[PPT]结构力学之结构的稳定计算讲义

1、第十八章 结构的稳定计算18-2 两类稳定问题计算简例18-1 两类稳定问题概述18-3 有限自由度体系的稳定静力法和能量法18-4 无限自由度体系的稳定静力法18-5 无限自由度体系的稳定能量法18-6 刚架的稳定矩阵位移法18-7 组合杆的稳定18-8 拱的稳定1前面的各个章节讨论了各类结构在外因作用下内力和位移的计算方法。在结构设计中内力计算要确定结构是否有足够的强度，位移计算要确定结构是否有足够的刚度。工程设计的实践证明，在不少情况下，仅以以上两种计算，来判断结构的可靠性是不够的。对于由柔性杆件和压弯杆件所组成的结构，例如，梁、桁架、拱、薄壁结构等，尤其如此。即是说：结构可能强度安全但

2、是稳定不安全。 从现在的结构设计的发展趋势看，趋向于轻质的大跨形式(近代工程的优化设计)，对结构的稳定性要求非常严格，结构设计必须考虑三个方面：强度、刚度和稳定。218-1 两类稳定问题概述在材料力学课中大家已经对“压杆的稳定问题”进行过讨论，在此，我们对杆件结构的各种稳定问题作进一步的讨论。在结构设计中，应当对结构进行强度验算和稳定验算。而强度验算是最基本的必不可少的，而稳定验算则是在某些情况下显得重要。如薄壁结构(与厚壁结构相比)、高强度材料的结构(与低强度材料的结构砖石结构、混凝土结构相比)、主要受压的结构(与主要受拉的结构相比)容易丧失稳定，稳定验算对这些结构显得更为重要。结构的稳定计

3、算涉及结构的平衡状态。3一、结构的三种平衡状态结构的三种平衡状态(从稳定性角度考察)：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。解释：设结构处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置。1、稳定平衡状态：当干扰消失后，如结构回到原来位置，则原来的平衡状态称为稳定平衡状态。2、不稳定平衡状态：当干扰消失后，结构继续偏离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。3、中性平衡状态：结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的状态称为中性平衡状态。4二、结构稳定计算理论1、小挠度理论：采用小挠度理论计算可以用比较简单的方法得到基本正确的结论。工程上通常采用小挠度理论进行计算。2、大挠度理论：

4、大挠度理论是比较复杂的理论，利用其计算可以得到更为精确的结论。但是，计算的难度相当大，用到比较高深的数学知识。三、结构的失稳结构失稳：随着荷载的增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称失稳。5结构失稳的两种基本形式：分支点失稳、极值点失稳。1、分支点失稳(1) 基本情况：图18-1a所示的简支压杆的完善体系(理想体系)，杆件轴线是理想的直线(没有初曲率)，荷载P是理想的中心受压荷载(没有偏心)。(a)Pl/2l/2图18-1(b)PCBAODDI(稳定)II(小挠度理论)II(大挠度理论)I(不稳定)P1P2Pcr6(2) P-曲线随着

5、P的逐渐增大，P与中间点挠度的关系曲线称为P-曲线(平衡路径)。(3)过程分析当P1Pcr=2EI/l2时，压杆只是单纯受压。不发生弯曲变形(挠度=0)，压杆处于直线形式的平衡状态(称为原始平衡状态)。其P-曲线用直线OAB表示，称为原始平衡路径。此时，若压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。所以，当P1Pcr=2EI/l2时，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。亦即是说：这时存在两种形式的平衡状态。 与此相应，在图b中有两条不同的P-曲线：原始平衡路径I(BC)和第二条平衡路径II(

6、根据大挠度理论，由曲线BD表示；如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD)。可以看出：这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。即：若压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点的原始平衡状态，而是继续弯曲，直到D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。所以，当P2 Pcr=2EI/l2 时，在原始的平衡路径I上，点C对应的平衡状态是不稳定的。8(4) 分支点分支点：两条平衡路径I和II的交点称为分支点。分支点的意义：分支点B将原始平衡路径I分为两段：OB段上的点属于稳定平衡。BC段上的点属于不稳定平衡。即：在分支点B上原始平衡路径I和新平衡路径II同时并存，出现平衡形式的二重

