小学数学五年级《最大与最小》练习题(含答案)

1、最大与最小练习题（含答案）内容概述在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题， 这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。 这类问题涉及的知识面广， 在生产和生活中有很大的实用价值。这一讲就来讲解这个问题。例题精讲【例 1】 比较下面两个乘积的大小：a=57128463 X 87596512, b=57128460 X 87596515 .分析：对于a ， b 两个积，它们都是8 位数乘以 8 位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。 直接计算出这两个8 位数的乘积是很繁的。 仔细观察两组对应因数的大小发现，因为 57128463 比 5712

2、8460 多 3， 87596512 比 87596515 少 3， 所以它们的两因数之和相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515 。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得 ab【前铺】两个自然数的和是15 ，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？分析：将两个自然数的和为15 的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面 7 种情况：15=1 + 14, 1X 14=14;15=2+13, 2X 13=26;15=3+12, 3X12=36;15=4+11 , 4X 11=44;15=5+10, 5X10=50;1

3、5=6+9, 6X9=54;15=7+8, 7X8=56。由此可知把15 分成 7 与 8 之和，这两数的乘积最大。结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】当A+B+C= 10时（A、B、C是非零自然数）。AX BXC的最大值是是的的的的。分析：当为3+3+4时有AX BX C的最大值，即为 3X3X4=36;当为1+1+8时有AX BX C的最小值，即为 1X1X8= 8。【拓展】18这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？分析： 8531 和 7642。高位数字

4、越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8， 7 ，百位分别是6， 5 。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85 ，另一个数的前两位是 76。同理可确定十位和个位数.2】 两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？分析： 48 的约数从小到大依次是1 ， 2， 3， 4， 6， 8， 12 ， 16， 24， 48。所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5 种情况：48=1X48, 1+48=49;48=2X24, 2+24=26;48=3X16, 3+16=19;48=4X12, 4+12=16;48=6X8, 6+8=14。两个因数之和最小的是6+8=1

5、4。结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。【巩固】要砌一个面积为 72 米 2 的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？分析：将 72 分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1 。 ，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9） X 2=34 （米）.【例3】一排椅子只有15 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析：将15个座位顺次编为115号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3 号位、 4 号位、

6、6 号位的人就必然与2 号位或 5 号位的人相邻。 根据这一想法， 让 2 号位、5 号位、 8 号位、 11 号位、 14 号位都有人就座，也就是说，预先让这 5 个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为 5 人。【巩固】一张圆桌有12 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析： 4 人 .【例4】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257， 1459等等，这类数中最大的自然数是多少？分析：要想使自然数尽量大，数位就

7、要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1 与 0 【例 5】 有一类自然数， 它的各个数位上的数字之和为 2003， 那么这类自然数中最小的是几？分析：一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为 2003,要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003+ 9=2225,所以满足条件的最小自然数为：599.9222个 9【例6】99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果.问

8、：这群小朋友最多有几位？分析：1+2+3+ -+ 13=91 99,说明若 13 位各分得 1, 2, 3,，13 个苹果，未分完99个，若14位各分得1,2,3,，14个苹果，则超出99个.因91+8=99, 在13位上述分法中若把剩下的 8个苹果分别加到后 8位人上，就可得合题意的一个分法： 13人依次分1,2,3, 4,5,7,8,9,10,11,12,13,14个.所以最多有13位小朋友.（注： 13人的分法不唯一）【巩固】公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗.已知这排旗不超过200面，这排旗子最多有多少面 ？分析：旗子排列是 9面

9、一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好 了. 200 + 9=222,所以最多可以出现200-2=198面旗子，共22个循环.【例7】（第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬33运量相同，运到的货物比这批货物的3多一些，比3少一些。按这样的运法，他运完这批54货物最少共要运 次，最多共要运 次。分析：这道题目用到了极值判断法。我们首先向学生介绍下题，体会极值判断法：【前铺】（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于 A、B码头之间，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间 （填“多”或“少”）分析：极限判断，当

