试卷奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---完全四边形的性质及应用1

1、第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形.六个 点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线.F六点，即为完全四边如图9 1 ,直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于 A、B、C、 形ABCDEF .线段AD、BF、CE为其三条对角线.完全四边形中既有凸四边形、凹四边形，还有折四边形以及四个三角形.如图9 1中有凸四形ABDF,凹四边形ACDE ,折四边形 BCFE ,四个三角形 ACF、 BCD、ADEF、 ABE .在完全四边形 ABCDEF中，对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图1 1后说

2、明）；若直线AD交BF于H ,交CE于G ,则可以写出塞瓦定理的 7个式子（见图2 3 ）;利用空全四边形及其对 角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图2 2）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图 6 7）等.这是我们已介绍的完全四边形的性质，完 全四边形还有一系列有趣的性质，下面我们介绍其中的几条：性质1设M为完全四边形 ABCDEF的密克尔点.（1）若B、C、E、F四点共圆于e O ,则M点在对角线 AD所在直线上，且 OM AD ;（2）若A、B、D、F四点共圆于e O ,则M点在对角线 CE上，且OM CE .注此性质还可参见例 10

3、 （9）,例11 （3）、（5）.A（a）图 9-2证明（1）如图9 2 （a） .设过B、C、D三点的圆交直线于点 M，则AD AM AB AC AE AF , 即知点M在ADEF的外接圆上，亦即知点 M就是完全四边形 ABCDEF的密克尔点M .设 K 为 AM 延长线上一点，由 CME CMK KME CBE CFE 2 CFE COE ,知 C、E、 O、M四点共圆.于是 OMK OME EMK OCE COE 90 ,即证.实用文档专业整理(2)如图 9 2(b).同(1)可证过B、C、D三点的圆与CE的交点即为完全四边形 ABCDEF的密克尔点M .由圆哥定理(即点对2 一 一2C

4、O CD CF R22ED ED ED RCMEM的骞)CEEC有R22R(其中R为e O半径).上述两式相减，有 CO2 EO2CE_2_ 2CM ME CM ME .由定差哥线定理，知 OM CE .推论1在完全四边形ABCDEF中，凸四边形 ABDF内接于e O , AD与BF交于点G，则e CDB、e CFA、e EFD、e EAB、e OAD、e OBF 六圆共点；e CFB、e CDA、e GAB、e GDF、e OBD、 eOFA 六圆共点；e EFB、e EAD、e GBD、e GFA、e OAB、eODF 六圆共点.事实上，可设M为完全四边形 ABCDEF的密克尔点，则由性质

5、1 (2),知M在CE上，且OM CE .于 是，知C、M、D、B及M、E、F、D分别四点共圆，有BMO 90 BMC 90 BDC 90180 BDF BDF 90 = 1(180 BOF) 9090 BOF BFO .从而知，点 M 在 eOBF 上.2同理，知点M在e OAD上.由密克尔点的性质知，e CDB、eCFA、e EFD、e EAB四圆共点于 M .故以上六圆共点 M .同理，设N为完全四边形 CDFGAB的密克尔点，贝U e CFB、e CDA、e GAB、e GDF、e OBD , e OFA 六圆共点于N .设L为完全四边形 EFAGBD的密克尔点，则 e EFB、e E

6、AD、e GBD、e GFA、e OAB、eODF六圆 共点于L .l6图9-3推论2如图9 3,在完全四边形 ABCDEF中，凸四边形 ABDF内接于e O , AD与BF交于点G . e CDB 与 e CFA、e CDA 与 e CFB、e OBD 与 e OFA、e ODA 与 e OBF、e EAB 与 e EFD、e EAD 与 e EFB、e OAB与eODF、e GAB与e GDF、e GBD与e GFA共九对圆的连心线分别记为 h , L , I , L,则L、l2、l3、l4、OC五线共点于OC的中点；l4、l5、l6、l7、OE五线共点于OE的中点；l3、l7、l8、l9

7、、OG五线共点于OG的中点.事实上，可设M、L、N分别为完全四边形 ABCDEF、EFAGBD、CDFGAB的密克尔点，则OM CE 于 M , OL EG 于 L , ON CG 于 N .实用文档专业整理注意到OM是eODA与eOBF的公共弦，则l4是OM的中垂线，从而知I4过OC的中点，L也过OE的 中点.因CN是eCDA与eCFB的公共弦，则是CN的中垂线，而ON CN ,从而I2过OC的中点；又注意到CM是eCDB与eCFA的公共弦，则li是CM的中垂线，又 OM CM ,则li过OC的中点，ON是eOBD与eOFA的公共弦，则 L是ON的中垂线.而 ON CN , I3过OC的中点

