24223切线长定理

1、切线长定理1、圆的切线的定义是什么？一、活动准备2、圆的切线有哪些判定方法？3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？ 能说出作图的步骤吗？理论依据是 什么？O作图的步骤：1、连接OA;2、过点A作直线lOA.二、活动一1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？ O2、能说出作图的步骤吗？3、理论依据是什么？4、过圆外一点能作几条圆的切线吗？ 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之的线段的长，叫做这点到圆的切线长。O思考：切线与切线长有区别吗？ 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长。数学探究OBPA切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。如

2、图，纸上有一O ，PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。1.OB是O的一条半径吗？2.PB是O的切线吗？3.PA、PB有何关系？4.APO和BPO有何关系？数学探究PAOB问题：已知： 求证：如图，P为 O外一点，PA、PB为 O的切线，A、B为切点，连结PO切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。OBPARtAOPRtBOPOPAB PA=PB PO平分APB12连结OA、OB、PA、PB与O相切，点A、B是切点1 =2OAAP，OBBPOAP=OBP=90OA=OB，OP=OPPA=PBPA、PB分别切O于

3、A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提 供了新的方法数学探究OBPA思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？你还能得出什么结论？E例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若PA=4、PD

4、=2，求半径OA（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC已知：如图PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点。直线OP交 O于D、E，交AB于C。OPABCDE（1）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到 O的切线长为 cm，两切线的夹角等于 度60我们学过的切线，有 性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切

5、点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小结：APO。BECDPA、PB分别切O于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。一、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。PBOA

6、二、填空25（3）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8CM，则 PDE的周长为（ ）AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEAP1、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.AOCDPBE例2、如图，过半径为6cm的O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交O于F，过F作O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO10cm， 求PED的周长。FOEDPBA

7、OPABCDE（5）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径OA的长。x即：解得： x=3cm半径OA的长为3cm例1、如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，OAB30（1）求APB的度数；（2）当OA3时，求AP的长 PBAO练习 如图，从O外一点P作O的两条切线，分别切O于A 、B，在AB上任取一点C作O的切线分别交PA 、PB于D 、E（1）若PA=2，则PDE的周长为_；若PA=a，则PDE的周长为_。（2）连结OD 、OE，若P=40 ，则DOE=_;若P=k,DOE=_ 度 。E OCBDPA42a70 随堂训练(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。(1)若OA=3cm,

8、 APB=60，则PA=_.PABCOM如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点A、B，OP交O于点M，连结BC。试一试：已知：如图，P为O外一点，PA，PB为O的切线，A和B是切点，BC是直径。C50，求APB的度数求证：ACOP。 ABOCPAOBC试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图2是它的平面示意图，CA和CB都是O的切线，切点分别是A、B。如果O的半径为 cm，且AB=6cm，求ACB。 思考：当切点F在弧AB上运动时，问PED的周长、DOE的度数是否发生变化，请说明理由。FOEDPBA思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?

9、IDooo三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。数学探究DEF问题：如图ABC，要求画ABC的内切圆，如何画？ 已知：ABC求作：和ABC的各边都相切的圆BCAID作法：1、作B、C的平分线BM、CN，交点为I2、过点I作IDBC，垂足为D3、以I为圆心，ID为半径作II就是所求的圆 NMABCO三角形的外接圆：三角形的内切圆：ABCID明确 1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；4.

10、三角形的内心到三角形三边的距离相等。 试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与O相切于P、Q、M、N，求证：AB+CD=AD+BC。 DABCOMNPQABDLMNPO结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边的关系。C（1）找出图中所有相等的线段（2）填空：AB+CD AD+BC（,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形：角的关系圆的外切四边形：边的关系1、四边形ABCD外切于O（1）若AB

11、：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=_（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 则最长的边为_2、圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_练习二ABCDACBDOABCDOO3、圆内接梯形为等腰梯形4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为_ABDCEF反思：圆外切等腰梯形的腰长等于中位线长（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为_ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为_ABDCEF如图， ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= 116cm9cmB

12、DACFE274 练习四 已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。 ABCDEFxxyyOzz解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:Z=5X+y+z=18x+y=13已知:如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.求O的半径r. ABCODEF（1）Rt的三边长与其内切圆半径间的关系13探究三求直角三角形内切圆的半径ABCEDFO如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc

13、,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.设AD= x , BE= y ,CE r O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBF,CECD则有xrbyraxyc解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。解得rabc2结论设RtABC的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC的内切圆的半径 r 或rabc2ababcABCEDFO如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围

14、。设AD= x , BE= y ,CE r O与RtABC的三边都相切ADAF,BEBF,CECD则有xr4yr3xy5解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。解得r1在RtABC中，BC3,AC4, AB5由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD RtABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。ABODCOBBC3半径r的取值范围为0r3点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。例.如图，ABC中,C =90 ,它的内

15、切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.OEBDCAF探究三求一般三角形内切圆的半径(2)已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆O的半径r.ABCOODEFBDEFOCA如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径 r结论2Sabc三角形的内切圆的有关计算

16、14小练习1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为3. 已知:ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆O的半径r.基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_.3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.EFHG正方形22cm2cm OABCDEF OABCDE选做题：如图，AB是O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.例：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13c