10、水速为 10,船速是20时，我们可以往来 A, B两地，当河水速度增加时，比如增加到20,这样逆水时，船速 =水速，永远到不了 B地，所以时间变多了。怎么样，现在你能解决例题么？假定5次运的恰好等于33 ,则每-次取少运 5,所以最多运13 C 1C 、八+ =8 =9 次；5525253假定5次运的恰好等于33 ,则每一一次最多运 -5= ,所以最少运1 +-3 =62 =7 次;4420203【例8】某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？分析：三天都迟到的要尽量多，则将迟到的

11、22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的.可求出三天都迟到的学生最多有 （15+12+9 -22） + 2=7卜）.【巩固】某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198,最低得分169,没有得193分、185分和177分，并且至少有 6人得同一分数，参加测试的至少多 少人？ 分析：得分数共有 198-169+1-3=27（种），当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少， 共有 27+6-1=32（人）.【例9】 149位议员中选举一位议长， 每人可投一票.候选人是A, B, C三人.开票中途, A已得45票，B已得20票，C已得35票.如果票数最多者当选，那么 A至少再有多少

12、票才 能一定当选？ 分析：45+20+35=100,还有 149-100=49（票）.45-35=10，如果 49 票中有 10 票都给 C,49-10=39 , 那么A至少还要有20票才能当选.【巩固】冬季运动会共有 58面金牌，至今A队已得10面，B队已得11面，C队已得13面.如果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多少面金牌 ？回-:卬车到工门工分析：10+11+13=34 .还有58-34=24（面）可争夺.A队要再得4面，才超过C队.在余下的 奖牌中不能少于一半，即再得4+（24- 4） +2 =14（面），才能确保金牌数居第一位.【例10】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生

13、到学校，每个站都有学生上 车.第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半.学校时，车上最少有多少学生 ？分析：因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车.假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2, 4, 8, 16个.因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31（人），很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个.所以，最少有 31个学生.【例11】 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一 站，那么

14、为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？分析：（法1）:只需求车上最多有多少人。依题意列表如下:站数13455T311121314年上车人数1413121110d8765I321CF 土人数Q123q5&T6Q101112_L3_14车上人数1426364450545B5&545044362614C由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有 56个座位。本题问句出现了 “至 少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客 中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了 “至少”就是求最小数，而

15、应该把题意分析清楚后再作判断。（法2）:因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站 1人），这 一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人数=（以前的站数+1） X以后站数=站号X （ 15-站号）。因此只要比较下列数的大小： 1X14, 2X13, 3X12, 4X11, 5X10,6X9, 7X8, 8X7, 9X6,10X5,11X4,12X3,13X2,14X1.由这些数，得知7X8和 8X7 是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是 56人，所以它应有 56个座位.此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉

16、及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关 的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。【例12】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去100个数字，那么剩下的 92位数最大是多少？最小是多少？分析：要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为159中有109个数码，其中有6个9,要想左边保留6个9,必须划掉159中的109-6= 103 （个）数码，剩下的数码只有192 -103=89 （个），不合题意，所以左边只能保留 5个9,即保留149中的5个9,划掉1 49中其余的84个数码。然后，在后

17、面再划掉 16个数码，尽量保留大数（见下图）：75 9 6 0-1所求最大数是 9999978596061 99100。同理，要得到最小的数，左边第一个数是1,之后应尽量保留 0。250中有90个数码， 其中有5个0,划掉其余90-5=85 （个）数码，然后在后面再划掉 15个数码，尽量保留小 数（见下图）：氏1 叔 2S354%5 5 1 吕 E 邛 0 6 1-所求最小数是 100000123406162-991000【巩固】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，

18、这个22位数最大是多少？最小是多少？分析：在前100个自然数中，共有20个9,再保留后面的“ 10”，即得到最大数：9999999100 （20个9）;最小数的第一位是“ 1”，再保留 1090中的9个“0”，再在91100中留下12个尽量小的数，即得最小数： 1000000000123456789100 .附加题目【附1】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？分析：假设分成的自然数中有1, a是分成的另一个自然数，因为 1xav1+a,也就是说,将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分

