人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第4节　空间直线、平面的垂直

1、第4节空间直线、平面的垂直 知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线与平面垂直的判定与性质1,4,912平面与平面垂直的判定与性质5求空间角的大小3,7,8综合问题2,610,11,13,14,15,1617,181.(2021河北沧州联考)如图所示,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是(D)A.CD平面PAFB.DF平面PAFC.CF平面PABD.CF平面PAD解析:A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立;B中,因为六边形ABCDEF为正六边形,所以DFAF.又因为PA平面ABCDEF,DF平面ABCDEF,

2、所以PADF,又PAAF=A,PA平面PAF,AF平面PAF,所以DF平面PAF成立;C中,CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB,所以CF平面PAB;而D中,CF与AD不垂直.故选D.2.(2021江西南昌模拟)如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么点D在平面ABC内的射影H必在(A)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部解析:由ABAC,BDAC,又ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,则AC平面ABD,而AC平面ABC,则平面ABC平面ABD,因此点D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上.故选A.3.已知三棱柱ABCA1

3、B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为(B)A.512B.3C.4 D.6解析:如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP,则PAO是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为3,所以AD=332=32,AO=23AD=2332=1.三棱柱的体积为34(3)2AA1=94,解得AA1=3,即OP=AA1=3,所以tanPAO=OPAO=3,因为直线与平面所成角的取值范围是0,2,所以PAO=3.故选B.4.(2021山东烟台月考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE

4、,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有(B)A.AG平面EFHB.AH平面EFHC.HF平面AEFD.HG平面AEF解析:根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,且HEHF=H,HE,HF平面EFH,得AH平面EFH,所以B正确;因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直,所以A不正确;由题知AGEF,又EFAH,AGAH=A,AG,AH平面HAG,所以EF平面HAG,又EF平面AEF,所以平面HAG平面AEF,若过点H作直线垂直于平面AEF,则直线一定在平面HAG内,所以C不正确;因为HG不垂直于AG,所以HG平面AEF不正确,所以

5、D不正确.故选B.5.(多选题)(2021山东济宁模拟)已知l,m表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,l,m,则下面四个命题中正确的是(AC)A.若,则lmB.若,则lmC.若lm,则D.若lm,则解析:因为l,根据面面平行的性质知l,又m,则lm,故A正确;若,l,则l可能在内或与平行,则l可能与m相交、平行或异面,故B错误;由lm,l可推出m,又m,根据面面垂直的判定定理可知,故C正确;若,的交线为m,则lm,推不出,故D错误.故选AC.6.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆周上异于A,B的任一点,则下列结论中正确的是(AD)A.PCBCB.AC平面PBCC

6、.平面PAB平面PBCD.平面PAC平面PBC解析:由题意,BCAC,若AC平面PBC,可得ACPC,与ACPA矛盾,故B错误;BCAC,又PA底面ABC,所以PABC,ACPA=A,AC,PA平面PAC,则BC平面PAC,又PC平面PAC,则BCPC,又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC,故A,D正确;因为BC平面PAC,所以PCA为平面PAB与平面PBC所成角的平面角,又PCA为锐角,所以平面PAB与平面PBC不垂直,故C错误.故选AD.7.若P是ABC所在平面外一点,而PBC和ABC都是边长为2的正三角形,PA=6,那么二面角PBCA的大小为.解析:取BC的中点O,连接OA,OP(

7、图略),则POA为二面角PBCA的平面角,OP=OA=3,PA=6,所以POA为直角三角形,POA=90.答案:908.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=23,CC1=2,则二面角C1BDC的大小为.解析:如图,取BD的中点O,连接OC,OC1,因为AB=AD=23,所以COBD,CO=6.因为CD=BC,所以C1D=C1B,所以C1OBD,所以C1OC为二面角C1BDC的平面角.tanC1OC=C1CCO=26=33,所以C1OC=30,即二面角C1BDC的大小为30.答案:309.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=

8、AB=BC,E是PC的中点,求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明:(1)因为PA底面ABCD,CD底面ABCD,所以CDPA.又CDAC,PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,故CD平面PAC,又AE平面PAC,故CDAE.(2)因为PA=AB=BC,ABC=60,所以PA=AC.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知CDAE,由于PCCD=C,PC平面PCD,CD平面PCD,从而AE平面PCD,又PD平面PCD,故AEPD.易知BAPD,AEBA=A,AE平面ABE,BA平面ABE,故PD平面ABE.10.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=2

