[PPT]理想流体动力学_ppt

1、第六章 理想流体动力学 实际流体都有粘性，在流体力学研究中，为了简化问题，引进了理想流体这一假设的流体模型，理想流体的粘度为0。在实际分析中，如果流体粘度很小，且质点间的相对速度又不大时，粘性应力是很小的，把这类流体看成是理想流体。理想流体一般不存在热传导和扩散效应。 理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义，而且对解决某些工程实际问题具有指导意义。本章将对理想流体运动作较为详细的探讨。第一节 平面势流 平面流动是指对任一时刻，流场中各点的速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中物理量（如温度、速度、压力、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标及时间有关。

2、 在实际流动中，并不存在严格意义上的平面流动，而只是一种近似。如果流动的物理量在某一个方向的变化相对其他方向上的变化可以忽略，而且在此方向上的速度很小时，就可简化为平面流动问题处理。（图1） 后面讨论的都是平面势流，势流（有势流动）就是无旋流动，其流场中每个流体微团不发生旋转，角速度第二节 速度势函数和 流函数 一 速度势函数 有势流动（无旋流动）流体微团角速度 ，或 得到 所以上式成立，意味着在流动空间构成一个函数，满足全微分的充分必要条件，用(x,y,z,t)表示，该函数的全微分为： (1) 定常流动，不考虑t的影响，t是参变量全微分存在的充分必要条件：若u=f(x,y,z,t)的各偏导数

3、都存在且连续，则有 函数的全微分 （2） 比较（1）和（2）式，得到 （3）定义函数(x,y,z,t)称为势函数，由可计算得到速度，根据伯努利方程得到流场中压强的分布。速度势函数的特性 1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影 2 存在势函数的流动一定是无旋流动3 等势面与流线正交4 不可压缩流体中势函数是调和函数 特性1 空间曲线s上任取一点M(x,y,z)，M点处流体质点速度分量为vx、vy、vz，取速度势函数的方向导数其中： ， ， 而 ， ， 则速度的分量vx、vy、vz分别在曲线s的切线上的投影之和等于速度矢量本身的投影vs。速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速度分量

4、。特性2 设对某一流动，存在势函数(x,y,z,t)，流动的角速度分量类似的推出可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋的充分必要条件势流场有速度势函数存在。特性3 等势面：在任意瞬时t0，速度势函数取同一值的点构成流动空间一个连续曲面，(x,y,z,t0)=常数。 在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢量 ，求 与点A处速度 的标量积。因为(x,y,z,t0)=C ，所以 d=0得到 这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的，又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂直。 特性4不可压缩流体的连续性方程为 对于有势流动 ， ， 即 ，满足Laplace方程。而满足L

5、aplace方程的函数就叫做调和函数二 流函数 在平面流动中，不可压缩流动的连续性方程为 或写成 （4）（4）是 vydx+vxdy 成为某一函数（x，y，t）全微分的充分必要条件，即 （5）的全微分为 （6）比较（5）和（6），得到 ，符合上式条件的函数（x，y，t）叫做二维不可压缩流场的流函数。 流函数的特性1. 沿同一流线流函数值为常数2. 平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值3. 在有势流动中流函数也是一调和函数特性1s为坐标系XOY的任意一条流线，在s上任取一点作速度矢量，与流线相切，该点的微元流线段在x、y轴上的投影为dx、dy，在x、y轴上的投影为v

6、x、vy 或 由 ， 得到 在流线s上，的增量d为0，说明沿流线（x，y，t）为常数，而流函数的等值线，即（x，y，t）=C就是流线。因此，找到流函数后，可以知道流场中各点速度，还可以画出流线。 特性2 设1、2是两条相邻流线，作其间一曲线AB，求通过AB两点间单位厚度的流量。(见下图） 在AB上作微元线段 , 过微元线段处的速度为， ,单位厚度的流量dq应为通过dx的流量vydx和通过dy的流量vxdy之和，（ vy0 ）沿AB线段积分，由于沿流线流函数为常数，因此 特性3对平面势流 有 将 ， 代入上式得到即 ，满足Laplace方程。所以在平面势流中流函数也是调和函数。 三 流函数和势函

7、数的关系 在平面势流中有 ， ，交叉相乘得 说明等势线族(x,y,z,t)=C1与流函数族(x,y,z,t)=C2相互正交。 在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称为流网。 极坐标(r , )中，径向的微元线段是dr，圆周的微元线段是rd，速度势函数(r , , t)与vr、v的关系是 ，速度流函数(r , , t)与vr、v的关系是 ， 速度势函数和流函数的关系是 ，例1例2例3流线是一族以x轴和y轴为渐近线的双曲线，等势线是以直角平分线为渐近线的双曲线族。将x轴看成是固壁，并且只观察上半平面，则流动沿y轴垂直的自上而下流向固壁，然后在原点处分开，流向两侧。第三节 复势与复速度图1

