著名不等式与竞赛题

1、人人（智启）教育个性化教案学生学校年级星期学科数学教师日期时段课题著名不等式与不等式证明教学目标 考点分析1,掌握一些著名不等式的证明方法，2,灵活运用均值不等式，3,积累方法，积累恒等变形技巧教学重点积累证明方法和恒等变形教学难点如何选择解决问题的方式教学过程我们来些可以用柯西不等式来证明的著名不等式：例 1, ai w R,bi 0,证明：22 +a22 , an2（ai +a? +. + an）2 b1b2bnb+b2+. + bn并给出等号成立的等价条件.（权方和不等式）例 2, ai w R, bi w R,证明：n 1 nn工 Jaj+b： “( a) h) i 4 i 工例 3,

2、设 x, y, z, a,b,c 0 ,证明x(b +c) + (c +a) + (a +b) ，3(ab +bc + ca) y+zz + xx + y以上三个例子都能用柯西不等式加以证明例 4,设 ai a2 . an,bi wth . bh ,证明a1a2. anb1b2.bna1bla2b2anbnnnn（切比雪夫不等式）切比雪夫同调数，均值积小积均值例 5,设a1a2.an.tib2. 0, p, q 1,十 一 = 1 ,则： p q HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1131bla2b2anbn_ (a1Pa；.a：)p(bqbq

3、.b：)q(赫尔德不等式)它还可以写成ama2b2anbn.尸：a2P.a：，bqbq.b：，() ()nnn即：哥均值的几何均值不小于积均值.它显然是柯西不等式的推广 .例 7,设 anh，g 0 ,贝U(a3 +a3 + + a：)(b3 +b； + + b；)(c3 +c3 +. + 端至(a1b1G +a2b2c2 + 十anHa)3(赫尔德不等式，另一形式)例 8,寸 x,y wa,b,t w(0,1),若函数 f :a,bT R 满足f(tx (1-t)y)0 ,证明abc1j上1Ja2 +8bcVb2 +8cavc2 +8ab(2001 年 IMO)提示：一种简单的途径是利用 A

4、M-GM等式先证明,x,y,z0 时有1333(x + y+ z)2 x2(x2 +8y4zz)获得局部不等式，然后得证.例 11, x, y,z 0,xyz 1，证明:525252x -xy -yz -z飞2-2-522十二22之0 x+y+z y+z+x z+x+y(2005 年 IMO)我们可以先两边都减去3,然后整理成等价形式：2,2,2 x+y+z -3bc1, p = 2(一个？a ba b c 3 -dab),q =3( abc)，贝U p与q中的较小者是哪10例 15,设 a,b, c 0,abc =1 a,b, c 0,abc =1,证明(a -1 +1)(b -1 +1)(

5、c -1 +) 1x -1y -1z-1并证明：存在无穷多组三元有序有理数组(x,y,z), x,y,z都不等于1,且xyz-1,使得此不等式的等号成立.(2008 年 IMO)12例17,求最小实数M,使得对所有的实数 a,b,c都有|ab(a2 -b2)+bc(b2 -c2) +ca(c2 -a2)| 2x(x R+)a5+b5 a3b2+a2b3(a,b R) a2+b22(a-b-1)其中正确白个数是()A.0B.1C.2D.3132.设 x,y R ,且 xy-(x+y) = 1,则()A.x+y 2( j2 + 1)B.xy & J2+1C.x+y 2( V2+1)3.设 M= a

6、+ 1 (2aNB.M= N4.设a,b,c C R+,则3个数A.都大于2C.至少有一个不大于 2a+ ,b+b=)(x e R),则M N的大小关系是()C.M0且pwq) q%后降息p%P q%后降息p q%2方案IV 一次降息(p+q)%在上述四种方案中，降息最少的是A.方案IB.方案n)C.方案出D.方案IV二、填空题.实数x = x-y ,则x的取值范围是:y.若abc,则不等式- + 成立的最大的k值为:a -b b。c a -c8.证明:n11(1 +, +) 1(1 +工+工) n 2 4 2n(n 2)14B组一、选择题1. x0 , f(x) TOC o 1-5 h z

7、/1 x 6t 61、(X 一 一)-(X，-6 )XX- , 求 f(x) 的值域.11、3 / 31 、(x，)- (x 1 3 ) XX.设 a,b,c R+, P= a+b-c , Q= b+c-a , 于零的()A.充分而不必要条件C.充分且必要条件.已知a,b R+,则下列各式中成立的是A.cos 2 0 lga+sin 2 0 lgb0 是 P、。R同时大B.必要而不充分条件D.即不充分也不必要 ()B.cos 20 1g a+sin 2 0 - lg blg (a+b)cos2 0, sin2 -、 ,D.a b - a+b TOC o 1-5 h z a aa4.设 a1a2a3 a2000a2001 ,m = + + + , n =a1 - a2 a2 - a3a2000 - a20014 106, 一4 ，则m与n的大小关系是a1 - a2001A.mnC.mw nD.rni n5.连结直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点所得的两条线段长分别为sin “和 TOC o 1-5 h z cos a (0 a bc,且 a+b+c= 0.)求证：此函数的图像与x轴交于相异的两个点.(2)设函数图像截x轴所得线段的长为l ,求证：J3 l2 J3.