7、性，原始平衡路径I由稳定平衡转为不稳定平衡，出现稳定性的转变。分支点失稳：具有原始平衡路径由稳定平衡转为不稳定平衡特征的失稳形式称为分支点失稳。临界荷载和临界状态：分支点对应的荷载称为临界荷载，分支点对应的状态称为临界状态。(5) 分支点失稳现象举例(图18-2a、b、c)特征：在分支点P=Pcr处，原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。9(a)PcrPcr(b)qcr(c)Pcr图18-2(a) 承受结点荷载的门式刚架：在原始平衡形式中，各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中，刚架产生侧移，出现弯曲变形。(b) 承受水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯受压，拱轴保持为圆

8、形；在新的平衡形式中，拱轴不再保持为圆形，出现压弯组合变形。(c) 端部受荷载作用的悬臂窄条梁，在原始平衡形式中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于斜弯曲和扭转状态。10二、极值点失稳(1) 基本情况：非完善体系。压杆具有初曲率和承受偏心荷载(图18-3a、b)。非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。(2) P-曲线按小挠度理论：其P-曲线如右图的曲线OA所示。在初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快，当P接近中心压杆的欧拉临界荷载Pe时，挠度趋于无穷大。 按大挠度理论：其P-曲线由曲线OBC表示。(c)PB (极值点)PeACPcrO(a)P图18-3(b)P11(3) 极值点和极

9、值点失稳B点为极值点，在极值点荷载达到极大值。在极值点前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的；在极值点后的曲线段BC，其相应的荷载反而下降，平衡状态是不稳定的；在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。极值点失稳：在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡的失稳形式称为极值点失稳。 极值点失稳的特征：平衡形式不出现分支现象，而P-曲线具有极值点。一般说来，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。(4)特例扁拱式结构失稳时可能伴随有“跳跃”现象。12图18-4a所示的扁桁架，矢高为f，高跨比f/l1。在跨度中点作用竖向荷载P，产生竖向位移。其P-曲线如图18-4b所示。(a)Pl/2l/2f(b

10、)PABCEDFGPcr-Pcr图18-4这里我们设想通过一个控制机构进行加载，P值可为正值或负值(图18-4c)。(c)ffffA点P=0PcrB点P=0P=0C点E点F点D点PcrPcr13在初始加载阶段，平衡路径由图18-4b中的实线AB表示，平衡状态是稳定的，在A点，PA=0，在B点出现极值点，相应的荷载极值为PB=Pcr。极值点B以后，平衡路径由虚线BCD表示，荷载的代数值减少，C点的PC=0，在D点出现下极限点，PD=-Pcr。BCD线上的点对应于不稳定平衡。下极限点D以后，荷载的代数值又上升，E点的PE=0，F点的PF=Pcr。如果不存在控制机构，则实际的P-曲线应为ABFG，在

11、极值点B以后有一段水平线BF，此时结构发生跳跃后，达到F点对应的新平衡位置。F点以后的平衡路径FG又属于稳定平衡。在本例中，通过人为控制进行加载，解释了扁桁架在荷载P的作用下，由稳定平衡状态到新的稳定平衡状态的跳跃现象。目的是告诉我们，实际工程结构一般不允许发生跳跃，应取极值点B相应的荷载为临界荷载。1418-2 两类稳定问题计算简例主要内容：(1) 用单自由度体系说明两类失稳问题的具体分析方法；(2) 分析完善体系的分支点失稳问题；(3) 分析非完善体系的极值点失稳问题；(4) 用大挠度理论得出精确结果；(5) 用小挠度理论得出近似结果。一、单自由度完善体系的分支点失稳基本情况：单自由度完善

