高三数学教案：抛物线复习

1、高三数学教案：抛物线复习【】鉴于大家对查字典数学网非常关注，小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：抛物线复习，供大家参考!本文题目：高三数学教案：抛物线复习1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的间隔 相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2 抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。顶点平分焦点到准线的垂线段： 。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆

2、过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3 抛物线标准方程的四种形式：4 抛物线 的图像和性质：焦点坐标是： ，准线方程是： 。焦半径公式：假设点 是抛物线 上一点，那么该点到抛物线的焦点的间隔 称为焦半径是： ，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线 上的动点可设为P 或 或P5 一般情况归纳：方程 图象 焦点 准线 定义特征y2=kx k0时开口向右 k/4,0 x= k/4 到焦点k/4,0的间隔 等于到准线x= k/4的间隔 k0时开口向左x2=ky k0时开口向上 0,k/4 y= k/4 到焦点0,k/4的间

3、隔 等于到准线y= k/4的间隔 k0时开口向下抛物线的定义：例1：点M与点F -4，0的间隔 比它到直线l：x-6=0的间隔 4.2，求点M的轨迹方程.分析：点M到点F的间隔 与到直线x=4的间隔 恰好相等，符合抛物线定义.答案：y2=-16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.分析：这是灵敏运用抛物线定义的题目.根本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线间隔 的和.解：如图8-3-1，y2=4x的焦点为F 1，0，那么l的方程为y=x-1.由 消去y得x2-6x+1=0.设A x1，y1，B x2，y2 那么x1+x2=6.例3

4、:1 抛物线的标准方程是y2=10 x，求它的焦点坐标和准线方程;2 抛物线的焦点是F 0，3求它的标准方程;3 抛物线方程为y=-mx2 m0求它的焦点坐标和准线方程;4 求经过P -4，-2点的抛物线的标准方程;分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的根底题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值注意p0.特别是3题，要先化为标准形式： ，那么 .4题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.答案：1 ， .2 x2=12y 3 ， ;4 y2=-x或x2=-8y.例4 求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：1过点-3，2;2焦点在直线x-2y-4=0上分

5、析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否那么，应展开相应的讨论解：1设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2pyp0，过点-3，2，4=-2p-3或9=2p2p= 或p=所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=-2令x=0得y=-2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为4，0或0，-2当焦点为4，0时， =4，p=8，此时抛物线方程y2=16x;焦点为0，-2时， =2，p=4，此时抛物线方程为x2=-8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，对应的准线方程分别是x=

6、-4，y=2常用结论 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设Ax1，y， 1Bx2，y2是抛物线y2=2px上的两点， 那么AB过F的充要条件是y1y2=-p2 设A， B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点， 那么OAOB的充要条件是直线AB恒过定点2p，0例5：过抛物线y2=2px p0的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，求证：y1y2=-4p2.分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故x1，y1、x2，y2满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值

7、.证：由OAOB，得 ，即y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 . 而y1y20.所以y1y2=-4p2.弦的问题例1 A,B是抛物线y2=2pxp0上的两点，满足OAOBO为坐标原点 求证：1A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;2直线AB经过一个定点3作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：1设Ax1,y1, Bx2,y2, 那么y12=2px1, y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 定值2直线AB的斜率k= = = ,直线AB的方程为yy1= x ,即yy1+y2y1y2=2px,

8、 由1可得 y= x2p,直线AB过定点C2p,03解法1:设Mx,y, 由2知y= x2p i,又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即 = 1 ii由i,ii得x22px+y2=0 x0解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点2p,0为直径的圆除去原点 立即可求出例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上挪动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短间隔 ，并求此时点M的坐标解：如图，设Ax1,y1, Bx2,y2,Mx,y, 那么x= , y= ,又设点A，B，M在准线 :x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，那么|AF|=|AA/|=x1+ ,|

9、BF|=|BB/|=x2+ ,x= x1+x2= |AF|+|BF| |AB| =等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=kx 由 得16k2x28k2+2x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时x= x1+x2= =y= 即M , , N , 例3 设一动直线过定点A2, 0且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且合适 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设 ,由 得又 代入式得 由 得 代入式得:由 得 或 , 又由式知 关于 是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段抠去一点: 且

10、 例4 抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S6, 0求抛物线方程; 求 面积的最大值解: 设 , AB中点由 得又 得所以 依题意 ,抛物线方程为由 及 ,令 得又由 和 得:例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上挪动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短间隔 ，并求此时点M的坐标解：如图，设Ax1,y1, Bx2,y2,Mx,y, 那么x= , y= ,又设点A，B，M在准线 :x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，那么|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,x= x1+x2=

11、 |AF|+|BF| |AB| =等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=kx 由 得16k2x28k2+2x+k2=0依题意|AB|= |x1x2|= = =3,k2=1/2, 此时x= x1+x2= =y= 即M , , N , 综合类几何例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进展比较，假如相等，那么MQ/x轴，为此，将方程 联立，解出直线OP的方程为 即令 ，得M点纵坐标 得证.由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.思路二：利用命题假如过抛物线 的焦点的一

12、条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 来证.设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，那么有结论 ，即 .又直线OP的方程为 ， ，得 .因为 在抛物线上，所以 .从而 .这一证法运算较小.思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解x ,y就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进展逆向思维，运算量也较小.说明：此题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时即斜率不存在，容易证明成立.例2 过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积.

