数字信号处理课件第1章

1、1第1章 时域离散(lsn)信号和时域离散(lsn)系统1.1 引言(ynyn)1.2 时域离散信号1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程1.5 模拟信号数字处理方法共九十五页21.1 引言(ynyn)信号(xnho)通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号，如图像。本门课程仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本课一般地把信号看作时间的函数，又称序列。本章作为本门课的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统

2、的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。共九十五页3各种各样( zhn yn)的信号a)声音波形；b)气温c)地震波；d)金属表面粗糙度；共九十五页4图像(t xin)信号的表达共九十五页1.2时域离散(lsn)信号对模拟信号xa(t)进行等间隔(jin g)采样，采样间隔(jin g)为T，得到(1.2.1)xa(t)t=nT= xa(nT),这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。为简化，采样间隔可以不写，写成x(n)信号，x(n)可

3、以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。这里n取整数，非整数时无定义，即x(n) = xa(nT), (1.2.2)5共九十五页6信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果(rgu)x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1在MATLAB里，用一个适当的行向量来表示一个有限长序列，然而这样一个向量并没有任何有关样本位置n的信息，因此(ync)x(n)的准确表示要求有两个向量：一个对x，一个对n。 n=1,2,3,4,5,6; x=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1;共九十五页(n)

4、 = 1.2.1 常用的典型序列1. 单位(dnwi)采样序列(n)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同(b tn)的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。7(1.2.3)1, n = 00, n 0共九十五页8101231n (n) (t)t0( a )( b )图1.2.1单位(dnwi)采样序列和单位(dnwi)冲激信号(a)单位采样(ci yn)序列；(b)单位冲激信号共九十五页9function x,n=impseq(n0,n1

5、,n2)% generates x(n)=delta(n-n0); n1=n=n2例n=n1:n2;x=(n-n0)=0;x,n=impseq(0,-3,4);stem(n,x)-2-1012340-3共九十五页U(n) = 102. 单位阶跃序列(xli)u(n)单位阶跃序列如图所示。类似于模拟信号中的单位(dnwi)阶跃函数u(t)。0123u(n)1n1, n 00, n 0（ 1.2.4)共九十五页u(n) =(n-k) (m)11(n)与u(n)之间的关系(gun x)如下式所示：(1.2.5)(1.2.6)(n)=u(n)-u

6、(n-1)k=0令n-k=m，代入上式得到(d do)nm=u(n) =(1.2.7)共九十五页12-2-1012340-0.20.1function x,n=stepseq(n0,n1,n2)% generates x(n)=u(n-n0); n1=n=0;0.9例x,n=stepseq(0,-3,4);stem(n,x)共九十五页RN (n) = 133. 矩形(jxng)序列RN(n)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图所示。矩形序列可用单位(dnwi)阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N )(1.2.9)（

7、 1.2.8)1, 0 n N 10, 其它n共九十五页0123R4(n)1n图1.2.3 矩形(jxng)序列14共九十五页154. 实指数(zhsh)序列x(n)=anu(n)， a为实数(shsh)如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图所示。例n=0:10;x=(0.9).n;stem(n,x)共九十五页16图1.2.4 实指数(zhsh)序列共九十五页175. 正弦(zhngxin)序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻(xin ln)两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么xa(

8、t)=sin(t)xa (t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)共九十五页因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字(shz)频率与模拟角频率之间的关系为=T(1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样(ci yn)频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：fs =(1.2.11)*数字域频率相当于模拟域频率对采样频率取归一化值。18共九十五页19例n=0:10;x=3*cos(0.1*pi*n+pi/3)+2*sin(0.5*pi*n);stem(n,x)x(n) = 3cos

9、(0.1n+ / 3)+2sin(0.5n) 0 n 10246810-503210-1-2-3-4共九十五页20(2+3j)n例 x(n) = e, 0 n 10n=0:10;x=exp(2+3j)*n);6. 复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式(dngsh)成立：+2M)n j共九十五页217. 周期(zhuq)序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n=min(n1)&(n=min(n2)&(n=min(n

10、1)&(n=min(n2)&(n0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，序列右移；n x=3,11,7,0,-1,4,2; h=2,3,0,-5,2,1; nx=-3:3; nh=-1:4;y,ny=conv_m(x,nx,h,nh)y=6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 821ny =-4 -3 -22 3 4 5-1607共九十五页531.3.4 系统的因果性和稳定性如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因

11、果性，系统无法实现，则系统被称为(chn wi)非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0， n0(1.3.13)共九十五页54满足(1.3.13)式的序列(xli)称为因果序列(xli)，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件(1.3.13)式从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件(1.3.13)式。输出的变化不能发生(fshng)在输入之前。注意：判断因果性应将输入和其它函数区分开来：y

12、(n) = x(n) sin(n+2)共九十五页图1.3.5 非因果(yngu)系统的延时实现55nn1nnx(n)0 1 2（a ）y(n)1321n321 1 0 1 2 3（d ）0 1 2 3（e ）h(n)11 0 1（b ）y(n)h(n)0 1 2（c ）共九十五页 h(n) 所谓(suwi)稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为有界输入(shr)有界输出稳定(BIBO)56n=(1.3.14)共九十五页x(k)此，求和(qi h)限为kn，所以例1.3.7 设系统的单位取样(qyng)响应h(n)=u(n