12、体系。图18-5a所示的刚性压杆，承受中心压力P，底端A为铰支座，顶端B有水平弹簧支承，其刚度系数为k。15(1) 按大挠度理论分析原始平衡形式(图18-5a)：杆AB处于竖直位置时，体系能够处于平衡。(a)kBPlA图18-5问题：考察图18-5b所示的倾斜位置是否还存在新的平衡形式。(b)BPABRl图18-5b所示状态的平衡条件：MA=0(a)式中，弹簧的反力R为：即可得出：(b)方程(b)有两个解：(c)(d)16(c) 解代表原始平衡形式，其P-曲线由直线OAB表示，称为原始平衡路径I(图18-6)；图18-6ABI(不稳定)II(不稳定)I(稳定)OCPcr=klP(d) 解代表新

13、的平衡形式，其P-曲线由直线AC表示，此即为第二平衡路径II(图18-6)。讨论分支点：A点是两条路径的交点。A点所对应荷载为临界荷载。临界荷载为：(e)A点将原始平衡路径I分为两段：OA上的点属于稳定平衡，AB上的点属于不稳定平衡。第二路径II，当增大时，荷载反而减小；路径II上的点属于不稳定平衡。 17分支点A处的临界平衡状态也是不稳定的。注意：对这类具有不稳定分支点的完善体系，在进行稳定验算时要特别小心，一般应当考虑初始缺陷(初曲率、偏心)的影响，按非完善体系进行验算。(2) 按小挠度理论分析设1，则式(a)、(b)简化为 (f)(g)其第一个解仍为式(c)，第二个解为： (h)图18-

14、7ABI(不稳定)II(随遇平衡)I(稳定)OCPcr=klP分析：两条平衡路径I和II如图18-7所示。其中路径II简化为水平直线，因而路径II上的点对应于随遇平衡状态。 18与大挠度理论分析的结果比较可以看出：小挠度理论能够得出关于临界荷载的正确结果见式(e)，但是未能反映当较大时平衡路径II的下降趋势；而平衡路径II对应于随遇平衡状态的结论，则是由于采用假定而带来的一种假象。 二、单自由度非完善体系的极值点失稳基本情况：图18-8a所示的单自由度非完善体系，杆AB有初倾角，其余同前。图18-8(a)kBPlA(b)BPABRl(1) 按大挠度理论分析加载一开始，杆件就进一步倾斜。此时弹簧

15、力反为：平衡条件为： MA=019可求得：(i)讨论不同初倾角时的P-曲线(见图18-9a)。其中=0为完善体系。观察P-曲线，其具有极值点。图18-9(a)=0.1=0=0=0.1=0.2=0.2令 ，得：相应的极值荷载为在图18-9b中给出Pcr-曲线。分析可知：这个非完善体系的失稳形式是极值点失稳。临界荷载Pcr随初倾角而变， 越大，则Pcr越小。20图18-9(b)0.6950.5360.4150.30.20.10(2) 按小挠度理论分析设：1，1，则式(i)和(j)简化为：(k)(l)在图18-10中给出P-曲线。=0=0.1=0.2=010.80.60.40.200.20.40.6

16、0.81.01.21.41.6图18-10分析可知：各条曲线都以水平直线P/(kl)=1为渐近线，并得出相同的临界荷载值。与大挠度理论的结果相比可知：对于非完善体系，小挠度理论未能得出随着的增大Pcr会逐渐减小的结论。21三、几点认识(1) 结构的失稳存在两种基本形式，一般说来，完善体系是分支点失稳；非完善体系是极值点失稳。(2) 分支点失稳的特征是：存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征是：虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。(3) 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其优点，特别是在分支点失稳问

17、题中通常也能得出临界荷载的正确值，但也应注意它的某些结论的局限性。特别指出：后面只讨论完善体系分支点失稳问题，并根据小挠度理论求临界荷载。22 18-3 有限自由度体系的稳定静力法和能量法 内容：有限自由度体系分支点失稳问题，按小挠度理论求其临界荷载。确定临界荷载的两类方法：(1) 静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法；(2) 能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。本节以单自由度体系说明以上两种解法。基本情况：图18-11a的单自由度体系，AB是刚性压杆，A端为弹性支承，转动刚度系数为k。求：临界荷载Pcr。23一、静力法已知：分支点失稳临界状态的静力特征是平衡形式的二重性。要点：寻求

