全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容

1、全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。4、几何不等式。5、简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。6、几何中的运动：反射、平移、旋转。7、复数方

2、法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。2、第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。3、n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，

3、非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。三、立体几何1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。3、体积证法。4、截面，会作截面、表面展开图。四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。2、二元一次不等式表示的区域。3、三角形的面积公式。4、圆锥曲线的切线和法线。5、圆的幂和根轴。五、其它抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题，如果：当n=l时，命题成立；假设当nWk时命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。那么，

4、命题对于一切自然数n来说都成立。2、棣美弗定理：设复数=(co+iin)，其n次方An=An(co(n)+iin(n)，其中n为正整数。3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。4、同余：两个整数a，b,若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作ab(modm)，读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余。比如214(mod12)【定义】设m是大于1的正整数，a,b是整数，如果ml(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作ab(modm),读作a同余于b模m.。有如下事实：

5、(1)若a0(modm),则mla；(2)ab(modm)等价于a与b分别用m去除，余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。例如,一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，0，1，2，3和4，5，-2，11是模4的完全剩余系。可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。7、高斯函数：f(x)=ae-(x-b)A2/cA2其中a、b与c为实数常数，且a0.8、费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1,那么aA(p-1)1(m

6、odp)假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等。9、欧拉函数：函数的值：通式：(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(1-1/pn),其中p1,p2pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)。若n是质数p的k次幕，(n)=pAk-pA(k-1)=(p-1)pA(k-1),因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数若m,n互质，(mn)=(m)(n)。特殊性质：当n为奇数时，(2n)=(n),证明于上述类似。10、孙子定理：此定理的一般形式是设m=m1,mk为两两互素的正整数，m

7、=m1,mk,m=miMi,i=1,2,k。则同余式组xb1(modm1),xbk(modmk)的解为xM1M1b1+MkMkbk(modm)。式中MiMi1(modmi),i=1,2,k。11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式)：若a,b是整数，且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、BDCEAFE、F且

8、D、E、F三点共线，则DCEAFB=1庁12、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上BDCEAF有点D、E、F,且满足DCEAFB=1，则D、E、F三点共线。13、塞瓦定理：设0是AABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、AMBNM，则MBNCCPPA14、塞瓦定理的逆定理:设M、N、P分别在ABC的AMBNCP,=1边AB、BC、CA上，且满足MBNCPA，则AN、BP、CM相交于一点。15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论2：设AABC三边长分别为a、b、c,对应边上中线长分别为mmbma、b、c111:

9、2b2+2c2一a22a2+2c2一b22a2+2b2一c2则：ma=2；mb=2；叫=216、三角形内、外角平分线定理：BD_AB内角平分线定理：如图：如果Z1=Z2,则有DCAC外角平分线定理：如图，AD是厶ABC中ZA的外角平分线交BC的延长线与D，BD_AB则有DCAC17、托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有ABCD+ADBC=ACBD18、三角形位似心定理：如图，若ABC与厶DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P19、正弦定理、2R（RABC外接圆半径）abc在ABC中有sinAsinBsinC余弦定理：a、b、cABC的边，则有：a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;C2=a2+b2-2abcosC;20、西姆松定理：点P是厶ABC外接圆周上任意一点，PD丄BC,PE丄AC,PF丄AB,D、E、F为垂足，则