自动控制原理教案-自控学习与解题指导

1、最新整理课程学习指导与解题指导理工学院自动化系二零零三年七月最新整理第一章自控理论基本概念本章作为绪论，已较全面地展示了控制理论课程的全貌，叙述了今后 在课程的学习中要进行研究的各个环节内容和要点，为了今后的深入学习 和理解，要特别注意本章给出的一些专业术语及定义。1、基本要求(1)明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和 自控系统等概念。(2)正确理解三种控制方式，特别是闭环控制。(3)初步掌握由系统工作原理图画方框图的方法，并能正确判别系统 的控制方式。(4)明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征，特别 是按数学模型分类的方式。(5)明确对自控系统的基本要求，正

2、确理解三大性能指标的含义。2.内容提要及小结几个重要概念自动控制 在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象的被 控量自动地按预先给定的规律去运行。自动控制系统指被控对象和控制装置的总体。这里控制装置是一个广 义的名词，主要是指以控制器为核心的一系列附加装置的总和。共同构成 控制系统，对被控对象的状态实行自动控制，有时又泛称为控制器或调节 器。被控对象给定元件测量元件自动控制系统柠制装置卡制器)比较元件于仝市U茨:直(于仝制福9 、一 一八放大兀件执行元件校正元件负反馈原理 把被控量反送到系统的输入端与给定量进行比较，利用 偏差引起控制器产生控制量，以减小或消除偏差。三种基本控制方式实现自

3、动控制的基本途径有二：开环和闭环。实现自动控制的主要原则有三：主反馈原则一一按被控量偏差实行控制。补偿原则一一按给定或扰动实行硬调或补偿控制。复合控制原则一一闭环为主开环为辅的组合控制。(3)系统分类的重点重点掌握线性与非线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、最新整理判别方法要准确理解。线性系统描述常系数微分方程传递函数频率特性状态方程时域法分析法 根轨迹法频率法状态方程时变变系数微分方程状态方程分析法时域法状态空间法非本质分析法线性化法非线性系统 描述 非线性微分方程 分类描述函数法 状态方程本质分析法 相平面法状态空间法(4)正确绘制系统方框图绘制系统方框图一般遵循以下步骤：搞清系统

4、的工作原理，正确判别系统的控制方式。正确找出系统的被控对象及控制装置所包含的各功能元件。确定外部变量(即给定值、被控量和干扰量)，然后按典型系统方框图的连接模式将各部分连接起来。(5)对自控系统的要求对自控系统的要求用语言叙述就是两句话：要求输出等于给定输入所要求的期望输出值；要求输出尽量不受扰动的影响。包量一个系统是否完成上述任务，把要求转化成三大性能指标来评价：稳定一一系统的工作基础；快速、平稳一一动态过程时间要短，振荡要轻。准确一一稳定精度要高，误差要小。最新整理解题示范例1-1 图11为液位自动控制系统示意图。 在任何情况下，希望液面 高度C维持不变。试说明系统工作原理，并画出系统原理

5、方框图。解：1、工作原理：闭环控制方式。当电位器电刷位于中点位置时，电动机不动，控制阀门有一定的开度， 使水箱中流入水量和流出水量相等，从而液面保持在希望高度上。当进水 或出水量发生变化，例如液面下降，通过浮子和杠杆检测出来，使电位器 电刷从中点位置上移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机通 过减速器开大阀门开度，使液位上升，回到希望高度。电位器电刷回到中 点，电动机停止。2、被控对象是水箱，被控量是水箱液位，给定量是电位器设定位置 (代 表液位的希望值)。主扰动是流出水量。系统的方框图如图12所示。控制器注入(II)控制系统方块图图1 2液位自动控制系统方框图。最新整理例1 2图13

6、为自动调压系统。试分析系统在负载电流变化时的稳 压过程，并绘出系统方框图。图13自动调压系统解：1、工作原理：顺馈控制。当负载电流If变化时，发电机 G的电枢绕组压降也随之改变，造成端 电压不能保持恒定，因此，负载电流变化对稳压控制来说是一种扰动。采 用补偿措施，将电流If在电阻R上的压降检测出来，通过放大，来改变发 电机的励磁电流If,以补偿电枢电压的改变，使其维持恒定。2、被控对象是发电机 G,被量是电枢端电压 IF,给定值是励磁电压 IF, 扰动量是负载电流If。系统方框图为1 4所示。图1 4自动调压系统方框图例1 3直流稳压电源原理图为图 1 5所示，试画出方框图，分析工 作原理。图