13、分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.解：设AB所在的直线方程为 .将其代入抛物线方程 ，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值.设直线l方程为 .代入抛物线方程得由 得 ，这时 .它到AB的间隔 为RAB的最大面积为 .例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k.1将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;2求出 的定义域及单调区间.分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的

14、特点求得其定义域及单调区间.解：1设 的方程为： ，将它代入方程 ，得设 ，那么将 代入 得： ，即P点坐标为 .由 ，知焦点 ，直线 的斜率函数 .2 与抛物线有两上交点， 且解得 或函数 的定义域为当 时， 为增函数.例4 如下图：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.分析：此题所要证的命题结论是否认形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D间隔 相等来得矛盾结论.证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存

15、在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.设C、D的坐标分别为 与 .那么l的方程为直线l平分弦CDCD的中点 在直线l上，即 ，化简得：由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义， 到抛物线的准线 的间隔 相等.CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙交换，简化运算.解法一：设

16、那么： ， 即把N点看作定点，那么AB所在的直线方程为： 显然代入 化简整理得：由、得： ，化简得用x、y分别表示 得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点非原点的轨迹上，设 ，那么以OA为直径的圆方程为：设 ，OAOB，那么在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得由+得：例6如下图，直线 和 相交于点M， ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的间隔 与到点N的间隔 相等，假设AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以此题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.解：以

17、 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标令 那么 ，由两点间的间隔 公式，得方程组：解得 或AMN为锐角三角形， ，那么 ，又B在曲线段C上，那么曲线段C的方程为例7如下图，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.1求 .2求ABQ面积的最大值.分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点间隔 公式即可求出 .解：1设由 得： ，由 得 ，同

18、 类似，那么 ，2，当 时， 取最大值 .例8 直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程.分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，那么有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，那么有 解得解得如图， 、 在抛物线上两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，由 ， ，得 .把 代入，得 .直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，又设

19、，依题意，有 ， .故 ， .由 ，知 .又 ， ，故 为第一象限的角.将 、 的坐标代入抛物线方程，得，即 从而 ， ，得抛物线 的方程为 .又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .直线 的方程为 .说明：1此题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的根本方法，它的思路明确，但运算量大，假设不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.2此题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.例9 如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.分析：此题考察抛物线的

20、概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的才能.解：直线 ， ，设 的方程为 ，且 、 .由方程组 ，消去 ，得 ，于是， ， 其中 由， 为正方形， ，可视为平行直线 与 间的间隔 ，那么有，于是得 .两边平方后，整理得， ， 或 .当 时，正方形 的面积 .当 时，正方形 的面积 .正方形 的面积为18或50.说明：运用方程组的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最根本的、贯穿始终的方法，此题应充分考虑正方形这一条件.例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的

21、轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短间隔 .分析：利用抛物线有关性质求解.解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，彗星位于点 处.直线 的方程为 .解方程组 得 ，故 .故 ，得 .由于顶点为抛物线上到焦点间隔 最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点间隔 最近的点.焦点到抛物线顶点的间隔 为 ，所以彗星与地球的最短间隔 为 或 ， 点在 点的左边与右边时，所求间隔 取不同的值.说明：1此题结论有两个，不要漏解;2此题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点间隔 最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点间隔 最

22、近的点是抛物线的顶点.例11 如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.分析：此题考察抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的才能，此题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ， 为圆的直径， ，那么 .设 、 ， ，而 、 在抛物线上，由可知，直线 方程为 ，于是，由方程组消去 ，得 ， .，因此， .说明：此题假如分别求 与 那么很费事，因此把 转化成 是关键所在

23、，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而防止了一些繁杂的运算.11.抛物线y2=2pxp0，过焦点F的弦的倾斜角为0,且与抛物线相交于A、B两点.1求证：|AB|= ;2求|AB|的最小值.1证明：如右图，焦点F的坐标为F ,0.设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tanx- ,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2x2-2p+ptan2x+ =0.此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .设A、B到抛物线的准线x=- 的间隔 分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .2解析：因|AB|=

24、 的定义域是0，又sin21，所以，当= 时，|AB|有最小值2p.12.抛物线y2=2pxp0的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，此题假设推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?解析：1当ABx轴时，m=n=p，2当AB不垂直于x轴时，设AB:y=kx- ,Ax1,y1,Bx2,y2,|AF|=m,|BF|=n,m= +x1,n= +x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-k2p+2px+ =0,此题假设推广到椭圆，那么有 = e是椭圆的离心率;假设推广到双曲线，那么要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = e为双曲线的离心率.13.如右图，M是抛物线y2=x上

25、的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.1假设M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;2假设M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.1证明：设My02,y0，直线ME的斜率为?kk0,那么直线MF的斜率为-k，直线ME的方程为y-y0=kx-y02.由 得ky2-y+y01-ky0=0.解得y0yE= ,yE= ,xE= .同理可得yF= ,xF= .kEF= 定值.2解析：当EMF=90时，MAB=45，所以k=1，由1得E1-y02,1-y0F1+y02,-1+y0.设重心Gx,y，那么有消去参数y0,得y2= x0.14.在平面直角坐标系中，O

26、为坐标原点，两点M1,-3、N5，1，假设点C满足 =?t +1-t tR,点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.1求证：2在x轴上是否存在一点Pm,0，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.假设存在，恳求出m的值及圆心的轨迹方程;假设不存在，请说明理由.1证明：由 =t +1-t tR知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= x-1,即y=x-4.由 x-42=4x x2-12x+16=0.x1x2=16，x1+x2=12，y1y2=x1-4x2-4=x1x2-4x1+x2+16=-16.x1x2+y1y2=0.故 .2解析：存在点P4，0，

27、使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.kOAkOB= =-1.OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.设弦AB的中点为Mx,y，那么x= x1+x2,y= y1+y2.x1+x2=ky1+4+ky2+4=ky1+y2+8=k4k+8=4k2+8.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提

28、问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。“师之概念，大体是从先秦时期的“