8、.故li、I2 , I3、I4、 OC五线共点于 OC的中点.同理，注意到LE、ME、OL分别是e EAD与e EFB . e EFD与e EAB、e OAB与e ODF的公共弦，推知l4、匕、I、h OE五线共点于OE的中点.注意至U GN、LG、OL、ON 分别是 e GAB 与 e GDF、e GBD 与 e GFA、e OAB 与 e ODF、e OBD 与 eOFA的公共弦，推知，小 b、h Q、OG五线共点于OG的中点.注 由上述推论，即知下列竞赛题即为其特殊情形：（1）（ 1990年全国高中联赛题）四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD交于点P , PAB、 PBC、 PCD、

9、 PDA的外心分别为 Oi、O2、O3、O4.求证：O1O3、O2O4与OP三线共点.（2） （2006年国家集训队测试题） 四边形ABCD内接于e O ,且圆心O不在四边形的边上， 对角线AC 与 BD 交于点 P, AOAB ADBC AOCD 4ODA 的外心分别为 Q、O2、O3、O4 ,求证：OQ3、O2O4与OP三线共点.性质2完全四边形ABCDEF的三条对角线AD、BF、CE的中点M、N、P共线（即牛顿线）A图9-4证明如图9 4,分别取CD、BD、BC 的中点 Q、R、S ,于是，在AACD中，M、R、Q 一点共线；在ABCF中，S、R、N三点共线；在 ABCE中，S、Q、P三

10、点共线.由平行线性质，有MQAC HR FD PS EBMRAB NS FC PQ ED对ABCD及截线AFE应用梅涅劳斯定理，有CA BE DEQM RN SP ,1 ,即有 1 .AB ED ECMR NS PQ再对QRS应用梅涅劳斯定理的逆定理，知M、N、P三点共线.注此性质中的线称为牛顿线，其证明还有10多种.实用文档专业整理性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值，称这两点调和分割这一线段）.证明如图9 5 （a）、（b）,在完全四边形 ABCDEF中，对角线AD所在直线交BF于M ,交CE于N ,需证组 MD （此式表明点 M、N调和分

11、割AD ）.AN ND若BF/CE,如图9 5 （a）,则由处 BF MD 即证.AN CE ND若BF CE ,可设直线 BF与CE交于点P .对4ADF及点B应用塞瓦定理，有 4M DC FE 1MD CF EA对ADF及截线CNE应用梅涅劳斯定理，有 DC 土 1 .ND CF EA上述两式相除，即得AM MD .AN ND对于图9 5 （b）,类似地可证明有-BM 幽匕（m、P调和分割BF）,四 贴（N、P调和分割 BP NFCP PECE）;对于图9 5 （a）,也可看作直线 BF、CE相交于无穷远点，也有这两式.性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的

12、垂心在这条轴上.证明如图9 6 ,在完全四边形 ABCDEF中，分别以对角线 AD、BF、CE为直径作圆，这三个圆 的圆心就是三条对角线的中点 M、N、P .实用文档专业整理设Hi、H2、H3、H4分别为ADEF、 ACF ABE、 BCD的垂心，注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）.在完全四边形 ABCDEF中，显然H1、H2、H3、H4不重合，由于 DEF的垂心H1是三个圆两两根轴的根心，而对于 4DEF ,在它的边所在直线上的高C、B、A,点Hi关于以CE、BF、AD为直径的圆的哥相等，即点Hi在这三个圆两两的根轴上.同

13、样，对于4ACF ,在它的边所在直线上的点B、D、E,其垂心H2关于以CE、BF、AD为直径的圆的哥相等，以及点 H3、H4均关于以CE、BF、AD为直径的圆的哥相等.故H1、H2、H3、H4均在这三个圆的两两的根轴上，即这三个圆两两的根轴重合，亦即共轴，且四个三角形的垂心在这条根轴上.注 证明Hi、匕、H3、H4四点共线，也可以这样证：由于完全四边形 ABCDEF的四个4DEF、AACF、 ABE、ABCD的外接圆交于一点 M ,且点M关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线 l ,根据西 姆松线的性质：点 P的西姆松线平分点 P与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l过MHi、M

14、H2、MH3、MH4 的中点，从而点 Hi、H2、H3、H4 共线.推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆，这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上，且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等.上述性质即指在完全四边形ABCDEF中，Q、。2、。3、O4分别为AACF、ABCD DEF、AABE的外心，Hi、H2、H3、H4 分别为O4O2O3、O4OQ3、O2O4Q、OQ2O3 的垂心，则（i） Q、O2、O3、O,四点共圆（斯坦纳圆）； AO40203 s ACF , AO10

15、203s ABE , AO20401s DEF , AO40103 s BCD ；（3） Hi H2、H3、H4 分别在 BE、AE、AC、CF 上，且四边形 H1H2H3H4 0四边形 OQOQs .证明设M为完全四边形 ABCDEF的密克尔点，连接 BM、CO2、02M、MO3、DM ,则1（l） O1O2M 180 CO2M 180 CDM . 2同理，0103M 180 FDM .从而 0102MO1O3M 360 CDM FDM 180 .因此，Oi、O2、O3、M 四点共圆.同理，O3、O,、。2、M四点共圆.实用文档专业整理故。1、。2、O3、O4四点共圆.ODH(a)M(b)(