18、分支点，确定临界荷载。分支点：原始平衡路径I和新的平衡路径II的交叉点。(b)BPlAMA=kB(a)BPlAk图18-11原始平衡形式：杆AB处于竖直位置时的平衡形式。新的平衡形式：杆AB处于倾斜位置时的新的平衡形式。(a)新的平衡形式的确定：根据小挠度理论，图18-11b的体系的平衡方程为：MA=024因为弹性支座的反力矩为MA=k，所以由式(a)得：(b)特别指出：平衡方程是针对变形后的结构新位置写出的，即是说，要考虑结构变形对几何尺寸的影响。在应用小挠度理论时，由于假设位移是微量，所以结构中的力分为主要力(P)和次要力(MA)两类。分析方程(b)：方程是以位移为未知量的齐次方程。齐次方

19、程有两类解：零解和非零解。零解：=0，对应于原始路径I。非零解： 不为零，对应于新的平衡形式。为了得到非零解，方程(b)的系数应为零，即：(c)式(c)称为特征方程。25由特征方程可知，第二平衡路径II为水平直线。由两条路径的交点得到分支点，分支点对应的荷载为临界荷载。因此，临界荷载为(d)二、能量法图18-11所示的体系，把荷载P看作重量；体系的势能EP为弹簧应变能U与荷载势能UP之和。弹簧应变能为注意：是静荷载做功荷载势能为26这里为B点的竖向位移：因此有体系的势能为(e)应用势能驻值条件 ，可得(f)式(f)和式(c)是等价的，可见静力法和能量法这两种方法都导出了相同的方程。也说是说，势

20、能驻值条件等价于用位移表示的平衡方程。由(f)式可根据位移有非零解的条件导出特征方程(c)，从而求得临界荷载Pcr。27综上可知：在分支点失稳问题中，临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。能量法是根据临界状态的能量特征求临界荷载的。进一步讨论势能EP由式(e)可以看出：势能EP是位移的二次式，其关系曲线是抛物线。(e)如果Pk/l，则关系曲线如图18-12a所示。当为任意非零值时，势能EP恒为正值，即势能是正定的。当体系处于原始平衡状态(=0)时，势能EP为极小，因而原始平衡状态是稳定平衡状态。(a)EPOPPcr(b)EPOP=Pcr图18-12如果Pk/l，则关系曲线如图18-

21、12c所示。当为任意非零值时，势能EP恒为负值，即势能是负定的。当体系处于原始平衡状态时，势能EP为极大，因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。因此，临界状态的的能量特征还可表述为：在荷载达到临界值的前后，势能EP由正定过渡到非正定，对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。29例18-1 图18-13a所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。体系在D端有压力P作用。试用两种方法求其临界荷载Pcr。(a)ABCDPlllkk(b)ABCDPXABCDy1y2R2R1图18-13解：(1) 静力法设体系由原始平衡状态(水平位置)

22、转到任意变形状态(图18-13b)，设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为同时，A点和D点的支座反力为对B点取矩求YA对C点取矩求YD30变形状态的平衡条件为(C左)(B右)即(a)式(a)是关于y1和y2的齐次方程。如果系数行列式不等于零，即则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式是唯一的平衡形式。如果系数行列式等于零，即(b)31则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系还存在新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。方程(b)就是稳定问题的特征方程。展开式(b)，得由此

23、解得两个特征值：其中最小的特征值叫做临界荷载，即将特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量。如将P=kl/3代回，则得y1=-y2，相应的变形曲线如图18-14a所示。如将P=kl代回，则得y1=y2，相应的变形曲线如图18-14b所示。32图18-14(a)y1P=kl/3y2=-y1(b)y1P=kly2=y1(2) 能量法现在讨论临界荷载的能量特征。在图18-13b中，D点的水平位移为(c)弹性支座的应变能为(d)荷载势能为(e)(f)体系的势能为33应用势能驻值条件：得：(g)式(g)就是前面导出的式(a)。也就是说，势能驻值条件等价于用位移表

