1.5.2 综合法和分析法1

1、人教B版高中数学选修4-5 不等式选讲第一章 第五节1.5.综合法和分析证明不等式1.5.2综合法教案凌源市实验中学 许加静教学过程设计学习目标1.掌握用综合法证明不等式的基步骤. 2.理解这种证明方法的数学思想3.会灵活运用这种方法来证明有关不等式.重点难点1.综合法解决问题的思路及步骤 （重点）2.运用综合法解决复杂的数学问题（难点）新课引入1.（师：）引言：不等式问题是数学中最重要的组成部分，也是高考中不可或缺的，对于不等式的证明是不等式问题的精髓(难点).掌握不等式的证明，有利于提高学生的综合运用知识的能力和分析解决问题的能力.关于不等式的证明，之前我们已经研究了证明不等式的一种方法“

2、比较法”，那么我们还要继续研究不等式的其他证明方法综合法 （通过教师的新课引入，从而引出课题）师：1.5.2综合法（板书课题）（教师给学生准备了课前复习，通过课前复习，让学生认识基本不等式在不等式问题中的重要性.）2.课前复习：常用基本不等式（1）（2）师 ：基本不等式师研究不等式问题的基础，接下来我们共同来看下面的这道例题）（教师引导学生，请学生将自己的想法说出来）师：观察不等式能不能用之前研究的“比较法”来证明不等式成立？生：不太容易师：的确难度较大，想想能不能用以前学过的基本不等式来加以证明呢？师：两个正式的和想到了什么？生：想到了基本不等式师：非常好，不妨你来试着证一下这道题.（教师板

3、书，学生证明） （教师总结，给出综合法定义）师：我们从头再来看一遍这道题的证明过程，从已知条件出发，利用所学的不等式知识，经过一系列的推导，证得不等式成立，我们将这种证明方法叫做综合法.(大屏幕，给出综合法定义)一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种方法叫做综合法(syntheticdmethod) 综合法又叫做顺推证法或由因导果法.师生互动师：总结，概括为四个字（由因到果）为了加深对定义的理解，教师让同学齐声朗读定义.生：齐读定义师：给大家30秒记忆，找同学复述定义.师：为了运用好综合法，接下来请同学看下面的巩固练习用综合法证明:师生

4、互动师：对于这道证明，我们从条件出发，想到了什么呢？（教师找学生板演）生：基本不等式师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构生：一边是和的形式，另一边是积的形式我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和师：虽然语言欠准确，但其含意是对的不妨你来证明一下.生：（板书证明）师：请你讲解一下你证明的思路和你的证明过程.生：我用的是基本不等式，两个整数的和乘积成为定值.师：大家对她的证明给予掌声鼓励.师：利用综合法证明不等式的题型比较多，请大家看大屏幕（下面的例题）.例2：师：观察这个不等式特点，两个正数的立方和，你们想到了哪些已学过的基本公式？生：立方和公式师：谁起来证明这个第一小问呢

5、？生：（证明，大屏幕给出证明过程）师：我们能否根据（1）式结论，来证得（2）成立呢？你们有什么好的思路吗？生：我觉得联想（1）结论，可以将不等式变形成生师：想得好，它有条件吗？生：有同样是a，b，cR+师：这个命题大家能证明出来吗？一时不能完全证出来也没关系，想出多少说多少生甲：我觉得它能拆成a3abc，b3abc，c3abc，由条件只要证出a2bc，b2ac，c2ab即可生乙：这三个分着不可能证出来，不过合起来的2a22b22c22bc2ac2ab很容易证出师：很好，第一名同学的思路显然有误 第二名同学思路是否正确呢？师：接下来我们大家不妨在下面试着证明一下，谁先做完可以到前面利用投影仪展示

6、你的答案.（学生证明，教师巡视，并交易指导）生：举手示意师：大家都很积极踊跃，谁先来呢？生丁：我去证明（学生展示）师：证得漂亮，你是怎么想出来的？生丁：我觉得证这个题目只能根据已知条件和定理1及推论证题时我又借鉴了他们俩的经验，在利用（1）的结论证得的.师：好，非常好，大家给予掌声鼓励师：接下来我们共同看第三小问.使式子看起来较为复杂，能否做适当变形使之简化呢？师：如何证明呢？生：师：接下来以小组的形式进行讨论（教师巡视各个小组，并参与到讨论中，并进行指导）师：好了，哪个小组派代表来说一说你的证明过程.（学生说大屏幕展示）师：非常棒，给小组加10分师;接下来，我们哪位同学给例二加以总结一下呢？

7、生甲：我来师：大屏幕显示学生总结过程总结：对于例2不等式的证明，都是由已知一步一步推得结论成立师：数学中很多时候也是需要试一试、拼拼凑凑的其实，这就是综合法同样是带有“=”的不等式，我们仍需研究其“=”成立的充要条件师：这个定理及推论同样是非常重要而且广泛的它的证明方法远不只上述这些，推论也可直接证得，同学们不妨课下试一试.师：接下来我们看课堂巩固.师：谁能来黑板证明？生丙：举手示意（学生板书）师：你是怎么想到的？给大家分享一下你的思路生丙：我是有已知条件出发，通过基本不等式，证得原式成立的.师：非常好，大家给以掌声鼓励接下来我们看例3观察：不等式加上已知条件后，如何证得这个不等式成立的呢？师

8、：不妨我们在下面试着再去证一证？生：（全体证明）（教师巡视学生证明过程）师：谁能展示一下你的证明过程？生乙：我来证明.师：同学掌握的非常好，给掌声鼓励.师：谁能来总结例3？生：抢答(大屏幕显示总结)总结：例3中用了题中特别条件和基本不等式.师：很好，我们共同来看，这节课我们主要研究了综合法，从已知出发，利用已知的条件，逐步推得原不等式成立.师：我们共同来看本节课小结部分（三）小结（引导学生归纳总结）1.定义：从已知出发，经过逐步推理，最后达到特征结论2.逻辑关系：（P表示已知条件，Q表示证明结论）3.思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因导果”.课堂练习1.已知a，b，cR

9、，abc1，求证：(2a)(2b)(2c)27.2.已知a，b，cR，且abc1.求证：abbcaceq f(1,3).布置作业作业：1.5.2习题1，2课堂教学设计说明这节课是本章（第五章、不等式）的重点在这堂课中不仅要讲授证明不等式的一种方法综合法，而且还要介绍两个基本而又重要的不等式定理及推论在这二者关系的处理上，我们发现：要使用综合法证明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作为基础，而证明得到它们时又可采用综合法因此，我们在课前设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用初中已很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使生没有想到，教师点拨起来也并不困难而后顺着学生用综合法的需要，介绍了4个基本不等式，在它们的证明过程中，使用综合法，帮助学生掌握如何用综合法证明不等式从教学设计上，我们力图从学生的需要出发，适时地设计一系列问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的公式、方法能用、会用，而不是只支离破碎地记住了一些名词和公式表面上看，本节练习不够，但实际上，定理2及推论的证明正是最好的练习构思这个证明，起点要高、思维跨度要大这正是锻炼学生思维，培养学生推理论证能力的绝对机会我们认为