7、15 直流稳压电源原理图解：1、工作原理：反馈控制实际输出电压12由R和R组成分压器检测出来，与给定值5进行比较,最新整理产生的偏差电压 BG进/行放大，作用于BG。由BG对输出电压进行调整, 这里的偏差电压仅随 吐变化。由BG反相放大后产生UC,这是系统的控制量c 通过BG进行输出电压自动调节，维持 U恒定。假如 U2/, U/, Ibi/, Uc/, 5/, UEd/, U/。若 U/一 UL/一 I bi/一 UC/一 Ib2/一 UEd/一 U2/图1 6稳压电源方框图Ui是系统的供电输入电压，若电网波动，也会使 U变化。因此，对系 统来说，Ui的变化是造成 U2电压波动的干扰因素，属

8、于扰动信号，也可以 通过反馈回路加以抑制。2、控对象不是一个具体的设备，而是一个稳压过程，被控量是输出电 压L2,给定值是 5,扰动量是U。当然，当系统输出接负载后，负载的变 化，将对输出电压产生直接的影响，是主扰动。例1-4角位置随动系统原理图如图 17所示。系统的任务是控制工作机械角位置Q,随时跟踪手柄转角 Q。试分析其工作原理，并画出系统方框图。图1 7角位置随动系统原理图解：1、工作原理：闭环控制。只要工作机械转角8 c与手柄转角8一致，两环形电位器组成的桥式电 路处于平衡状态，无电压输出。此时表示跟踪无偏差。电动机不动，系统 静止。如果手柄转角8 变化了，则电桥输出偏差电压，经放大器

9、驱动电动机转 动。通过减速器拖动工作机械向0 r要求的方向偏转。当8 c= 8 r时，系统达 到新的平衡状态，电动机停转，从而实现角位置跟踪目的。2、系统的被控对象是工作机械，被控量是工作机械的角位移。给定量最新整理是手柄的角位移。控制装置的各部分功能元件分别是：手柄完成给定，电 桥完成检测与比较，电动机和减速器完成执行功能。系统方框图见图1 8。图1-8位置随动系统方框图。第二章自控系统的数学模型本章讲述的内容很多，牵扯到数学和物理系统的一些理论知识，有些需要进一步回顾，有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描 述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。学习和复习好这些基

10、础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。1、基本要求(1)确理解数字模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静 态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。(2) 了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。(3)掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构，运动模态与特征根的关系，零输入响应，零状态响应等概念，有清楚的理解。(4)会用MATLAB方法进行部分方式展开。对低阶的微分方程，能用 部分分式展开法或留数法公式进行简单计算。(5)正确理传递函数的定义、性质和意义，特别对传递函数微观结构的 分析要准确掌握。(6)正确理解由传递函数派生出来的系统的开环

11、传递函数，闭环传递函数，前向传递函数的定义，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数， 扰动输入下闭环传递数函数， 误差传递函数，典型环节传递函数，能够熟练 掌握。(7)掌握系统结构图和信号流图两种数学图形的定义和组成方法，熟练地掌握等效变换代数法则，简化图形结构，并能用梅逊公式求系统传递函数。(8)正确理解两种数学模型之间的对应关系， 两种数学图型之间对应关 系，以及模型和图形之间的对应关系， 利用以上知识，熟练地将它们进行相 互转换。2、内容提要及小结最新整理本章主要介绍数学模型的建立方法，作为线性系统数学模型的形式，介绍了两种解析式和两种图解法， 对于每一种型式的基本概念， 基本建立方

12、法 及运算，用以下提要方式表示出来。(1)微分方程式物理、化学及专业上的基本定律甘小皿人中间变量的作用基本概念,简化性与准确性要求小偏差线性化理论原始方程组线性化直接列写法、日 消中间变量化标准形基本方法由传递函数转换法由结构图由信号流图C (s) M (s)- M (s)-C(s) R(s) N(s)C(s) M(s)R(s)R(s)N(s)N(s)d-ip -N ( p)c(t) M (p)r (t) dt微分方程传递函数 微分方程传递函数微分方程,.、一零状态解方程求解掌握拉氏变换法求解微分方程;二： 零输入解应用电枢控制直流电动机 常用重要例题建模磁场控制直流电动机 直流电机调速系统(