24、示的平衡方程。能量法以后的计算步骤与静力法完全相同。势能驻值条件(g)的解包括全零解和非零解。求非零解时，先建立特征方程(b)，然后求解，得出两特征荷载值P1和P2，其中最小的特征值即为临界荷载Pcr。归结起来，能量法求多自由度体系临界荷载Pcr的步骤如下：(1) 写出势能表达式，建立势能驻值条件。34(2) 应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值Pi(i=1、2、n)。(3) 在Pi中选取最小值，即得到临界荷载Pcr。下面对势能EP进行定性讨论。式(f)可改写为由此看出，势能EP是位移y1和y2的二次式。下面针对不同的P值，分别说明势能EP的特征。如果Pkl/3，则势能EP是

25、正定的。如果P=kl/3=Pcr，则EP是半正定的(当y1=-y2时， EP=0)。如果kl/3Pkl，则势能EP是负定的。3518-4 无限自由度体系的稳定静力法研究问题：无限自由度体系的稳定问题。主要内容：压杆稳定。解题思路：(1) 对变形状态建立平衡方程； (2) 根据平衡形式的二重性建立特征方程； (3) 由特征方程求出临界荷载。与有限自由度体系不同的是：在无限自由度体系中，平衡方程是微分方程不出代数方程。36一、方法例题(1) 基本情况：图18-15所示的等截面压杆，下端固定，上端有水平支杆，静力法求临界荷载。图18-15xEIlRPyyy0 x(2) 受力分析与平衡方程的建立在临界

26、状态下，体系出现新的平衡形式(图中虚线)，柱顶有未知的水平反力R，则弹性曲线的微分方程为(3) 微分方程的解上式可改写为37微分方程的解为：求导可得常数A、B和未知力R可由边界条件确定。(4) 确定常数A、B，建立特征方程当x=0 时，y=0，可得A=0。当x=l 时，y=0和y=0，由此得出：(a)因为y(x)不恒等于零，所以A、B和R不全为零。可知，式(a) 中的系数行列式应等于零，即：38展开行列式可得超越方程：上式是一个超越方程，可用试算法或图解法求解。(5) 解超越方程采用图解法时，作y=l和y=tgl两组线，其交点即为方程的解答(图18-16)，结果有无穷多个解。图18-16如何选

27、解：因弹性杆有无限个自由度，所以有无穷多个特征荷载值，其中最小的一个是临界荷载Pcr(利用P=2EI来求)。由(l)min=4.493，可求得39二、例题例18-2 图18-17所示等截面压杆，下端铰支，上端水平支撑，试用静力法求其临界荷载。图18-17xEIlRPyyx解：(1) 受力分析与平衡方程的建立在临界状态下，体系出现新的平衡形式(图中虚线)，弹性曲线的微分方程为(2) 微分方程的解上式可改写为这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为：40常数A、B和未知力R可由边界条件确定。(3) 确定常数A、B，建立特征方程当x=0 时，y=0，可得：A=0。当x=l 时，y=0，可得：Bs

28、inl=0因为y(x)不恒等于零，故A、B不全为零。所以有sinl=0计算可得： l=n (n=1、2、)由此得当n=1时有上式称为两端铰支、细长压杆的临界荷载公式，即欧拉公式。41例18-3 试求图18-18所示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。(a)BP刚性杆I1lACI2=nI1D(b)BAP(c)BAPcryyI1xy0 xR图18-18解：图18-18b所示为此排架的计算简图。这里，柱AB在B点具有弹性支座，它反映柱CD所起的支承作用，弹性支座的刚度系数 (在第十三章中计算过 )。在临界状态下，杆AB的变形如图18-18c所示，这时在柱顶处有未知的水平力R，弹性曲线的微分方程为42并

29、可改写为上式的解为求导可得常数A、B和未知力R可由边界条件确定。当x=0时，y=0，由此求得A=0。当x=l时，y=和y=0，由此有：由于R=k，即=R/k，所以上式变为43因为y(x)不恒等于零，所以A、B和R不全为零。可知上式的系数行列式应等于零，即：展开上式得利用P=2EI1并化简，得到如下的超越方程(a)44为了求这个超越方程，需要事先给定k值(即给出I1/I2的比值)。下面讨论三种情形的解：(1) I2=0，则k=0，这时方程(a)变为当EI1为有限值时，因为 ，若EI1为有限值则也为有限值，即l，所以这个方程的最小根为因此这正是悬臂柱的情况，计算长度(在例18-2中我们已经得出了两