16、2)由BM为e O2与e O4的公共弦，则知O2O4BM .同理 O2O3 DM .O4O2O3BMDBCD同理,O2O4O3180O2MO3BAFCAF ,故20203 s ACF .同理, O1O2O3ABEO2O4O1BEA又O2QO4O2O1O3O3O1O4O2O1O3O3O2O4CAF ACF DFE从而 O2O4O1 s DEF .同理，AO40103 s BCD(3 )自。2作O3O4的垂线交 BE点,连 BO4、BO2、O4H1 ,由。4 为 ABE 的外4H1 BO490 BAE 及 H1O2O490O2O4O390 BAE，知 H1 BO4H1 O2O4 ,从而H1O2、B

17、、O4四点共圆，于Hi O4O2Hi又。2为4BCD的外心，知H1 BO2O2BE90是 H1 O4O290 BCD90O4O2O3 ,实用文档专业整理H 1 O4O2O4O2O3 90这表明O4H1也垂直于O2O3,即知Hi为O4O2O3的垂心，故Hi与Hi重合.过O3过O1O4的垂线交 AE于 H2 ,连 O4E、O3E、O4H2 ,则 O4EF2 90 ABE ,0403H2 90 180OO4O3O1O4O3 90 CBD =180 ABE 90 =90 ABE,从而 H2、O4、O3、E 四点共圆，则有04H2O3O4 EO3 .又 003H2O1O3O4 O4O3H2BDC O4E

18、H2BDC 90ABE 90ACF ,O4H2O3 O4FO3 DEO3 DEO3 DEF 90 DEF O4EH 2DEF 90DEF90 ABE ABE 180EDF 180ACF ,即0103H 2O4H2O3 90，这说明H2为O1O3O4的垂心，故 H2与H2重合.过点。2作。1。4的垂线交 AC与点H3 ,连CO1、CO2、H3Q ,则H3O2O1 180020。4H 3 0201 180 DEFH3O2O1AFC 90,H3CO190 AFC .于是 H 3 0201H3CO1,即知 H3、C、。2、O1 四点共圆，有 02H 3O1O2CO1 .又 H3O2O4 H3O2O1

19、O1O2O4H3CO1O1O2O490AFCFDE90 FDE FED FDE 90 FED ,02 H 3 010。02ACF ACQ FC02 ACF90AFCCBD 90180 CAF CBD 180 CAF FED CAF FED .即 H3O2O402H3。1 90 ,由此知H3为O1O2O4的垂心，故H3与H3重合.实用文档专业整理H2H3Kb02 M G图9-8过点03作01 02的垂线交CF于点H4 ,连QF、O1H4、03F ,由01为4ACF的外心，有H4 FQ 90 FAC 及 H4。3。1 90 0z0Q3 90 FAC，知 H4 F0i H4。3。1 ,从而 H4、。

20、3、F、0i 四点共圆，于是 H40Q3 H4 F03 .又。3 为 ADEF 的外心，知 H4F03 DF03 90 FED于是 H40103 90 FED 90010302 ,即七。1。301。3。290 .这表明0lH4也垂直于。2。3,即知H4为01。2。3的垂心，故H4与H 4重合.综上可知，H1、H2、H3、H4分别在BE、AE、AC、CF上.下面，我们证明四边形 H1H2H3H40四边形02010403.由于。1、。2 .。3 .。4共圆，设该圆圆心为 0 ,设M为。2。3的中点.由垂心的性质（即Servois定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离， 等于外心至其对边的距离的

21、两倍.于是 O4H120M 且 O4H1 / 0M , O1H420M 且 O1H4 / 0M ,故 O1H4JO4H1 ,即 O1H4H1O4 为平行四边形，从而有 H 4 Hl J01 04 .同理 H1H2 幺 O2O1, H2H3IO3O2, H3H 4 幺。4。3.从而四边形 H1H 2H3H 4002010403.推论4在完全四边形 ABCDEF中，A、B、D、F四点共圆于e 0 , O1、O2 , O3 , O4分别为 BCD、 DEF、AABE AACF 的外心，乩、匕、出、乩分别为O2O3O4、OQ3O4、OQ2O4、OQ2O3的垂心，M为完全四边形 ABCDEF的密克尔点，K1 , K2 , K3 , K4 , K5 , K6分别 AO3O4、B0103、实用文档专业整理CO1O4、DO1O2、EO2O3、FO2O4的外心，O2O4与O1O3所在直线交于点P ,直线 O2O1 与O4O3 交于点P2, Ji、J2分别为O1O4、O2O3的中点，直线I1H2