. 动坐标系 把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。运动学二、动点 所研究的运动着的点。4三、三种运动绝对运动：动点相对于静系的运动。相对运动：动点相对于动系的运动。例如：车轮边缘点P相对于汽车的圆周运动。牵连运动：动系相对

2、于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。 动点相对于静系的速度称为绝对速度。点的运动刚体的运动运动学动点相对于动系的速度称为相对速度。1. 绝对速度四、三种速度2. 相对速度5四、三种速度 3牵连速度 动系上与动点重合的点（牵连点）相对于静系的速度。 运动学1. 绝对加速度： 动点相对于静系的加速度。2. 相对加速度： 动点相对于动系的加速度。3. 牵连加速度： 动系上与动点重合的点（牵连点）相对于静系的加速度。 五、三种加速度牵连运动牵连速度牵连加速度动系动系上特定点牵连点可能是虚点6举例说明：六、动点动系的选择原则动点、动系必须分别属于两个不同的物体。动点相对动系有相对运动，且相对运

3、动轨迹已知或易于直观判断。一般选择对两个坐标系都有运动的连接点为动点。运动学动点：动系：静系：牵连点：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上因相对运动，不同瞬时牵连点不同7运动学相对运动：牵连运动：曲线运动直线平动绝对运动：直线运动8运动学绝对速度 ：相对速度 ：牵连速度 ：9绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：运动学10动点：A（在圆盘上)动系：摆杆绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动运动学动点：A1（在 摆杆上)动系：圆盘绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动11动点：AB杆上的A动系：偏心轮绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动注 要指明动

4、点应在哪个物体上，但不能选在 动系上。运动学动点：在偏心轮上的A动系：AB杆绝对运动：圆周（红色虚线）相对运动：曲线（未知）牵连运动：平动12思考运动学137-点的速度合成定理 速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。运动学xyOxyABMtxyABM1Mt+D t绝对位移:相对位移：t t+tAB ABM MM M M牵连位移：14运动学xyOxyABMtxyABM1Mt+D tt t+t 两边同除以t ，取t 0 时的极限：点的速度合成定理vavrve在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。15说明：va动点的绝对速度；vr动点的相对速度；ve动点

5、的牵连速度，是动系上一点（牵连点）的速度 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 动系作转动时，ve 必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 六个元素，已知任意四个元素，可求出其他两个。 运动学与牵连运行形式无关16运动学例1 桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为vh，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。h解：选取动点: 物块A动系: 小车相对运动: 直线;牵连运动: 平动; 绝对运动: 曲线;由速度合成定理：大小：方向：vvh？vavevrq17动点：OA杆上A点动系：固连在摆杆O1B上 （ ）运动学例2 曲柄摆杆机构已知：OA

6、= r , , OO1=l图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1大小：方向：O1B ？r OA？O1B 解：18动点：直杆上A点动系：固结于圆盘运动学例3 圆盘凸轮机构已知：OCe , , （匀角速度）图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。求：从动杆AB的速度。解：大小：方向：AB ？已知 CA？OA19求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。 作速度平行四边形。 根据三角函数关系，求出未知量。恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。运动学大小：方向：？ ？ 大小：方向：？ ？ 动点、动系的选择原则： 动点、动系必须分别属于二

7、个不同的物体。 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断。20运动学例 已知: 凸轮半径r , 图示时 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。动点：直杆上B点动系：固结于凸轮解：大小：方向：？v ？OABwvave？绝对运动: 圆周运动 相对运动: 曲线运动 牵连运动: 直线平动21分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，如选两物体的接触点为动点，相对运动的分析较困难。这种情况下，选择非接触点为动点更为方便。运动学例 已知: 凸轮半径r , 图示时 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。22取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 绝对运动: 直线运动 相对运动: 直线运动 牵连

8、运动: 定轴转动运动学大小：方向： ？v /OA？解:xyvavrvew23运动学例5 曲柄滑块机构,已知： ; 求: 该瞬时 杆的角速度。h;图示瞬时解：动点: O1A上A点动系: 固结于BCD上绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平动大小：方向：rw1O1A？vavevr24动点：BCD上F点动系：固结于O2E上绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，）（运动学大小：方向：knowO2E？O2EveFvaFvrFvavevr2257-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理速度合成定理：运动学 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线

9、AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。由于牵连运动为平动，故:ABMvavevr26对t 求导：运动学（其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）27运动学牵连运动为平动时点的加速度合成定理 当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。一般式可写为：大小：方向： ？ ？ ？ 28动点：杆上的A点动系：与凸轮固连运动学例1 已知：凸轮半径 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。大小：方向： ？v0 CA？解：29运动学大小：方向： ？a0 CA？knowAC将上式投影到CA上，得整理得注 加速度矢量方程的投影是等式两