9、,BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论中正确的个数是(B)ACBD;BAC=90;CA与平面 ABD 所成的角为30;四面体ABCD的体积为13.A.0B.1C.2D.3解析:因为AB=AD=CD=1,BD=2,所以ABAD,因为平面ABD平面BCD,BDCD,平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,取BD的中点O,连接OA,OC(图略),因为AB=AD,所以AOBD.又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO平面ABD,所以AO平面BCD.又因为BDCD,所以OC不垂直于BD.假设ACBD,因为OC为AC在平面BC

10、D内的射影,所以OCBD,矛盾,故错误;因为CDBD,平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,又AB平面ABD,所以CDAB.因为AB=AD=1,BD=2,所以ABAD,又CDAD=D,CD,AD平面ACD,所以AB平面ACD,又AC平面ACD,所以ABAC,故正确;CAD为直线CA与平面ABD所成的角,CAD=45,故错误;VA-BCD=VC-ABD=13SABDCD=16,故错误.故选B.11.如图,正方形ABCD和正方形ADEF成60的二面角,将DEF绕DE旋转,在旋转过程中,(1)对任意位置,总有直线AC与平面DEF相交;(2)对任意位置,平面DEF与平

11、面ABCD所成角大于或等于60;(3)存在某个位置,使DF平面ABCD;(4)存在某个位置,使DFBC.其中正确的是(C)A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)解析:过D作AC的平行线l,如图,当平面DEF过l时,直线AC与平面DEF平行,故(1)错误;DEF绕DE旋转形成一个以DE为高,EF为底面半径的圆锥,设平面ABCD的法向量为n,平面DEF的法向量为r,则向量n所在直线与圆锥底面所成角为60,向量r所在直线为圆锥底面与EF垂直的半径所在直线,根据最小角原理,n与r的夹角大于或等于60,故(2)正确;若有DF平面ABCD,则ADDF,所以AD平面DEF,则F在平

12、面DEC内,此时DF与平面ABCD所成角为15或75,矛盾,故(3)错误;当ADDF,所以AD平面DEF时,ADBC,所以DFBC,故(4)正确.故选C.12.(多选题)(2021福建泉州质检)如图,在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG垂直的是(ABC)解析:如图,在正方体中,E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点,且六点共面,直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且A项,B项,C项中的平面与这个平面重合.对于D项中的图形,由于E,F分别为AB,A1B1的中点,所以EFBB1,故B1BD1为异

13、面直线EF与BD1所成的角,且tanB1BD1=2,即B1BD1不是直角,故BD1与平面EFG不垂直.故选ABC.13.(2021湖北黄冈质检)如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:由于PA平面ABC,BC平面ABC,因此PABC,又ACBC,PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,因此BC平面PAC,AF平面PAC,所以BCAF,由于PCAF,BCPC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,因此AF平面PBC,又PB平面PBC,所以AFPB,

14、故正确;因为AEPB,AFPB,AEAF=A,AE平面AEF,AF平面AEF,所以PB平面AEF,又EF平面AEF,因此EFPB,故正确;在中已证明AF平面PBC,BC平面PBC,所以AFBC,故正确;若AE平面PBC,由知AF平面PBC,由此可得出AFAE,这与AF,AE有公共点A矛盾,故AE平面PBC不成立,故错误.故正确的结论为.答案:14.三棱锥PABC中,PA=1,AB=AC=2,PA,AB,AC两两相互垂直,M为PC中点,则异面直线PB与AM所成角的余弦值是;取BC中点N,则二面角MANC的大小是.解析:由题设,连接中位线MN,则MNPB,即异面直线PB与AM所成角的平面角为AMN

15、,因为PA=1,AB=AC=2,PA,AB,AC两两相互垂直,所以PC=PB=3,则AM=MN=32,且AN=1,所以在AMN中,cosAMN=AM2+MN2-AN22AMMN=13,过M作MDAC于D,易知D是AC的中点,若E为AN的中点,连接DE,ME,所以DEAN,MEAN,而DEME=E,所以AN平面MED,故MED是二面角MANC的平面角,因为PA,AB,AC两两相互垂直,易知平面PAC,平面PAB,平面ABC两两相互垂直,又平面PAC平面ABC=AC,MD平面PAC,所以MD平面ABC,ED平面ABC,即MDDE,所以在RtMED中,MD=PA2=12,DE=NC2=BC4=12,

