人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第五章第2节　等差数列及其前n项和

1、第2节等差数列及其前n项和 知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练等差数列的基本量运算1,6,7等差数列的判定与证明2,410,15,17等差数列的性质3,8等差数列前n项和的最值512,1418等差数列的综合应用911,13,161.已知等差数列an中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列an的公差为(D)A.-3B.-52C.-2D.-42.若等差数列an的公差为d,则数列a2n-1是(B)A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列解析:数列a2n-1其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.故选B.3.设Sn是等差

2、数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9等于(A)A.1B.-1C.2D.12解析:S11S9=(a1+a11)211(a1+a9)29=11a69a5=1.故选A.4.已知Sn是数列an的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8等于(C)A.72B.88C.92D.98解析:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列an是公差为3的等差数列.又a4+a5=23,所以2a1+7d=2a1+21=23,所以a1=1,所以S8=8a1+872d=92.故选C.5.在等差数列an中,已知a3+a80,且S90,则S1,S2,S9中最小的是(A)A.S5

3、B.S6C.S7D.S8解析:在等差数列an中,S9=9(a1+a9)2=9a50,所以a50,所以a60,所以数列从第6项开始大于零,前5项都小于零,所以S5最小.故选A.6.已知数列an满足an-an-1=k(n2,nN*),a1=k,则数列an的通项公式为.解析:因为数列an满足an-an-1=k(n2,nN*),所以数列an为公差为k的等差数列,又a1=k,所以an=a1+(n-1)k=k+(n-1)k,即an=nk.答案:an=nk7.设Sn为等差数列an的前n项和,满足S2=S6,S55-S44=2,则a1=,公差d=.解析:由an为等差数列,得数列Snn是公差为d2的等差数列.因

4、为S55-S44=2,所以d2=2d=4.又S2=S62a1+4=6a1+6524a1=-14.答案:-1448.在等差数列an中,公差d=12,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+a99=.解析:因为S100=1002(a1+a100)=45,所以a1+a100=910,则a1+a99=a1+a100-d=25,则a1+a3+a5+a99=502(a1+a99)=50225=10.答案:109.已知数列an是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.解:(1)由已知得a1+a

5、2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88,所以a1+an=884=22.因为Sn=286,所以n(a1+an)2=286,所以11n=286,所以n=26.(2)法一设项数为2k+1,则a1+a3+a2k+1=44=k+12(a1+a2k+1),a2+a4+a2k=33=k2(a2+a2k),又因为a1+a2k+1=a2+a2k,所以k+1k=4433,所以k=3,项数为7,所以中间项为a1+a2k+12=11.法二记等差数列an的中间项为a中,奇数项和为S奇,偶数项和为S偶,前n项和为Sn.根据题意得

6、S偶+S奇=Sn,S奇-S偶=a中,所以Sn=77,a中=11,又na中=Sn,所以n=7.10.已知无穷数列an是各项均为正数,且公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,nN*,则(D)A.数列Snn不可能是等差数列B.数列Snn2不可能是等差数列C.数列Snan不可能是等差数列D.数列anSn不可能是等差数列解析:由题可知Sn=na1+n(n-1)d2,an=a1+(n-1)d,其中a10,d 0,对A,Snn=a1+n-12d,所以数列Snn是公差为d2的等差数列,故A错误;对B,Snn2=a1n+n-12nd=d2+(a1-d2)n,当a1=d2时,Snn2=d2,所以数列Snn2可能

7、是等差数列,故B错误;对C,Snan=na1+n(n-1)d2a1+(n-1)d,当a1=d时,Snan=n+12,所以数列Snan可能是等差数列,故C错误;anSn=a1+(n-1)dna1+n(n-1)d2,anSn不可能转化为关于n的一次函数形式,故数列anSn不可能是等差数列,故D正确.故选D.11.(多选题)已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,则下列选项正确的有(AC)A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=0解析:根据题意,数列an是等差数列,若a1+5a3=S8,即a1+5a1+10d=8a1+28d,变形可得a1=-9d.

8、又由an=a1+(n-1)d=(n-10)d,则有a10=0,故A一定正确;不能确定a1和d的符号,不能确定S10最小,故B不正确;又由Sn=na1+n(n-1)d2=-9nd+n(n-1)d2=d2(n2-19n),则有S7=S12,故C一定正确;则S20=20a1+20192d=-180d+190d=10d.因为d0,所以S200,则D不正确.故选AC.12.(2021宁夏吴忠高三一模)数列an是等差数列,Sn为其前n项和,且a10,a2 020+a2 0210,a2 020a2 0210,则使Sn0成立的最大正整数n是(C)A.2 020B.2 021C.4 040D.4 041解析:设

9、数列an的公差为d,由a10,a2 020+a2 0210,a2 020a2 0210,可知a2 0200,所以d0,数列an为递增数列,S4 041=4 041(a1+a4 041)2=4 041a2 0210,S4 040=2 020(a1+a4 040)=2 020(a2 020+a2 021)0,所以可知使Sn0成立的n的最大值为4 040.故选C.13.等差数列an,bn满足:对任意的nN*,都有anbn=2n+34n-9,则a7b3+b9+a5b4+b8=.解析:由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6.所以a7b3+b9+a5b4+b8=a7+a52

10、b6=2a62b6=a6b6=26+346-9=1.答案:114.在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是.解析:因为当且仅当n=8时,Sn有最大值,所以d0,a90,即d0,7+8d0,解得-1d0,求使得Snan的n的取值范围.解:(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4,得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10,nN*.17.已知数列an的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(nN*).(1)证明:数列1an是等差数列;(2)设bn=anan+1,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn12.证明:(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,显然anan+10,所以两边同除以anan+1可得,1an+1-1an=2,所以数列1an是以