19、成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+32X3, 8=3+53X5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有 4,因为4=2+2=2X2,所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有 2和3两种。因为2+2+2=6,2X 2X 2=8,3+3=6, 3X3=9,说明虽然三个2与两个3的和都是6,但两个3的乘积大于三个 2的乘积，所以分 成的自然数中最多有两个 2,其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最 大，为 3X 3X 3X 3X 3X2=486。结论：整数分拆的原则：

20、不拆 1,少拆2,多拆3。【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 分析：14拆成3、3、3、3、2时，积为3X3X3X3X2=162最大.【附2】某国家的货币中有 1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付 1元、2元100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？分析：为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成， 且1元的货币至少2 张，这样也找不到比 14

21、张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。【附3】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的 是几？分析：225776【巩固】在六位数 865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的 是几？分析：8654473.【附4】现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如 果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从 每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的第三地2倍。问原来三堆苹果数

22、之和的最大值是多少？分析：先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二 堆的3倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多 个，使得第一堆还剩 34个，则第二堆所剩下 的苹果数是第三堆的 2倍”，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是：（34-2） +2=16,即三堆分别有：16X3+1=49, 16+1=17和16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩2个，那么第一堆的每一份为：（34-4） +2=15, 各堆分另1J为：15X3+1=46, 15+1=16和14个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的 每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.【附5】如图，小明要从 A走到B

23、,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数.请问小明最快需几分钟？分析：从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不过C点两类.不过C点有两条路：第一条是 15+7+9+18=49（分钟）；第二条是 14+6+17+12=49（分钟）；两条路所用时间相同.经过C点的路线分为两段， A- C、8 B.同上面一样：2 C: 14+13=27（分钟）; 15+11=26（分钟）.8 B: 10+12=22（分钟）；5+18=23（分钟）.在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较.所以从A 8 B最少用48分钟，比前面不过 C的少用1分

24、钟.【附6】某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3.那么这班学生中年龄最大的能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？分析：因为全班 50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多（12.2-12） X 50=10（岁），所以年龄最大的能是12+3=15（岁）.如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多103=7（岁），所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁.【附7】若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学 竞赛，已知家长和老师共

25、有 22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师，那么在这 22人中，爸爸有多少人？分析：家长比老师多，所以老师少于22+2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12 + 2=6人，即不少于 7人。因为女老师比妈妈多 2人，所以女老师不少于 9人。但老师最多就10个，并且还至少 有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有 12-7=5人。【附8】阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多我们希

26、望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？ 分 析 ： 至 少 有 4 排 如 果 10 排 人 数 各 不 相 同 ， 那 么 最 多 坐 ： 16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115（人） ；如果最多有 2排人数一样，那么最多坐：（16+15+14+13+12）X2 =140（人）；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：（16+15+14） X 3+13 =148（人）；如果最多有4排人数一样，那么至多坐：（16+15）X4+14X2 =152（人）.148150152 ， 所以，至少有4 排【附9】在10， 9， 8 ， 7， 6， 5， 4， 3， 2， 1

27、这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求： （ 1 ）算式的结果等于37； （ 2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？分析：把 10 个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37 = 18,所以我们变成减数的这些数之和是18+2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1 ） 。 9 最多可拆成三数之和 2 3 4=9，因此这些减数的最大乘积是2X3X4= 24,添上加、减号的算式是：10+ 9+ 8 + 7 + 6+ 54- 3- 2+1 = 37。练习1 如果一个自然数N 的各个位上的数字和是1996 ，那么这个自然数最小是几？ 分析：1996+9=2217, N=7999.221个92 某班有50 名学生，参加语文竞赛的有28 人，参加数学竞赛的有23 人，参加英语竞赛的有 20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？分析：因为参加竞赛的有28+23+20=71（人）.让这71人尽可能多地重复，71+ 2=351,所以至多有 35 人参加两科. 用长