人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第十章第1节　两个计数原理、排列与组合

1、第1节两个计数原理、排列与组合知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练分类加法计数原理与分步乘法计数原理1,2,5,718排列4,6,8组合315排列与组合的综合应用9,1011,12,13,14,16171.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长,1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是(B)A.20B.16C.10D.6解析:当a当组长时,则共有14=4(种)选法;当a不当组长时,又因为a也不能当副组长,则共有43=12(种)选法.因此共有4+12=16(种)选法.故选B.2.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0

2、9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8, 9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有(D)A.180种B.360种C.720种D.960种解析:按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有53444=960(种).故选D.3.(2021全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(C)A.60种B.120种C.

3、240种D.480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有C52种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据分步乘法计数原理可知,完成这件事共有C524!=240(种)不同的分配方案.故选C.4.(2021浙江台州高三模拟)现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里,每个盒子至少一个球,各盒子中球的个数互不相同,则不同放法的种数是(C)A.28B.24C.18D.16解析:把9个球分成3组,每组个数不相同,分法(按球的个数)为126, 13

4、5,234,共3种,然后每组球放到3个盒子中有321=6(种)方法,则不同放法的种数为36=18.故选C.5.(多选题)(2021山东东营高三模拟)“二进制”与我国古代的易经有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“”和“ ”,其中“”在二进制中记作“1”,“ ”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为(ABCD)A.0B.1C.2D.3解析:根据题意,从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.第一类:由两个“”组成,二进制数为11,转化为十进制数,为3.第二类:由两个“ ”组成,二进制数为00,转化为十进制数,

5、为0.第三类:由一个“”和一个“ ”组成,二进制数为10,01,转化为十进制数,为2,1.所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选ABCD.6.(多选题)用1,2,3,4,5这五个数字,组成三位数,则(ABC)A.若允许重复,则可组成为125个B.若不允许重复,则可组成为60个C.可组成无重复数字的偶数为24个D.可组成无重复数字的奇数为24个解析:组成三位数,若允许重复,则可组成53=125(个);若不允许重复,则可组成A53=543=60(个);组成无重复数字的偶数分为两类,一类是2作个位数,共有A42个,另一类是4作个位数,也有A42个.因此符合条

6、件的偶数共有A42+A42=24(个);组成无重复数字的奇数有A31A42=3 43=36(个).故选ABC.7.在一个三位数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”,比如“102”,“546”为“驼峰数”.由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有个,其中偶数有个.解析:十位上的数为1时,有213,214,312,314,412,413,共6个,十位上的数为2时,有324,423,共2个,所以共有6+2=8(个).偶数为214, 312,314,412,324,共5个.答案:858.(2021山东泰安一模)北京大兴国际机场为4F级国际机场、世界级航空枢纽、国家发展新动力

7、源,于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道,分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道,若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞,且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取,则共有种不同的安排方法.(用数字作答)解析:从4条跑道中选取安排共有A42=12种选择,排除西一跑道、西二跑道都没有的A22=2种选择,共有12-2=10种选择.答案:109.(2021山东潍坊模拟)植树造林,绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在如图所示的一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗,其中A,B,C分别与E,F,G关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,

8、要求每种树苗至少种植一棵,且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是.(用数字作答)解析:由题意对称相当于3种树苗种A,B,C,D四个位置,有且仅有一种树苗重复,有C31种选法;在四个位置上种植有A44A22=12种方法,则由分步乘法计数原理得共有C3112=36种方法.答案:3610.用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数?(1)比21 034大的偶数;(2)左起第二、四位是奇数的偶数.解:(1)可分五类,当末位数字是0,而首位数字是2时,有6个五位数;当末位数字是0,而首位数字是3或4时,有C21A33=12个五位

9、数;当末位数字是2,而首位数字是3或4时,有C21A33=12个五位数;当末位数字是4,而首位数字是2时,有3个五位数;当末位数字是4,而首位数字是3时,有A33=6个五位数.故共有6+12+12+3+6=39(个)满足条件的五位数.(2)可分为两类:末位数是0,个数有A22A22=4;末位数是2或4,个数有A22C21=4.故共有4+4=8(个)满足条件的五位数.11.数术记遗相传是东汉时期徐岳所著,该书主要记述了:积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法

10、的相关资料,其中一人4种,其余两人每人5种,则不同的分配方法种数是(A)A.C144C105C55A33A22B.C144C105C55A22A33C.C144C105C55A22 D.C144C105C55解析:先将14种计算方法分为三组,方法有C144C105C55A22种,再分配给3个人,方法有C144C105C55A33A22种.故选A.12.(多选题)将4个不同的小球放入3个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒子的放法共有(BC)A.C31C21C11C31种B.C42A33种C.C31C42A22种 D.18种解析:根据题意,4个不同的小球放入3个分别标有13号的盒子中,且没