8、复速度的几何表示例题第四节 几种基本的平面势流一 均匀流二 点源和点汇三 点涡一 均匀流图2 均匀流示意图二 点源和点汇 图3a 点源 图3b 点汇三 点涡 定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径r成反比的流动。又被称为自由涡。 将坐标原点置于点涡处，设点涡的强度为，则任一半径r处流体的速度可由stokes定理得到 , 那么 而 求点涡的速度势函数和流函数 对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到： 等势线是 的线，流线是以坐标原点为圆心的同心圆。点涡的复势是或 图4 点涡示意图第五节 势流的叠加势流叠加原理有两个流动，它们的速度分布函数、速度势函数、流函数、复势函数分别为 、

9、1 、1 、W1和 、2 、2 、W2 ，由于和都满足线性Laplace方程，可以将和分别进行叠加。将两流动合起来的复合流动，其相应量分别为 、 、 、W，存在以下关系：因此 流动变成n个，同样将n个流动叠加，复合流动的相应量定义：叠加多个流动时，所得合成流动的复势即为分流动的复势的代数和，此即势流的叠加原理。一 螺旋流 点汇（源）+点涡 流动形式为流体自外沿圆周切向进入，又从中间不断流出。 点汇的复势为 点涡的复势为 将两者叠加后得到的新流动的复势为得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为 令上式等于常数，可以得到等势线方程 流线方程 等势线和流线为相互正交的对数螺旋线簇，称为螺旋流。点汇+

10、点涡 阴螺旋流点源+点涡 阳螺旋流图5 螺旋流示意图二 偶极子流 点源+点汇 将源点设于A点（-a,0），汇点于B点（a,0），强度都为q，点源的复势为 点汇的复势为将点源和点汇叠加后的新流动的复势为若源点和汇点无限接近，即 ,如果强度不变时，汇点将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动。 若在2a逐渐缩小时，强度q逐渐增强，当2a减小到零时，q应增加到无穷大，以使 保持一个有限值，即 ，在这一极限状态下的流动称为偶极子流，M是偶极矩，方向从点源到点汇。偶极子流的复势为或 新流动的速度势函数和流函数分别为 求等势线方程和流线方程 1等势线方程 由于 ，有得到 整理后 等势线方程为 表示一族圆心

11、在x轴上，并与y轴在原点相切的圆2流线方程 由于 ， 有 得到整理后得流线方程为表示一族圆心在y轴上，并与y轴在原点处相切的圆。图6 偶极子流示意图第六节 圆柱体绕流 设有一速度为 的均匀流，从与圆柱体垂直的方向绕过一半径为r0的无限长圆柱体， 这样的流动看成是平面流动。 均匀流绕过圆柱体时，由于受到圆柱的阻挡，绕过柱体附近的流体质点受到扰动，偏离原来的直线路径，而离柱体越远，扰动越小，在无穷远的地方，完全不受扰动，作均匀流动。 圆柱体绕流可以分为两种情况。 一 圆柱体无环量绕流 二 圆柱体有环量绕流 图7 绕无穷长圆柱的流动一 圆柱体无环量绕流由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动。 1. 势

12、函数和流函数 均匀流和偶极子流的复势分别为 根据势流叠加原理，均匀流和偶极子流叠加形成的新流 动的复势为 那么速度势函数和流函数分别为 (1) 代入 得到直角坐标下的速度势函数和流函数 （2）令 ，即得到零流线方程为零流线是一个以坐标原点为圆心，半径 的圆周和x轴，零流线到A处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点，又重新汇合。将 代入方程（1）中，那么均匀流绕过圆柱体无环量绕流的势函数和流函数可以写成 （ ） （3）图8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动12速度分布 流场中任意一点P（x，y）的速度分量为 （4）在 或 处， ， ，这说明在无穷远处流动变成均匀流。在极坐标系中，速度分量为沿包围圆柱体

13、的圆形周线的速度环量为均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零，故称为圆柱体无环量绕流。当时，在圆柱面上，速度分布为 （5） 说明，流体沿圆柱表面只有切向速度，没有径向速度，符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况。在圆柱面上速度是按照正弦曲线分布的，在 （B点）和 （A点）处， ，A、B二点是分流点，也称为驻点。在 处， 达到最大值， ，即等于无穷远处来流速度的2倍。3. 压力分布圆柱面上任意点的压力，可以由Bernoulli 方程计算将圆柱表面的速度分布(5)代入上式得到 (6)如采用压力系数来表示，根据Bernoulli方程定义将代入上式，得到用表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量