13、2)传递函数最新整理线性定常系统定义：比值迫零初始条件 R（s） 一对确定的输入输出零点基本概念 微观结构 极点（零极点分布图与运动 模态对应）传递函数标准解析式方程式传递函数典型环节零极点分布图单位阶跃响应特性ds 一基本方法图解法定义法由微分方程dt传递函数由结构图化简传递函数由信号流图梅逊公式 传递函数常用重要公式及传递函数G公式G(s)_G1 GkG前1La（适用于单回路）（适用于回路两两交叉）控制输入下:重要传递函数扰动输入下:Gr (s)器,Gr（S）需Gd（s）器,GE(s)D(s)（3）结构图数学模型结构的图形表示基本概念可用代数法则进行等效变换构图基本元素4种（方框、相加点、

14、分 支点、支路）由原始方程组画结构图串联相乘并联相加基本方法用代数法则简化结构图二,申一，、 前向反馈连接=1+开环相加点和分支点移位由梅逊公式直接求传递 函数。最新整理注意几点:1、相加点与分支点相邻，一般不能随便交换2、等效原则两条前向通路的传递函数乘 积保持不变 各回路中传递函数乘积 保持不变3、直接应用梅逊公式时，负反馈符号要记入反馈通路中的方框中去。另外对于互不接触回路的区分，特别要注意相加点与分支点相邻处的情况。4、结构图可同时表示多个输入与输出的关系，这比其它几种解析式模 型方便的多，并可由图直接写出任意个输入下总响应。如：运用叠加原理， 当给定输入和扰动输入同时作用时，则有C(

15、s) =G(s) Rs) + G(s)D(s)(4)信号流图同结构图一致基本概念一构图元素2种改进一占八、有统一的公式求传递函数由原始方程组画信号流图基本方法 结构图翻译成信号流图代数法则同结构图一致nGk k重要公式一梅逊公式梅逊公式G 口注意两点：1、搞清公式中各部分含义；2、公式只能用于等输入节点与较出节点之间的传播，不能等不含输入节点情况下，任意两混合节点之间的传较。四种模型之间的转换关系可用图 2 81表小图281模型转换最新整理方程，各处任何时刻，均满足F 0,则对图2-1机械位移系统解题示范例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图 2-1示, 系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。

16、解：(1)设输入为Yr,输出为 Y0O弹簧与阻尼器并 联平行移动。(2)列写原始方程式，由于无质量按受力平衡于A点有Ff Fk1 Fk2 0其中，Ff为阻尼摩擦力,FK1, FK2为弹性恢复力。(3)写中间变量关系式Ffd（Yr Yo）dtFk1 K1（Yr Y0）FK2 K 2y0(4)消中间变量得,dyr .dy0.f f KYrK1 Y0K 2 Y0dt dt(5)化标准形T也dtY0 T 臂 KYr5其中：T 为时间常数，单位秒。K1 K2Ki一,K 1一为传递函数，无量纲。Ki K2例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。(1)写出运动方程式(2)求取线性化方程解：(1)设输入外作

17、用力为零，输出为摆角，摆球质量为 m。(2)由牛顿定律写原始方程。最新整理m(lmg sin h其中, 力。l为摆长，l为运动弧长，h为空气阻(3)写中间变量关系式式中，a为空气阻力系数l 为运动线速度。dt(4)消中间变量得运动方程式mld2dal mgsin dt2dt(2-1)/图2-2单摆运动此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化 由前可知，在 程为=0的附近,非线性函数sin,故代入式(2-1 )可得线性化方ml di dt2al 土出mg 0例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。图2-3 机械旋转系统解：(1)设输入量作用力矩Mf,输出为旋转角速度(2)列写

18、运动方程式ddt式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为J f M fdtf此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于ddt代入方程得二阶线性微分方程式J与 dt2工df M fdt最新整理例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图 2-4所示。图2-4倒立摆系统倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心Ao试求该系统的运动方程式。解：(1)设输入为作用力 u,输出为摆角 。(2)写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为(Xa