11、有空盒,则3个盒子中有1个中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法:(1)分2步进行分析:先将4个不同的小球分成3组,有C42种分组方法;将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A33种放法;则没有空盒的放法有C42A33种;(2)分2步进行分析:在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有C31C42种情况;将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A22种放法.则没有空盒的放法有C31C42A22种.由此可知,A,D错误.故选BC.13.从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人志愿者服务队,要求服务队中至少有1

12、名女生,共有种不同的选法.解析:要求服务队中至少有1名女生,则分3种情况讨论:选出志愿者服务队的4人中有1名女生,有C53C31=30种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A42=12种选法,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有3012=360(种)不同的选法.选出志愿者服务队的4人中有2名女生,有C52C32=30种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A42=12种选法,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有3012=360(种)不同的选法.选出志愿者服务队的4人中有3名女生,有C51C33=5种选法,这4人选2人作为队长和副队长有A42=12种选法,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有

13、512=60(种)不同的选法.则一共有360+360+60=780(种)不同的选法.答案:78014.(2021浙江杭州高三模拟)有3个少数民族地区,每个地区各需要1名支医医生和两名支教教师,现将3名支医医生(1男2女)和6名支教教师(3男3女)分配到这3个地区去工作.(1)要求每个地区至少有1名男性,则共有种不同分配方案;(2)要求每个地区至少有1名女性,则共有种不同分配方案.解析:(1)要求每个地区至少有1名男性的对立事件是至少有1个地区全是女性的分配方案有C21C32C42C21A22A33=666=216(种),每个地区需要1名支医医生和2名支教教师的总分配方案有A33C62C42C2

14、2=6156=540(种),所以要求每个地区至少有1名男性的分配方案有540-216=324(种).(2)有1个地区全是男性的分配方案有C11C32C42C21A22A33=366=108(种),所以要求每个地区至少有1名女性的分配方案有540-108=432(种).答案:(1)324(2)43215.某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种次品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种次品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种次品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种次品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种次品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种次品在

15、内,不同的取法有多少种?解:(1)从余下的34种商品中,选取2种有C342=561种取法,所以某一种次品必须在内的不同的取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种取法,或者C353-C342=C343=5 984(种)取法,所以某一种次品不能在内的不同的取法有5 984种.(3)从20种正品中选取1种,从15种次品中选取2种有C201C152=2 100种取法,所以恰有2种次品在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种次品有C201C152种,选取3种次品有C153种,共有选取方式C201C152+C153=2 100+455=2 555(种),所以至少有2种次品在内

16、的不同的取法有2 555种.(5)法一(间接法)选取3种的总数为C353,因此共有选取方式C353-C153=6 545-455=6 090(种).所以至多有2种次品在内的不同的取法有6 090种.法二(直接法)共有选取方式C203+C202C151+C201C152=6 090(种),所以至多有2种次品在内的不同的取法有6 090种.16.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本

17、,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解:(1)6本不同的书分成三份,1份1本,1份2本,1份3本,分三个步骤,第1步,从6本书中取1本有C61种分配方法;第2步,从剩余的5本书中取2本有C52种分配方法,第3步,从剩余的3本书中取3本有C33种分配方法,所以总共有C61C52C33=60(种)分配方法.(2)由(1)可知分组后共有60种方法,分别分给甲、乙、丙后的方法有C61C52C33A33=360(种).(3)从6本书中选择2本书,有C62种分配方法;再从剩余4本书中选择2本书,有C42种分配方法;剩余2本书,有C22种分配方法,所以有C62C42C

18、22=90(种)分配方法.但是,该过程有重复.假如6本书分别为A,B,C,D,E,F,若三个步骤分别选出的是(AB),(CD),(EF),则所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB).所以分配方式共有C62C42C22A33=15(种).(4)由(3)可知,平均分给甲、乙、丙三人,则分配方法有C62C42C22A33A33=90(种).(5)从6本书中选4本书的方法有C64种,从剩余2本书中选1本书有C21种,因为在最后2本书的选择中有重复,所以总共有C64C21A22=15(种).(6)由(5)

19、可知,分给甲、乙、丙三人的分配方法有C64C21A22A33=90(种).17.(多选题)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,为求出场顺序的排法种数,下列式子正确的为(ABD)A.C21C31A33+C21A22A32B.A33A42-A22A32C.A55-A22A33D.A55-A22A44-A44+A22A33解析:若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C21C31A33种,若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2位女生排列好,2位男生插空,方法有C21A22A32种.所

20、以满足条件的出场顺序有C21C31A33+C21A22A32种,故A正确;先排3位女生,3位女生之间有4个空,从4个空中选2个排男生,共有A33A42种,若女生甲排在第一个,则3位女生之间有3个空,从3个空中选2个排男生,有A22A32种,所以满足条件的出场顺序有A33A42-A22A32种,故B正确;5位选手全排列的方法数A55减去2位男生连续出场的方法数A22A44,再减去女生甲排在第一个的方法数A44.因为多减去了2位男生既连续出场,女生甲又排在第一个的方法数A22A33,所以满足条件的出场顺序有A55-A22A44-A44+ A22A33种,故D正确.故选ABD.18.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并