13、)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解 h(n)=u(n) y(n)=x(n)*h(n)= k = x(k)u(n k)因为当n-k sum(abs(h)ans =14.8785为了(wi le)确定系统的稳定性，必须对所有的n求出h(n),观察发现n120后，h(n)就为零了，所以用sum函数求和，意味着系统稳定。62共九十五页h(n)s(n)020406080100120-1-20Impulse Response10.50-0.50204060801001200-20nStep Response2.521.510.5n63共九十五页1.5模拟信号数字(

14、shz)处理方法模拟信号数字处理方法, 其原理框图如图1.5.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面(hu mian)介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)图1.5.1 模拟信号数字处理框图64共九十五页65从模拟信号到数字信号共九十五页661.5.1 采样(ci yn)定理及A/D变换器如下(rxi)图所示。对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 x a (t) 。 在理想采样的情况下，认为 0 ，则脉冲串变为单位冲击串，即 P (

15、t) P (t)电子开关等效为一个宽度为 ，周期为T的矩形脉冲串 P (t)，采样信号 x a (t) 就是xa(t)与P (t)相乘的结果，共九十五页67图1.5.2 对模拟信号进行(jnxng)采样共九十五页 (t nT)x (t)(t nT)x (nT)(t nT)68上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能(knng)有非零值，因此写成下式：a n=n=P (t) =xa(t) = xa(t)P (t) =(1.5.1)an=x a(t) =(1.5.2)共九十五页 F( j) =F 1 2( j)( j)*F 2a (k )x(t) = X( j)e dX( j)

16、 = x(t)e dt在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个(lin )信号分别的傅里叶变换的卷积，按照(1.5.2)式，推导(tudo)如下：设 k s k=Xa( j) = FTxa(t)Xa( j) = FTxa(t)P ( j) = FTP (t)(1.5.3)按照(1.5.1)式P ( j) =f (t) = f1(t)i f2(t)12f (t) = f1(t)* f2(t) F( j) = F 1( j)iF2( j)1 jt2 jt式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒69共九十五页21 jkst(t) = (k )1 = k Xa s )d = k X

17、a s) j(k+T 1 T12= =( j)(k=(1.5.5)70sk=P e P( j) = FP (t) =k=T T共九十五页P (j ) (j )图1.5.3 采样(ci yn)信号的频谱710 ccXa(j ) s s0a c s（a ）（b ）（c ）（d ）20 s0 sXa2 ss2s s 在图1.5.3中，设Xa(t)是带限信号(xnho)，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如图所示。共九十五页720Xa(j )G(j )ya(t)0G(j )/ T/ T0图1.5.4 采样(ci yn)恢复Xa(j )（a ）（b ）（c ）（d ） xa(t)共九十五页73采样(ci

18、 yn)定理：(1)对连续信号进行(jnxng)等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间(shjin)波形起平滑作用.共九十五页85图1.5.10 零阶保持(boch)器的频率特性共九十五页图1.5.8 D/AC方框图86解码(jim)零阶保持(boch)平滑滤波x(n)xa(t)xa(

19、nT)xa (t)共九十五页87本章(bn zhn)作业P251.3.5. 1) 3) 5) 7)6. 1) 3) 5)11.上机作业(zuy)：2. 4.共九十五页第一章习题课1.已知系统输入(shr)x(n)和输出y(n)满足以下关系：y(n)=Imx(n)，讨论其是否为线性系统。解：1.可加性判断。令x1(n)为复数输入，x1(n)=r(n)+jp(n)则y1(n)=p(n)x2(n)为复数(fsh)，x2(n)=f(n)+jg(n)则y2(n)=g(n)所以 Tx1(n)+x2(n)=p(n)+g(n)=y1(n)+y2(n)故满足可加性。88共九十五页892.齐次性判断(pndun)

20、。令x1(n)=r(n)+jp(n),则y1(n)=p(n)令a=jax1(n)=jx1(n)=jr(n)+jp(n)=-p(n)+jr(n)Tax1(n)=T- p(n)+jr(n)=r(n)而 ay1(n)=jp(n)故不满足(mnz)齐次性，系统为非线性系统。共九十五页解：1）因为(yn wi) ，所以 0.2 =10 T = =902.判断(pndun)以下信号是否为周期性的。由于T为无理数，因此该信号为非周期信号。第1个信号的周期为24，第2个信号的周期为36，因此和的周期应该为这两个数的最小公倍数。T=721） x(n) = sin( +0.2n)2） x(n) = Ree jn /12+Ime jn /1822）x(n) = cos(n /12)+sin(n /18)共九十五页913.判断下列(xili)系统是否移位不变。1) y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)2) y(n)=x(n2)解：1) y(n-n0)=x(n-n0)+x(n-n0-1)+x(n-n0-2)Tx(n-n0)= x(n-n0)+x(n-n0-1)+x(n-n0-2)所以(suy)为移不变系统。2) y(n-