19、, yA)于是Xa = X+ lsin Xy = 1COS 画出系统隔离体受力图如图25所示。图2-5隔离体受力图最新整理摆杆围绕重心A点转动方程为:Vl sin Hl cosA的转动惯量。d2J 2dt式中，J为摆杆围绕重心， 摆杆重心A沿X轴方向运动方程为:d m dtd，Adt22t(xl sin ) H(2 3)摆杆重心A沿y轴方向运动方程为:d 2yAd m dtV mg2 (l cos ) Vmg小车沿x轴方向运动方程为:M金dt2因为含有sin 和cos 项,方程(2 2),方程(23)为车载倒立摆系统运动方程组。 所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当 很小时，可对

20、方程组线性化，由 (22)式(2 3)可用线性化方程表示为：J工 dt2 d2x,同理可得到cos- 1则方程式dt2 V d2x dt2VIHImlmgdrHdt2用s2 d的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量 dt2V、 H、 X得将微分算子还原后得(MlM m 2J)s (M mlm)g u(MlMJ J d2(M dt2、dm)g udt此为二阶线性化偏量微分方程。2-6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图,例2-5 RC无源网络电路图如图 并求传递函数 U c(s)/U r(s)。最新整理用的1时，系统的响应是过阻尼的；0 0)已知初始条件为零，试求系统的传递函数(s)o

21、解因为R(s)1_1一 2 s sC(s) Lc(t) 之 ” s s故系统传递函数为0.9s 1010(s 1)-2s (s 10)C(s)R(s)10.1s 1解毕。例3-3设控制系统如图 3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。解由图得闭环传递函数为(s)K(T bK)s 1最新整理td tr ts系统是一阶的。动态性能指标为0.69(T bK)2.2(T bK) 3(T bK)因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 函数。3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递图3-34二阶控制系统的单位阶跃响

22、应3,故此系统的增益不是首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为 1,而是3。系统模型为3 2n2-2s 2 ns n然后由响应的 Mp%、 ptp及相应公式，即可换算出KM p%pc(tp)c(Ts)c(bs0.1 (s)p%由公式得33%0.1最新整理15% ,峰值时间等和Kt数值下系统的R(s)s( sC(s)换算求解得：0.33、0 33.2解毕。例3-13 设系统如图 3-35所示。如果要求系统的超调量等于于0.8s,试确定增益 Ki和速度反馈系数Kt。同时，确定在此Ki延迟时间、上升时间和调节时间。1 + Kts图 3-35解由图示得闭环特征方程为s2(1K1Kt)s K1K1

23、1 Ktt 2 n由已知条件p%t/ 12,0.15tpnJt20.8解得0.517, n4.588s 1K121.05Kt2 . t n 0.178K1trtd1 0.6 t0.2 t2tL 0.297sarccos t t 0.538sn .1最新整理3 5ts T- 1.476 st n解毕。例3-14设控制系统如图 3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s),使系统阻尼比提高到希望的 E 1值，但保才I增益K及自然频率con不变。R(s)解由图得闭环传递函数H(s)(s)图3-36例 44 2控制系统结构图222s2 2 ns: K :H(s)在题意要求下，应取H(s) Kts此时，

24、闭环特征方程为：s2(2 KKt n) ns 202 KKt n 2 1 ,解出，Kt2( 1)/K n故反馈通道传递函数为:H(s)2( 1)s解毕。例3-15系统特征方程为s6 30s5 20s4 10s3 5s2 20 0试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s 一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例3-16已知系统特征方程式为s4 8 s3 18s2 16s 5 0试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解劳斯表为最新整理181681618 1 16816 16 8 51613.513.5 5 16 0 513.5由于特征方程式中所有系数均为

25、正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有 正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17已知系统特征方程为5432s s 2s 2s 3s 5 0试判断系统稳定性。解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中 某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数 来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为5s4s3s11022由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数四行第一列系数为（2 +2/0当e趋于零时为正数；第五行第一列系数为/（2计2）,当e趋于零时为2。由于第一列变号两次，故有两

