高三数学知识点：抽象函数问题的求解策略

1、高三数学知识点：抽象函数问题的求解策略北京清华附中数学特级老师尹粉玉函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法那么。此类函数试题既能全面地考察学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证才能，又能综合考察学生对数学符号语言的理解和承受才能，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来讨论这类问题的求解策略。例：设y=蕊x是定义在区间-1，1上的函数，且满足条

2、件：if-1=f1=0;ii对任意的u,v-1，1，都有fu-fvu-v。证明：对任意的x-1，1，都有x-1fx1-x;证明：对任意的u,v-1，1，都有fu-fv1。解题：证明：由题设条件可知，当x-1，1时，有fx=fx-f1x-1=1-x,即x-1fx1-x.证明：对任意的u,v-1，1，当u-v1时，有fu-fv1当u-v1，uv0,不妨设u0，那么v0且v-u1,其中v0，1，u-1，0要想使条件起到作用，须在-1，0上取一点，使之与u配合以利用条件，结合f-1=f1=0知，这个点可选-1。同理，须在0，1上取点1，使之与v配合以利用条件。所以，fu-fvfu-f-1+fv-f1u

3、+1+v-1=1+u+1-v=2-v-u1综上可知，对任意的u,v-1，1都有fu-fv1.点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作构造上的变化，使所要证明或求解的问题的构造与的一样。如此题未给出函数y=fx的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f-1=f1=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在1的证明中，利用f1=0,把fx改写成fx=fx-f1;在2的证明中，利用f-1=f1=0，把fu-fv改写成fu-fvfu-f-1+fv-f1，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用

4、条件的时机，也创造理解决问题的捷径。另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一实在数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值如令x=1，y=0等，这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。与当今“老师一称最接近的“老师概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问?示侄孙伯安?诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。于是看，宋元时期小学老师被称为“老师有案可稽。清代称主考官也为“老师，而一般学堂里的先生那么称为“老师或“教习。可见，“老师一说是比较晚的事了。如今体会，“老师的含义比之“老师一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。辛亥革命后，老师与

5、其他官员一样依法令任命，故又称“老师为“教员。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们假如能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之成效，同时在运用这些策略时要做到亲密配合，相得益彰。来源：-环球时报宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学