10、端的投影，与静平衡方程的投影关系不同30解： 动点：OA杆上 A点 动系：固结在滑杆上例2 曲柄滑杆机构运动学已知: OAl , j = 45o 时，w, a ; 求：小车的速度与加速度a绝对运动：圆周运动相对运动：直线运动牵连运动：平动大小：方向： lwOA？vavevr31投至 x 轴：，方向如图示牵连平动的加速度合成定理运动学大小：方向： lw2OA？laAOa327-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理运动学 设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？ 当牵连运动为转动时， 是否还适用呢？3

11、3速度合成定理：运动学动点：M动系：固结在圆盘上牵连运动：匀速转动相对运动：匀速圆周运动绝对运动：曲线运动ve即绝对运动也为匀速圆周运动。34运动学veaearaa当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。多出一项：2 vr ，怎样出现的呢？35运动学三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+Dt 瞬时在位置II 可以看出，经过Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。 设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。36运动学相对速度：在Dt内相

12、对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变量，与牵连转动的 的大小有关 。 Dt 时间间隔内的速度变化分析由 作速度矢量三角形在 矢量上截取 长度后， 分解为 和vrvrDvrDvr37运动学表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。表示 Dt 内由于相对运动而引起的动点的牵连速度大小改变量，与相对速度有关。牵连速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取等于 长后，将 分解为 和 ，38运动学加速度分析：vrvrDvrDvr39因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。运动学加速度分析：上式中各项的物理意义如下：第一项大

13、小：Dt 0时，D 0 , 其方向沿着直杆指向O点。 方向：40运动学加速度分析：第三项大小： 方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是瞬时动点的相对加速度。为对应于 大小改变vrvrDvrDvr41运动学第二项大小：该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。vrvrDvrDvr42运动学所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里

14、奥利加速度，简称科氏加速度。大小：方向： ？ ？ ？ 43运动学方向：按右手法则确定。 一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示44DABC点M1的科氏加速度:运动学例1 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。点M2 的科氏加速度：方向垂直板面向里。解：45解：运动学例2 曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。vavevr大小：方向：？rw1 O1A？O2AO2Aa

15、46方向：与 相同。运动学vavevr47解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 。 绝对运动: 直线; 相对运动: 曲线; 牵连运动: 定轴转动; 运动学例3 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。大小：方向： ？rw n？vavrve48运动学大小：方向：？0 AO？nknow know know n-n向 n 轴投影：aaartarnakae49例4 摇杆滑道机构动点:销子D (BC上)动系: 固结于OA已知 求: OA杆的 , a 。运动学解：大小：方向： vOA？AOvavevrw50投至 轴：（）牵连转动

16、的加速度合成定理运动学大小：方向： lw2OA？aAOvavevrwa2wvrAOOA51一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时运动学点的合成运动小结52运动学二解题步骤1. 选择动点、动系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。4. 加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。53运动学 三解题技巧1. 恰当地选择动点、动系, 应满足选择原则，具体地有：两个不相关

17、的点，求二者的相对速度。根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动坐标系。运动刚体上有一动点，点作复杂运动。该点取为动点，动系固结于运动刚体上。机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结于凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。54运动学 特殊问题, 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而 变化. 此时, 这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满 足前述的选择原则的非接触点为动点。2. 速度问题, 一般采用几何法求解简便, 即作出速度平行四边形；加速度问

18、题, 往往超过三个矢量, 一般采用解析（投影）法求 解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。55四注意问题 1. 牵连速度及牵连加速度是牵连点的速度及加速度。 2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ，正确分析和计算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。 4. 圆周运动时， 非圆周运动时， （ r 为曲率半径）运动学56解: 取凸轮上C点为动点， 动系固结于OA杆上， 绝对运动: 直线运动， 相对运动: 直线运动， 牵连运动: 定轴转动，已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上; 已知;求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。例1 凸轮机构运动学大小：方向：vOC？/OAvevavrw57投至 轴：转向由上式符号决定，0则，0 则运动学大小：方向： OCw2OC？aCO0/AO58例2 刨床机构已知: 主动轮O转速n=30 r/minOA=150mm , 图示瞬时, OAOO1求: O1D 杆的 1、a1 和滑块B的 。运动学59运动学）(解：动点：轮O上A点动系：O1D大小：方向：knowO1A？O1A60投至方向：）(运动学大小：方向：AO knowO1A？knowAO1AO1O1Aknow61运动学动点:滑块