30、端铰支、细长压杆的临界荷载公式，其它情况均是和这种情况进行对比的)为l0=2l。45(2) I2=，则k=，这时方程(a)变为这个方程的最小根为因此这相当于上端铰支、下端固定的情况，计算长度为l0=0.7l。(3) 一般情况是k在0的范围内，l在/24.493范围内变化。当I2=I1时，则 。这时方程(a)变为下面用试算法求解。先将上式表示为如下形式：46当l=2.4时， tgl=-0.916， D=1.192当l=2.0时， tgl=-2.185， D=-1.518当l=2.2时， tgl=-1.374， D=-0.025当l=2.21时， tgl=-1.345， D0由此求得l=2.21，

31、因此所以，当I2=I1时，计算长度为l0=1.42l。例18-4 试求图18-19所示阶形柱的特征方程。I1yPPcrI2xll2l1图18-19解：弹性曲线微分方程为47上式可改写为(a)式中式(a)的解为积分常数A1、B1和A2、B2由上下端的边界条件和x=l1处的变形连续条件确定。当x=0时，y1=0，由此得 B1=0。当x=l时， ，由此得当x=l1时，y1=y2，和 ，由此得48由系数行列式等于零，可求得特征方程为这个方程只有当给定I1/I2和l1/l2的比值时才能求解。4918-5 无限自由度体系的稳定能量法研究问题：无限自由度体系的稳定问题。主要内容：压杆稳定。解题思路：(1)

32、对于满足位移边界条件的任一可能位移状态，可求得势能EP；(2) 由势能的驻值条件EP=0，可得包含待定参数的齐次方程组；(3) 由齐次方程组非零解条件，知其系数行列式的值应为零，由此可求得特征荷载值，临界荷载Pcr是特征值中的最小值。 50具体算法以图18-20a所示压杆为例说明。(a)PBAlxy图18-20设压杆有任意可能位移，变形曲线为(a)其中i(x)是满足位移边界条件的已知函数，ai是任意参数，共n个。这样，原体系被近似地看作具有n个自由度的体系。先求弯曲应变能U，得(14-2)再求与P相应的位移(压杆顶点的竖向位移)。先取微段AB进行分析(18-20b)。弯曲前，微段AB的原长为d

33、x。51(b)dydxdyABBBds=dxA图18-20弯曲后，弧线的AB的长度不变，即ds=dx。由图可知，微段两端点竖向位移的差值d为(18-3)因此(18-4)荷载势能UP为(18-5)可得体系的势能为(18-6)52由势能驻值条件EP=0，即(18-7)得(18-8)令(18-9)(18-10)则得(18-11a)(18-11b)可简写为53式(18-11)是对n个未知参数a1、a2、an的n个线性方程。根据特征荷载和特征向量的性质，参数a1、a2、an不能全为零，因此系数行列式应为零，即(18-12)其展开式是关于P的n次代数方程，可求出n个根，由其中的最小根可确定临界荷载。上面介

34、绍的方法叫做里兹法。它将原来的无限自由度体系近似地化为n次自由度体系，所得的临界荷载近似解是精确解的一个上限。对此现象可作如下解释：求近似解时，从全部的可能位移状态中只考虑其中的一部分，使体系的自由度有所减少(变为有限自由度)。这种作法相当于对体系施加某种约束，体系抵抗失稳的能力就会得到提高，因而这样求得的临界荷载就是实际临界荷载的一个上限。54例18-5 图18-21a所示为两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。(a)xPEIyl图18-21解：简支压杆的位移边界条件为 当x=0和x=l时，y=0在满足上述边界条件的情况下，我们选取三种不同的变形形式进行计算。(1) 假设挠曲线为抛物

