第3讲定积分与微积分基本定理

1、定枳分与微枳分基本定理一、知识梳理.定积分的概念如果函数./U）在区间小句上连续，用分点=XoXi小=网备如） 3a在口中，也上分别叫做积分下限与积分上限，区间M，包叫做积分区间，函数.屈叫做被积函数，工叫做积分变量，心）山叫做被积式.定积分的性质(1 )U)(k=k/U)dA 为常数). p/i (x)(A)ldx=p/i(.v)d.v产(x)dr. aaaQx)dA=f/(x)dx+严x)dx(K 中 ucb). aac.微积分基本定理一般地，如果人r）是区间小句上的连续函数，且F（x）=/U）,那么Ax）dx=F-F,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.为了方便，常把尸（

2、）一R”）记作bbF(x)| ,即 jyU)dx=F(x)=F(h)F(a).常用结论1.定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于人,轴下方时，定积分的 值为负；当位于X轴上方的曲边梯形与位于X轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为2.若函数兀v）在闭区间一小句上连续,则有若兀T）为偶函数，则/ 心）心=2/於世.（2）若7U）为奇函数，则/./U）dx=o.二、习题改编1.(选修 2-2P66T14 改编)设.)=%2,工20,X。，则/*.的值是()B.D.2k+/FdA-解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质,得 .Xk=/)2kh+/ck.故

3、选 D.2.(选修2-2P66A组T14改编)/1不彳&=解析：考点定积分的计算（多维探究）77(x3+ax2)dx=-pyt所以a=-1.答案：一 1考点定积分在物理中的应用(师生共研)陋同(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(，)=7 3，+25年。的单位：s, ，的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：由)是()A. 1+251115B. 84-251n yC. 4+251n5D. 4+501n25 o,(2)一物体在力F(x)=L 一 c (单位：N)的作用下沿与力/相同的方向，从x=0 13a+4, x2处运动到x=4(单位：m)处，

4、则力F(x)做的功为 J.【解析】 令v(/)=0得，3户一射-32=0,解得/=4(/= 一|舍去)汽车的刹车距离是/(7 - 3 -工业=7/-|/2+251n(r+1)=4+251n5.(2)由题意知，力F(x)所做的功为W=pF(jr)d.r=/5&+ p(3x+4)d.r=5 X 2+(1v2+4a)J 0 J 0 J 2= 10+ |x42+4X4-(|x22+4X2)=36(J).【答案】(DC (2)36您倒方法定积分在物理中的两个应用求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v=v(/),那么从时 刻t=a到t=b所经过的路程s=i)d/.(2)变力做功，一物体

5、在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x=移动到x=% 时，力F(x)所做的功是W=F(x)口.变式训练;.物体A以u=3产+l(m/s)的速度在一直线/上运动，物体B在直线/上，且在物体A 的正前方5 m处，同时以u=10m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体8所用的时间心）为（）A. 3B.4C. 5D. 6解析：选C.因为物体A在，秒内行驶的路程为f （3产+l）dr,物体8在/秒内行驶的路程为10成，因为（户+1-5尸）=3尸+1 103 所以（3尸+1 10f）d/=（户+/5户） J oJo-5产=5,整理得。-5）（尸+1）=0,解得f=5.设变力F（x）作

6、用在质点M上，使M沿x轴正向从x=l运动到x=10,已知尸（x）=J（x的单位：m：力F+1且方向和X轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为 的单位：N）.解析：变力F（x）=x2+使质点M沿a轴正向从x=l运动到x= 10所做的功为W=/】。（刈八二/耿9+1 ）dv,因为（$3+工）=r+ ,所以原式= 342（J）.答案:342演练，侍日突破练好题突破高分瓶颈.学生用书P274（单独成册）基础题组练1.定积分/（3x+e，）di的值为（B.A. e+1C. e1D.e4解析：选口.（3+8）心=(M+f|：=|+eT+e.2.若於）=1lg x, x013产dr, xWO,州1)=

7、1，则的值为()X 1 0A.B. 2C.-1D. -2解析：选A.因为式1）=馆1=0,火0)=/3-df=P 0=/,所以由胆1)=1得/=i,所以4=13.若公)=9+2广於)&,则”,)=(),01 0A.A. -1D. 1解析：选B.因为兀0=炉+2）&,所以/如)心=($3+2/( dv)lA=|+21/U)(h，所以四)心=J 0J oX2, xE-1 1,(1, 2,则危）dr的值为（）兀4A-2 + 3C4+3解析：选A.5.B.D.2- l)(h=%X I22 + (*) I=3+g,故选L J由曲线），=和曲线），=,围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）A

8、.gv=F,r解得 产5，K = 0,c或 lv=OD- IX= 1 ,L1_所以阴影部分的面积为/（也一/底=5故选A.6.定积分/ （始+$而入）&=解析：(x .2dv4-sin xclv -i J T4-sinx)cLvJ -i=2,心=2.9J o23,答案空7./ (3刀+/+1)心=解析：因为.v2tan x+x3是奇函数.所以 (x2】1+/+1)&=/ idr=xlL = 2.答案：2. 一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)=*+x的作用，则它从x=0运动到x=1时F(x)所做的功等于解析：由题意知W=心=_(M+*)|：=dT套案.一-2口4 10 5.求下列定积分:(

9、2)J (cos A4-er)(iv.解：(1)了2(人/! +5)心=广心一 炉山.十=sinx0+er 73 75=5一百+1112=ln 2-不cos acLv+)edvJ -x(2)J (cos A+eY)cLv=J11 1.已知函数yu)=/一炉+x+i,求其在点(1, 2)处的切线与函数#(幻=/围成的图形 的面积.解：因为（1, 2）为曲线y（x）=.F/+x+l上的点, 设过点（1, 2）处的切线的斜率为上则k=（3 储一 2y+1）I.li = 2,:可得交点A(2, 4), ly=2x所以过点（1, 2）处的切线方程为）-2=2。-1）,即y=2ry=2x与函数g（x）=国

10、成的图形如图中阴影部分所示，由，0（0, 0）,故y=2x与函数围成的图形的面积S=/(Zr-/)去=(x2-%3)d 8 4 o=4-3=3综合题组练1.由曲线x），=l,直线y=x, x=3所闱成的封闭平面图形的而积为（）A./B. 4In 3D. 2-ln3C. 4+ln3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数.由曲线xy=l,直线y=x, x=3所国成的封闭的平面图形如图所示:xy= L x= 1, 由， 得 y=x,U=1故阴影部分的面积为Am”),=4In 3.设函数yU)=x2+c3W0),若J7U)dr=/U), OWxoWl,则如的值为解析：所以端=：

11、,/7U)dx=Ji (ax2+c)dr=Qt/x3+ex) | 0=；+c =火网)=ax+c,又因为OWxgW 1,所以xo=乎.算案.通./(W -炉+eJ1 )dr=.解析：/ (斤了+廿一1)去=/ WTck+/ L.因为/ JT二工(h表示单位圆的上半部分的面积,.若函数在R上可导，f(x)=x3+x2ff (1),则/2/(幻去=解析:因为段)=如+/，所以/(刈=3+(1).所以/(1) = 3+4(1)，解得-1)= -3.所以./(X)=如3X2.=一4.答案：一4.如图,在曲线C：尸炉，ro, 1上取点尸”，产),过点尸作x轴的平行线，.曲线。 与直线x=0, .*=1及直线