16、则tanMED=MDDE=1,所以MED=4.答案:13415.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F在BB1上.(1)求证:C1D平面AA1B1B;(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1平面C1DF?并证明你的结论.F为BB1的中点;AB1=3;AA1=2.(1)证明:因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且A1C1B1=90,又D是A1B1的中点,所以C1DA1B1.因为AA1平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,所以AA1C1D,又A1B1AA1=A1,A1B1平面AA1B1B,AA1平面AA1

17、B1B,所以C1D平面AA1B1B.(2)解:选能证明AB1平面C1DF.证明如下:如图,连接A1B,所以DFA1B,在ABC中,AC=BC=1,ACB=90,则AB=2,又AA1=2,则A1BAB1,所以DFAB1.因为C1D平面AA1B1B,AB1平面AA1B1B,所以C1DAB1.因为DFC1D=D,DF平面C1DF,C1D平面C1DF,所以AB1平面C1DF.16.(2021陕西西安八模)如图所示,AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,CBD=45,求直线BD与平面ACD所成角的大小.解:取AC的中点E,连接BE,DE.由题意知AB平面BCD,

18、CD平面BCD,故ABCD.又BD是底面圆的直径,所以BCD=90,即CDBC.因为ABBC=B,AB,BC平面ABC,所以CD平面ABC,又因为BE平面ABC,所以CDBE.因为AB=BC=2,ABBC,所以BEAC,且BE=2,又ACCD=C,AC,CD平面ACD,所以BE平面ACD,所以BDE即为直线BD与平面ACD所成的角,又BD=2BC=22,所以sinBDE=BEBD=222=12,所以BDE=30,即直线BD与平面ACD所成的角为30.17.已知在梯形ABCD中,ADBC,ABC=BAD=2,AB=BC=2AD=4,E,F分别是AB,CD上的点,EFBC,AE=x(0 x4),沿

19、EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD平面EBCF(如图).(1)当x=2时,证明:EF平面ABE;求二面角DBFE的余弦值;(2)三棱锥DBFC的体积是否可能等于几何体ABEDCF体积的49?并说明理由.(1)证明:在直角梯形ABCD中,因为ABC=BAD=2,故DAAB,BCAB,因为EFBC,故EFAB,所以在折叠后的几何体中,有EFAE,EFBE,而AEBE=E,AE平面ABE,BE平面ABE,故EF平面ABE.解:如图,在平面AEFD中,过D作DGEF交EF于点G.在平面DBF中,过D作DHBF交BF于点H,连接GH.因为平面AEFD平面EBCF,平面AEFD平面EBCF=EF,DG

20、平面AEFD,故DG平面EBCF,因为BF平面EBCF,故DGBF,而DGDH=D,DG平面DGH,DH平面DGH,故BF平面DGH,又GH平面DGH,故GHBF,所以DHG为二面角DBFE的平面角,在平面AEFD中,因为AEEF,DGEF,故AEDG,又在直角梯形ABCD中,EFBC,且EF=12(BC+AD)=3,故EFAD,故四边形AEGD为平行四边形,故DG=AE=2,GF=1,在RtBEF中,tanBFE=23,因为BFE为三角形的内角,故sinBFE=213,故GH=1sinBFE=213,故tanDHG=2213=13,因为DHG为三角形的内角,故cosDHG=1414,所以二面角DBFE的余弦值为1414.(2)解:若三棱锥DBFC的体积等于几何体ABEDCF体积的49,则VB-ADFE+VD-BFC=94VD-BFC,即VB-ADFE=54VD-BFC.由(1)的证明可知,DG平面EBCF,同理可证BE平面AEFD,AE=DG.故VB-ADFE=13BES1,其中S1为直角梯形ADFE的面积.而VD-BFC=13DGSBCF=13AESBCF,在直角梯形ABCD中,过D作BC的垂线,与EF,BC分别交于M,N,则FM2=x4,故FM=x2,所以FE=x2+2,所