35、线相当于在式(18-1)中只取一项则求得55由势能驻值条件 ，得为了求非零解，要求a1的系数为零，得(2) 取跨中横向集中力Q作用下的挠曲线作为变形形式(图18-21b)，则当xl/2时：(b)xPyl/2Ql/2图18-2156求得由此，可求得(3) 假设挠曲线为正弦曲线则求得由此，可求得57(4) 讨论假设挠曲线为抛物线时求得的临界荷载值与精确值相比误差为22%，这是因为所设的抛物线与实际的挠曲线差别太大的缘故。根据跨中横向集中力作用下的挠曲线而求得的临界荷载值与精确值相比误差为1.3%，精度比前者大为提高。如果采用均布荷载作用下的挠曲线进行计算，则精度还可以提高。正弦曲线是失稳时的真实变

36、形曲线，所以由它求得的临界荷载是精确解。例18-6 图18-22所示为一等截面柱，下端固定、上端自由，试求在均匀竖向荷载作用下的临界荷载qcr。yxqlxdx图18-22解：坐标系如图。两端位移边界条件为58当x=0时，y=0； 当x=l时，y=0。根据上述位移边界条件，假设变形曲线为先求应变能再求外力作的功。由于微段dx倾斜而使微段以上部分的荷载向下移动，下降距离d可由式(18-3)算出。这部分荷载所作的功为因此所有外力作的功为59体系的总势能为由EP=0，可求得临界荷载qcr的近似解为与精确解 相比，误差为5.5%。例18-7 图18-23所示为两端简支的变截面柱，任一截面x处的惯性矩为

37、，对于中间截面来说， I为对称分布。BI0PxC2I0I0Ayxl/2l/2图18-23解：简支杆的位移边界条件为当x=0时，y=0； 当x=l时，y=0。60根据上述位移边界条件，变形曲线可假设为三角级数：(a)级数中的每一项都是满足位移边界和对称条件的。(1) 取级数(a)的第一项作为近似的变形曲线，即设(b)在位移表示式(b)中只含有一个任意参数a1。这就是说，我们把原来的无限自由度体系近似地作为单自由度体系来看待。61由此可求得(c)这是按单自由度体系求得的结果。(2) 取级数(a)的前两项作为近似的变形曲线，即设(d)这里含有两个任意参数a1和a3，相当于把原体系近似地按两个自由度体

38、系看待。根据式(d)，求得U和UP如下62由驻值条件可得(e)为了得到a1和a3的非零解，令方程组(e)的系数行列式为零：63基展开式为由此求出最小根，即得出临界荷载如下：(f)由式(c)和(f)看出，两次计算结果已很接近，相对差值不到1%，由此可以了解所得近似结果的精确程度。6418-7 组合杆的稳定大型结构中的压杆，如桥梁的上弦杆、厂房的双肢柱、起重机和无线电桅杆的塔身等，常采用组合杆的形式。组合杆根据构造形式可分成缀条式和缀板式两种。组合杆可以按精确法计算，也可以采用一些假设后按静力法进行近似计算。本节则按能量法进行近似计算。一、缀条式组合杆缀条式组合杆(图18-27)可按桁架进行计算，

39、柱肢和缀条间的连结结点均可视为铰结点。丧失稳定时，桁架中各杆(即柱肢和缀条)只引起附加的轴力。假设组合杆失稳时的变形曲线为半波的正弦曲线：65图18-27Pxd12A1A2lxy(a)组合杆轴线上任意点的弯矩为剪力为组合杆柱肢的轴力N和缀条的轴力N按桁架近似计算，可得式中b为组合杆肢宽，为斜缀条与水平轴的夹角(见图18-27b、c)。bb/2b/2A(b)(c)bNNNQM66桁架的应变能为：式中s为各杆杆长。将轴力代入后有式中A为终结杆的面积，A1为上斜缀条的面积，A2为下斜缀条的面积。若组合杆在两个平面内都有缀条(图18-27b)，计算A1和A2时应加倍。n为组合杆的结间数，对于上、下斜杆来说，每一结间只有一杆，故总和数为n杆之和；对于弦杆来说，每一结间