26、个根在右半以系统是不稳定的。e来代替；第(-4 s- 4 5 2)s平面，所解毕。例3-18已知系统特征方程为s6 2 s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点 对称的实根，共轲虚根或（和）共轲复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多 项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续最新整理计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程(令辅助多项式等于零)求得。劳斯行列表为6s18205s212164s212163s0016由于s3行中各项系数

27、全为零，于是可利用s4行中的系数构成辅助多项式，即_ 4P(s) 2s一 2 一12s16求辅助多项式对s的导数，得原劳斯行列表中 行列表变为s3行各项,啦 8s3 24s s用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯得到s18205s212164s212163 s8242 s6161 s2.670s166新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令_ 4_ 2-2s 12s16 0sj*2 和 s j2解毕。例 3-19试求:单位反馈控制系统的开环传递函数为KG(s)2s(as 1)(bs cs 1)(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系

28、数;(2)当参考输入为 r1(t), rt 1(t)和rt2 1(t)时系统的稳态误差。解根据误差系数公式,位置误差系数为Kplim G(s)s 0lims 0 s(as 1)( bs cs 1)最新整理速度误差系数为Kvlim sG(s)s 0lim ss 0s(asK21)(bs csK1)加速度误差系数为Ka2 _hm0 s G(s)ym)sK12s(as 1)( bs cs 1)对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为r 1(t),即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为rt 1(t),即斜坡函数输入时系统的稳态误差为rress -KvK参考输入为rt2 1(t)

29、,即抛物线函数输入时系统的稳态误差为2r 2ressKa 0解毕。例3-20单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)10s(1Tis)(1T2S)输入信号为r (t) =A+cot, A为常量，3=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号 的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为,、12r(t) r nt -r2t系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起 的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：Kp KvKa对于本例，系统的稳态误差为essA _1 Kp Kv1型系统，所以本题给定的开环传递

30、函数中只含一个积分环节，即系统为最新整理KpKv lim sG(s)s 0lim ss 010s(1 T1s)(1 T2s)10系统的稳态误差为A ess1 KpKvA _ _0.511010100.05解毕。3-37所示。假设输入信号为r(t)=at ( a为任意常例3-21 控制系统的结构图如图 数)。证明：通过适当地调节 Ki的值,该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。R(s)Kis+1C(s)s(Ts 1)图3-37 例3-21控制系统的结构图解系统的闭环传递函数为C(s) K(s 1)R(s) s(Ts 1) KC(s)K(Kis 1)Ts2R(s)因此R(s) C(s)Ts2s

31、 KKisTs2 s KR(s)lim% 1 ) s 0 Ts s Ksim0aTs (1 KK i)a(1Ts2 s KKKi)K要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0 ,必须满足当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为_ 2Ts s KKisesslim s2s 0Ts2 s K1 KKi 0最新整理所以Ki 1/K解毕。例3-22设单位负反馈系统开环传递函数为G(s)置稳态误差 ess=0 ,单位阶跃响应的超调量 应保持什么关系？Mp%=4.3% ,Kg 、K 0如果要求系统的位pTs 1试问Kp、Kg、T,各参数之间解开环传递函数G(s)KpKgKpKg/T显然解得

32、:由于要求s(Ts1)s(ss(s 2 n)KpKgTKpKgT1/4M0p100%4.3%故应有 七 0.707。于是，各参数之间应有如下关系KpKgT 0.5p g本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。例3-23设复合控制系统如图 3-38所示。其中Ki 2K2 1 , T20.25s , K2K3 1试求r(t) (1 t t2/2)1(t)时，系统的稳态误差。最新整理复合控制系统图 3-38解闭环传递函数(s)K3 sKiK1K2K1K24(s 0.5)s2 4s 2等效单位反馈开环传递函数(s)1(s)2(2s2s1)表明系统为II型系统，且Ka Ka当r(t)

33、 (1 t t2/2)1(t)时，稳态误差为ess1/Ka0.5解毕。G(s) K / s(Ts 1)。 试选择参数例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数K及T的值以满足下列指标:(1)当r(t)= t时，系统的稳态误差ess0.02;(2)当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%50 o现取K=60G(s)K/Ts(s1/T)s(s 2 n)故有1/2:K/T2K 取Mp%0.2%，计算得最新整理图中：G1(s) K1G2(s)K2s(1TiS)Gr (s)as2 bs1 T2sKi、K2、Ti、T2均为已知正值。当输入量 试确定参数a和b。解系统闭环传递函数为r(t)= t2/

