九年级数学图形操作黄巨斌

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课 时 数：3课时学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：黄巨斌 授课类型C （专题方法主题）动手操作题授课日期时段教学内容【考情分析】动手操作题是指通过动手测量、作图、折纸、摆放工具（如三角板）等探究性实验，结合已有的数学知识、方法，验证或归纳、猜想或证明出数学结论的数学活动这类问题往往能够综合考查学生的实践能力、直觉和抽象思维能力甚至发散思维能力相应地，解决这类问题需要学生通过有效的实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索、发现和证明结论这类问题主要出现在中考第22题，分值5分，灵活度强，不好解决，一般学生很难拿到满分；偶尔会出现

2、在选择题第8题中。我们认为，动手操作题的专题训练应立足于以下几点：（1）要先对与操作类问题密切相关的已学基础知识、基本方法、基本题型进行归纳总结（例如：基本作图；利用轴对称解决折叠、最值问题；基本图形分割、正方形的拼接等），这有助于将一些操作类问题转化为更基本的数学问题，从而找到突破口或解题思路，甚至直接将新问题纳入熟悉的解题套路中（2）很多图形操作题都有细致的背景说明或知识铺垫，进行例题分析时应注意引领学生分析这些提示文字，学会思考“命题人希望通过这些话提示给我们什么？”，“这些话与后面的问题有什么关系？”，从而迅速完成（新）知识的构建和迁移（3）鼓励学生灵活地、创造性地运用工具、道具实现实

3、际操作；更要进一步鼓励学生进行抽象思维，运用数学方法分析操作现象及其原理简言之，将“操作”变成“思维”特别地，2012年北京中考22题没有选择传统的几何变换素材，而强调了对问题的“理解”和“探究”；25题延续了2011年的创新，突出了“探究型问题”的“操作性”，都再次说明了将“操作”与“思维”融合在一起的极端重要性（4）功夫在平时：要充分利用各种操作和探究活动，让学生积累足够的“基本数学活动经验”，要充分锻炼学生根据文字作图的能力和图形分析能力，这两点是解决操作类问题的基本保障专题精讲 题型一：有关立体图形 例1：（2010北京，8）美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开

4、的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是 【答案】：B 例2：（2008北京,8）已知为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点在上一只蜗牛从点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示若沿将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）OPMOMPAOMPBOMPCOMPD【答案】：D题型二：有关平面图形平移问题例1：（2011北京22）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O。若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，的长度为三边长的三角形的面积。

5、小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC，BD，的长度为三边长的三角形（如图2）。参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF。（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_。【答案】 BDE的面积等于 1 . (1)

6、如图.以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是CFP. (2) 以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形面积等于.例2：（2012北京，22）操作与探究： （1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点. 点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，

7、将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。【答案】 0； F(1,4)题型三：旋转与几何变换例1：（09北京，22） 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点O旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个

8、平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. 【答案】例2：（2013北京，22）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积。小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，E

9、D的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_。【答案】 题型四：折叠与轴对称例1：（2010北京，22）阅读下列材料： 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8CM,AB=6CM.现有一动点P接下列方程在矩形内运动；它从A点出发，沿

10、着与AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到巨星的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45的方向作直线运动，当P碰到点CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，如果1所示。问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少。 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形由轴对称的知识，发现= ， 请你参考小贝的思路解决下列问题：P点第一次与D点重合前与边相碰_次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是_CM；进

11、一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足ADAB。动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上，若P点第一次与B点重合前与边相碰7此，则AB：AD的值为_。【答案】（1）5，24 ；3分解题思路示意图：例2：（2008北京，22）已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，处若点，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”AGCFEBD图2AGCFEBD图1（1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形

12、都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；（2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）ACB备用图ACB备用图解：（1）重叠三角形的面积为 ；（2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 【答案】解：（1）重叠三角形的面积为 用含的代数式表示重叠三角形的面积为；（3）的取值范围为题型五：图形分割与剪拼例1：（2013海淀一模）问题：如图1，、是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形，使它的顶点、分别在直线、上

13、，并计算它的边长. 图1 图2 小明的思考过程： 他利用图1中的等距平行线构造了的正方形网格，得到了辅助正方形，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点、，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形的边长为 .请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为，边长为1）中，画出一个等边，使它的顶点、落在格点上，且分别在直线a、b、c上；（3）如图4，、是同一平面内的三条平行线，、之间的距离是，、之间的距离是，等边的三个顶点分别在、上，直接写出的边长. 图3 图4 【答案】：（1）. （2）如图： . 例2：（2012西城二模）阅读下列材料图1小

14、华在学习中发现如下结论：如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线lBC时，.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知ABC，画出一个等腰DBC，使其面积与ABC面积相等；(2)如图3，已知ABC，画出两个RtDBC，使其面积与ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)； (3)如图4，已知等腰ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BDAE，对角E=B. 图2 图3 图4【答案】解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出D1BC，D2BC，D3BC，D4BC，D5BC中的一个即可.（将BC的平行线l画在直

15、线BC下方对称位置所画出的三角形亦可) 2分 (2) 如图所示，答案不唯一. （在直线D1D2上取其他符合要求的点，或将BC的平行线画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可) 4分 (3) 如图所示(答案不唯一). 5分如上图所示的四边形ABDE的画法说明：(1)在线段BC上任取一点D（D不为BC的中点），连结AD；(2)画出线段AD的垂直平分线MN；(3)画出点C关于直线MN的对称点E，连结DE，AE. 则四边形ABDE即为所求.例:3：（2012丰台一模）将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）小明的做法是：如图1所示，在矩形A

16、BCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、EF，并沿直线PE 、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形PMN (如图2) （1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）如果点D的坐标为(5,8)，直线PM的解析式为，则所有满足条件的k的值为 图1 图2 图3 图4 备用【答案】解：（1）如右图； （2） 二、专题过关检测题1：（2012海淀期末）已知O为圆锥顶点, OA、OB为圆锥的母线, C为O

17、B中点, 一只小蚂 蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所 爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( ) A B C D【答案】：C检测题2：（2012海淀一模）22阅读下面材料：ADCOBEBOCDA小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 图1 图2IHGFABCDE小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问

18、题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）请你回答：图2中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 图3【答案】BCE的面积等于 2 . （1）如图（答案不唯一）：以E

19、G、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是EGM . （2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 3 检测题3：（2012海淀二模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度 (0 360) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120的旋转对称图形. 如图1，点O是等边三角形ABC的中心, D、E、F分别为AB、BC、 CA的中点, 请你将ABC分割并拼补成一个与ABC面积相等的新的旋转对称图形. 图2图1E3心形于绕着一定 E1 E2 P1 P2 N1N2 M2 M1 CBA图3GFH小明

20、利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与ABC面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边ABC中, E1、E2、E3分别为AB、BC、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点. （1）在图3中画出一个和ABC面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若ABC的面积为a，则图3中FGH的面积为 【答案】（1）画图如下：(答案不唯一)（2）图3中FGH的面积为. 检测题4：( 2012浙江宁波)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，依次类推，若第n次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形(1)判断及推理:邻边长分别为2和3的平行四边形是_阶准菱形；小明为了得剪去一个菱形