14、，与圆柱体半径、均匀流速度无关，只与表面位置有关。图9 压强系数沿圆柱面的分布4. 合力 从压力分布看出，在圆柱面上压力对称于轴、轴，那么柱面上合力等于。流体作用在圆柱体上的总压力分解成、方向上的分力、，分别为与来流平行和垂直的作用力，称为流体作用在柱体上的阻力和升力。有 （）理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中，圆柱体不受阻力和升力作用。事实上，实际流体由于粘性作用，绕过圆柱产生摩擦力，而且在圆柱绕流后面部分形成脱流和尾迹，流动图形和理想流体绕流截然不同。就是说，在实际流体绕流圆柱体中，会产生阻力。二 圆柱体有环量绕流在前面无环量绕流基础上，让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转，形成有环量绕流

15、。 1. 势函数和流函数设定圆柱顺时针旋转。有环量绕流是由均匀流、偶极子流、点涡叠加而成，其复势分别为 (8)叠加后的复势为其速度势函数和流函数分别为 (9) 2. 速度分布流场中任一点P(r,)处的速度为 (10)当时 ， ，即 的圆周是一条流线，圆柱面上速度分布为 (11) 这说明流体与圆柱体没有分离现象，只有沿着圆周切线方向的速度。当时 ， ， ，说明在远离圆柱体处流体为均匀流。当点涡的强度 时，在圆柱体的上部环流的速度方向与均匀流的速度方向相同，而在下部则相反。叠加的结果在上部速度增高，而在下部速度降低，这样就破坏了流线关于x轴的对称性，使驻点A和B离开了x轴，向下移动。为了确定驻点的

16、位置，令(11)中 ，得到驻点的位置角为 (12)若 ，则 ，圆柱面上的两个驻点左右对称，并位于第三和第四象限内，且A、B两驻点随 值的增加而向下移动，并互相靠拢。若 ，则 ，圆柱面上不存在驻点，驻点脱离圆柱面沿y轴向下移到某一位置。令(10)中的 和 ，得到两个位于y轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。事实上，只有一个在圆柱体外的自由驻点A，全流场由经过驻点A的闭合流线划分为内、外两个区域，外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动，在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流，但流线不是圆形的。如果叠加的点涡强度 ，驻点的位置与上面讨论的情况正好相差180。由此可见，驻点的位置不简单

17、取决于， 而取决于 。图10 均匀流绕过圆柱体有环量的流动3. 压力分布将圆柱面上的速度分布(11)代入Bernoulli方程，得到 (13)4. 合力圆柱体上取一微元线段 ，单位长度上圆柱体所受到的力 ，力沿x和y轴方向上的分量为 沿整个圆柱面进行积分得到 (14)将圆柱面压强(13)代入上式，得到说明圆柱有环量绕流的阻力为零。 （15） 这就是库塔-儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转90确定。 图11 升力的方向第七节 理想

18、流体的旋涡运动 流体质点的旋转角速度 的运动称为有旋运动，又称作漩涡运动。 本节讨论的是漩涡运动的基本概念。一 涡线、涡管和涡束 1. 涡线定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即得到 (1)这就是涡线的微分方程。 2. 涡管 定义: 某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断

19、面称为涡管断面，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。3.涡束涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束。 二 涡通量和速度环量1. 涡通量定义: 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度)dJ (2)对任一微元面积dA而言，有对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为 (3)2.速度环量定义: 某一瞬时在流场中取任意闭曲线 ，在线上取一微元线段 ，速度 在 切线上的分量沿闭曲线 的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。 (4) 表示速度矢量与该点切线方向的夹角。将(4)写成标量积的形式，为 (5)速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针

20、绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。第八节 理想流体旋涡运动的基本定理一 斯托克斯(Stokes)定理 当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡通量之和，这就是斯托克斯定理。 证明: 先证明微元周线的斯托克斯定理，取一微元矩形封闭周线，边长分别为dx、dy，沿此封闭曲线的速度环量等于沿着各边的速度环量之和，绕周线的方向为逆时针，设A点的坐标为（，），速度分量为、，那么，点的坐标为（，），速度分量为 ， 点的坐标为（，），速度分量为 、 ，点的坐标为（，），速度分量为 、 ，求各边速度环量时，取各边中点的速度乘

21、以该边的长度，可得对于微元封闭周线斯托克斯定理得证。对于有限大封闭周线所包围的单连通区域内有许多微元涡束的情况，可以用两组互相垂直的直线将该区域划分为无数个微元矩形，在速度环量总和 的计算中发现，内周线各微元线段的切向速度线积分都要计算二次，而二次所取的方向相反，所以这些线段上的切向速度线积分互相抵消，剩下的只有沿外封闭周线各线段的切向速度线积分的总和 。各微元矩形的涡通量的总和 是通过封闭周线所包围的单连通区域的涡通量 ，有这就是平面上的有限单连通区域的斯托克斯定理的表达式。推广到任意空间曲面，斯托克斯定理都成立。而对于复连通区域可作一些变换，同样可以证实斯托克斯定理成立。例题证明均匀流的速度环量等于零。证：流体以等速度水平方向流动，先求沿图所示的矩形封闭曲线的速度环量，其次求沿图所示圆周线的速度环量同样可证，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等于零。二 汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理 用来描述旋涡运动