34、2时，要求系统的稳态误差为零,C(S)G1G2GrIR(s) 1 G1G2G1G2(Gi GJ1 G1G2C(s)G2(Gi Gr)1 G1G2R(s)2(ln M p%)2220.4562 (lnMp%)254.72此时ts 3.5/ n 0.14 0.3 (S)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60T=0.02 解毕。例3-25 一复合控制系统如图3-39所示。误差为八1 G2GE(s) R(s) C(s)1 R(s)代入 R(s) 1/s3 及 G1、G2、Gr,得最新整理2C(s)Kas (b KiT2)s K1R(s) T1T2 s3 (T1 T2)s2 (1 K1K2T2)s K

35、1K 2闭环特征方程为3_2TT2 s(T1 T2)s(1 K1K2T2)s K1K2 0易知，在题设条件下，不等式K1K2T1T2a、b无关。此时，讨论稳态(T1 T2)(1 K1K2T2)成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数 误差是有意义的。而E(s)T2s3 (T1 T2 K2a)s2 (1 K2b)s 2T1T2s3(T1 T2)s2 (1 K1K2T2)s K1K2 s3T1 T2K2a 01 K2b 0则有E(s)T1T23 ZZ ZZ 2ZZT1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2系统的稳态误差为ess lim sE(s) 01K2因此可求出待定参数为T1

36、T2K2解毕。例3-26控制系统结构如图3-40所示。误差 E(s)在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。N(s)R(s) E(s)图K-40控制系统结构图kC(s)0.05s 1s 52.5(1)试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。最新整理(2)若K=20,其结果如何？(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s,对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s,结果又如何？解在图中，令Gi0.05s 1，G22.5C(s) G2N(s) G1G2E(s)代入 E(s) R(s) HC(s),得C(s)G2G1G2HN(s)G1G21 G1G2

37、HR(s)令R(s) 0 ,得扰动作用下的输出表达式Cn(s)G21 G1G2 HN(s)此时，误差表达式为En(s) R(s) HCn(s)G2 H1 G1G2HN(s)essn1sm0sEn g2hlimsN(s)s 0 1 G1G2H而扰动作用下的稳态输出为Cn( ) limnsCn(s)s 0lim - s 0 1G2G1G2HsN(s)代入N(s)、Gi、G2和H的表达式，可得Cn()21 2.5K51 2.5K5/1015/51(1)当 K 40 时，Cn( )2/101, essn当 K 20时，Cn( )2/51, essn可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大

38、，且稳态误差的绝 对值也增大。最新整理若1/s加在扰动作用点之前，则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark103 o Current Document K1G1, G2 ，H 2.5 HYPERLINK l bookmark222 o Current Document s(0.05s 1)s 5不难算得Cn()0, essn 0若1/s加在扰动作用点之后，则 HYPERLINK l bookmark123 o Current Document K1G1 , G2 , H 2.50.05s 1 s(s 5)容易求出Cn()221k2/100, K 40时2/50,

39、 K 20寸essn52.5K5/100, K 40时5/50, K 20寸可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的 稳态误解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)2ns(s 2 n)已知系统的误差响应为 TOC o 1-5 h z 1.07t3.73t HYPERLINK l bookmark238 o Current Document e(t) 1.4e0.4e(t0)试求系统的阻尼比&自然振荡频率3n和稳态误差ess。解闭环特征方程为 HYPERLINK l bookmark240 o Current Document s2 2 ns 20由已

40、知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t),且系统为过阻尼二阶系统。故e(t) 1.4e t/T10.4e t/T21.4e1.07t3.73t0.4e即，系统时间常数为Ti0.93T20.27最新整理代入求出的时间常数，得稳态误差为2 ns1 T1 /T22 J1/T21.2,Ti1t1t2esslim e(t)实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。第四章自控系统的根轨迹分析1.基本要求通过本章学习，应当做到：(1)掌握开环根轨迹增益 Kg (或开环比例系数 K)变化时系统闭环根轨迹的绘 制方法。理解和熟记根轨迹的绘制法则，尤其是实轴上根轨迹的确定、分离点及渐

