05.虚功原理与结构的位移计算

1、 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。1、 是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度温度改变值5-6 温度作用时的位移计算2、温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：杆轴线处温度改变值 ：t1t2h1h2hdsh1h2ht1t2t0 3、微段 ds 的应变轴向线应变弯曲应变剪应变4、位移计算公式正负号规则： 及温度变化使杆件同一侧纤维伸长 ( 弯曲方向相同 )，则乘积 为正，反之为负。 以温度升高为正，降低为负； 以拉力为正，压力为负。a1例5-12：求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高10，

2、梁上侧和柱左侧温度无变化。各杆截面为矩形，高h = 60cm，a = 6m，=0.00001。aa00+10C11图图11练习5-6：求图示刚架C截面水平位移 。已知杆件线膨胀系数为 ，杆件矩形横截面高为h。 解：a1CABCABaa图图aCAB1111 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。1、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态 I 和状态 II 。状态II状态I5-9 互 等 定 理令状态 I 的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：12abAB12abAB同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即定理：在任一线

3、性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12 等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21 。即2、位移互等定理定理：在任一线性变形体系中，由荷载FP1 引起的与荷载FP2 相应的位移影响系数21 等于由荷载FP2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数12 。即 12 =21状态I12abAB状态II12abAB由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij 与力FPj 的比值是一个常数，记作ij ，即：或于是所以状态 II状态 I12ABAB12说明： FP1 和FP2 可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12 和21 就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载

4、可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。 ij 也称为柔度系数，即单位力产生的位移。 i 产生位移的方位； j 产生位移的原因。M1例5-13：验证位移互等定理。解：FP1 = F21Fa/41a/4a/2a/21EI2EIa/2a/212FP2 = MM/21所以121/23、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。状态IC112C2状态II12根据功的互等定理： 在线性变形体系中，反力FRij 与Cj 的比值为一常数,记作rij ，即或所以得FR11F

5、R21FR22FR12定理：在任一线性变形体系中，由位移C1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数r21 等于由位移C2 引起的与位移C1 相应的反力影响系数r12 。例5-14：验证反力互等定理。可见：r12 = r2112EI lC2=1r12r21= 3EI/l23EI/l3r12= 3EI/l23EI/l12EI lC1 =1上述支座可以是其它种类支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位；j 产生支座移动的支座。r214、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令FP112C2状态II12状态I12FR21所以由此得到即 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数 、 的量纲都是 。定理：在任一线性变形体系中，由位移C2 引起的与荷载FP1 相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1 引起的与位移C2 相应的反力影响系数 ,但二者符号相反。位