41、近 线的计算方法、根轨迹与虚轴的交点坐标及出射角和入射角的确定。会利用幅值方程 求特定的K值。(2) 了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系及系统根轨迹分析的 基本思路。正确理解偶极子和主导极点等基本概念，会用主导极点的概念估算系统的 性能指标。(3)掌握0根轨迹、参变量根轨迹及非最小相位根轨迹绘制的基本思路和方法。2.内容提要本章主要介绍了根轨迹的基本概念、控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹法在 控制系统分析中的应用。(1) 根轨迹的基本概念根轨迹是当系统中某参数(如开环根轨迹增益Kg)由08变化时，系统的闭环极点在s平面上移动的轨迹。求出不同Kg值时的闭环极点，在 s平面上逐点绘制

42、即可得到系统的闭环根轨迹。但人工绘制即笨又繁，很不实用。根轨迹法的基本思路是： 在已知开环零、极点分布的基础上，依据根轨迹法则，确定闭环零、极点的分布。再 利用主导极点的概念，对系统的阶跃响应进行定性分析和定量估算。(2)根轨迹方程根轨迹方程实质上是系统闭环特征方程的变形。负反馈系统根轨迹方程的一般形 式为最新整理mKg (S Zi)1(s Pj)j 1根轨迹方程的幅值平衡条件和幅角平衡条件分别称之为根轨迹的幅值方程和幅角 方程。系统根轨迹方程的幅值方程和幅角方程由如下二式给出：SZi1 nS Pj j 1(S Zi)n(Sj 1Pj) (2k 1)幅角方程是决定根轨迹的充分必要条件。系统的根

43、轨迹可依据其幅角方程绘制， 幅值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的增益值。(3)绘制系统轨迹的基本法则根据系统的根轨迹方程式，按照绘制系统根轨迹的基本法则，即可由系统开环零极点的分布直接绘制出闭环系统的概略根轨迹。表4-2给出了当系统的开环根轨迹增益Kg由08变化时，绘制系统180根轨迹的基本法则。(4)控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析即应用闭环系统的根轨迹图，分析系统的稳定性、计算系 统的动态性能和稳态性能，或在根轨迹图上可以进行反馈系统的综合或校正。当系统的根轨迹段位于左半 S平面时，系统稳定。否则，系统必然存在不稳定的闭环根。当系统为条件稳定时，根轨迹与S平面的交点即其临界稳定条

44、件。利用根轨迹得到闭环零、极点在S平面的分布情况，可以写出系统的闭环传递函数，进行系统动态性能的分析。系统的闭环零点由系统的开环传递函数直接给出，系 统的闭环极点需应用根轨迹图试探确定。如果系统满足闭环主导极点的分布规律，可 以应用闭环主导极点的概念把高阶系统简化为低阶系统，对高阶系统的性能近似估算。(5)附加开环零极点对根轨迹的影响根轨迹是根据开环零极点的分布绘制的，系统开环零极点的分布影响着根轨迹 的形状。通过附加开环零极点，可以改造系统根轨迹的形状，使系统具有满意的性能 指标。增加一个开环实零点，将使系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定度，并 有利于改善系统的动态性能。开环负实零点离虚

45、轴越近，这种作用越大。增加一个开 环实极点，将使系统的根轨迹向右偏移，降低了系统的稳定度，有损于系统的动态性 能，使得系统响应的快速性变差。开环负实极点离虚轴越近，这种作用越大。开环零 点和极点重合或相近时，二者构成开环偶极子。合理配置偶极子中的开环零极点，可 以在不影响动态性能的基础上，改善系统的稳态形能。最新整理解题示范例4-1设系统的开环传递函数为G(s)H(s)2Ks(s 1)(s 2)试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。(1)系统的开环极点为 0, 1,2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无

46、穷远处。(2)系统的根轨迹有 n m 3条渐进线渐进线的倾斜角为(2K 1)(2K 1) 180 TOC o 1-5 h z a n m3 0取式中的K=0, 1 , 2,得6 a=n/3,汽，5n/3。渐进线与实轴的交点为(0 1 2)11 nmPjZin m j 1 i 1三条渐近线如图4-13中的虚线所示。(3)实轴上的根轨迹位于原点与一 粗实线所示。1点之间以及一2点的左边，如图4-13中的(4)确定分离点系统的特征方程式为32s 3s 2s 2K 0即132K -(s3 3s2 2s)禾ij用dK/ds 0,则有dK1 (s3 6s2 2) 0ds 2解得Si0.423 和 s21.

47、577由于在一1到一2之间的实轴上没有根轨迹，故S2=- 1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为Si= 0.423 。(5)确定根轨迹与虚轴的交点方法一利用劳斯判据确定劳斯行列表为S3122s232 K最新整理1 s0 s由劳斯判据，系统稳定时6 2K 032 KK的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程一 2-2.3s 2K 3s 6 0解之得根轨迹与虚轴的交点为sj盘。根轨迹与虚轴交点处的频率为确定。 TOC o 1-5 h z 21.41方法二令s j代入特征方程式，可得32(j )3( j )2( j ) 2K 0即(2K 3 2) j(22) 0令上述方

48、程中的实部和虚部分别等于零，即2K 3 20, 22 0所以2 K 3(6)确定根轨迹各分支上每一点的K值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与一1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点一2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式x (0 j1.41) (0 j1.41)3求出后一条根轨迹分支上K=3的点为。x= 3。0.423 J0O 因此，后由(4)知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为一 一条根轨迹分支的相应点为x ( 0.423) ( 0.423)3所以，ox=2.154。因本系统特征方程式的三个根之和为-2K,利用这一关系，可确定根轨

49、迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为一0.423 j0和一2.154,该点的K值为_2_2K ( 0.423) ( 2.154)即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。最新整理图4-1例4-1系统的根轨迹3K(s 2)s(s 3)(s2 2s 2)例4-2设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0, 3, ( 1 + j)和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点-2,其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为(2K1)(2K1) 180n

50、 m3 0汽，5 n/3,或土 60 及一180。取式中的K=0, 1, 2,得人=n/3,三条渐近线如图 4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为 TOC o 1-5 h z 1 nmaPjZin m j 1 i 1(3)实轴上的根轨迹位于原点与零点一(0 3 1 j 1 j) ( 2)14 12之间以及极点一3的左边，如图 4-14中的粗线所示。从复数极点(1 土 j)出发的两条根轨迹分支沿土60。渐近线趋向无穷最新整理远处。(4)在实轴上无根轨迹的分离点。(5)确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为 TOC o 1-5 h z 一 2一一-一s(s 3)(s2s2)3K(s2)043

51、2s 5s 8s (6 3K)s 6K 0劳斯行列表4s3s2s1540 (6 3K)586 3K6K6K150K3 K34 3K若阵列中的s1行等于零，即(6+3K) - 150K/ (34-3K) =0 ,系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于 K=2.34的频率由辅助方程-2一 一一40 (6 3 2.34) s 30 2.34 0确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为3=1.614。(6)确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点P1= ( 1 + j)出发的根轨迹的出射角为9 180(2k 1)(p1 2)p1(P1 3)(P1

52、1 j)k=0,则得到26.6将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入并取 系统的根轨迹如图4-14所示。最新整理例4-3已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s) 2 K(S。25)s2(s 5)(s 20)(s 50)试绘制系统的根轨迹。解(1)系统的开环极点为0, 0, 5, 20和一50,它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为0.125,有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。(2)确定根轨迹的渐近线渐进线的倾斜角为(2K 1)(2K 1) 180an m5 1取式中的 K=0, 1, 2, 3 得(J)a=45。和 6a=135。渐近线与实

53、轴的交点为1 nmPjZin m j 1 i 1(0 0 5 20 50) ( 0.125)418.8(3)实轴上的根轨迹位于一0.125和一5之间以及一20,与一50之间。(4)确定根轨迹的分离点和会合点本例中，系统各零点、极点之间相差很大。例如，零点一 0.125与极点0之间仅相 距0.125，而零点0.125与极点50之间却相差 49.875。因此，可作如下简化：在绘 制原点附近的轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线 时，略去零点和一个极点的影响。(A)求原点附近的根轨迹和会合点略去远离原点的极点，传递的函数可简化为K (s+0.125) /s2。零点0.125左边最新整理实轴是根轨迹，并且一定有会合点