金融工程3-XXXX

1、Dr. Fan14.1 假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利，那么n年之后，这笔存款的数额将升为：半年计息一次每年计息m次当m接近于无穷第四章 利率及其他1零息利率（ zero-coupon interest rate ，zero rate, 又称即期利率spot rate）指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，有时也称零息债券收益率（Zero-coupon yield）。零息利率曲线zero curve：描述零息利率与到期时间的函数关系的图。远期利率（forward interest rate）指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。是由当前即期利率隐含的将来一定期限

2、的利率4.2零息利率与远期利率即期1年利率012远期1年利率2计算零息利率(boostrap法)零息债券零息债券形式上不支付利息，因此其在到期时支付的本金超过购买价的部分是实际利息。零息债券只在到期时兑现实际利息，因而其收益率是”纯粹利率“。附息债券附息债券除了在到期时支付本金外，还在到期前每年或者每半年支付一次利息。由于一张附息债券包含了不同期限的现金支付，因此其收益率是“混合利率”。从长期国债推算零息债券收益率(即零息利率)：息票剥离法bootstrap method（课本P77-78)3计算零息利率(boostrap法)条件已知零息债券收益率(R1, T1), (R2, T2), (Rn

3、-1, Tn-1)已知附息债券当前价格P，息票率R及期限Tn附息债券支付利息的时间恰好为T1, T2, , Tn求Tn时的零息债券收益率Rn推导附息债券各期现金流折现成为现值等于当期价格除Rn外均为已知，解方程得Rn4计算远期利率条件T2年零息(连续)利率为R2T1年即期连续利率为R1， T1 R1，那么远期利率将比R1和R2都大；如果向下倾斜，则比两个利率都小6利率期限结构远期利率零息债券收益率附息债券收益率期限7利率期限结构远期利率零息债券收益率附息债券收益率期限8瞬时远期利率在远期利率的计算公式中，如果T2（无限）逼近于T1，将共同值记为T ，那么可以得到：以这种方式得到的RF叫期限为T

4、的瞬时远期利率(instantaneous forward rate)94.3债券定价理论价格：对未来的每一笔现金流采用合适的零息利率折现。债券收益率：使其现金值等于其市场价值的折现率。可以通过迭代法求出。平价收益率：使债券价格等于平价（即本金）的息票率。通常假设半年付息一次。具体内容见课本P76.104.4利率期限结构理论什么决定着零息收益率曲线的形状？预期理论远期利率即为预期的未来即期利率。利率随期限变长而上升意味着投资者预期未来利率上升。流动性偏好理论资金的供给者偏好流动性高（期限短）的债券。长期债券必须提供利率升水以吸引资金的供给者。11对冲压力理论尽管流动性对商业银行来说是必须考虑的

5、关键因素，但是，并非所有的投资者都偏好短期债券由于负债具有长期性，人寿保险公司与养老基金等机构投资者为了对冲风险更加偏好投资于长期债券要使偏好长期（短期）债券的投资者投资于短期（长期）债券，那么短期（长期）利率必须比长期（短期）利率更具吸引力在预期利率不变的情况下，收益率曲线的形态取决于偏好长期债券的投资者与偏好短期债券的投资者的力量对比对冲压力理论的极端形式为：短期债券市场与长期债券市场是完全分割的，长期债券与短期债券的收益率取决于各自市场的供需状况124.5远期利率协议远期利率协议（Forward Rate Agreements）指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的数额、利率和期

6、限进行借贷的合约。远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利率与市场利率的差额现金结算。图示012签订协议借贷还本付息012签订协议现金结算13一份远期利率协议是交易双方为规避未来利率波动风险，或是以未来利率波动为基础进行投机而签订的一份协议。作为避险者（hedger），他早已暴露在利率波动的风险中，但他希望能够避开这类风险。当他处于远期利率波动的风险中，并持有远期利率协议头寸后，避险者的净风险就会降低或完全消失。作为投机者（speculatior），他开始时不会面临利率波动的风险，但是他希望能够从预期的利率波动中获取利润。对于投机者而言，持有远期利率协议的头寸，就会获得他所希望的利率风险

7、。14协议远期利率这分协议对出借方来说，0期的价值为:V(0)=100eRk(T*-T)e-r*T*-100e-rT考虑到远期合约在订立时价值为0，所以：RK(T*-T)r*T*-rT也即r0TT*RKr*15结算在T时点，双方或者履行协议或者现金结算。结算金额假设T时点时的即期利率（至T*）为R资金的出借方在T时点的净盈利/亏损为：如果RKR，则出借方有盈利，反之则亏损。16远期利率协议的价值条件0tT，r和r”为在t期时期限为T-t和T*-t的即期利率。求远期利率协议的价值。推导 V(t)=100eRk(T*-T)e-r”(T*-t)-100e-r(T-t)考虑到r0TT*RKr”t17示

8、例目前的1年期和2年期即期连续利率分别为2.5%和3%，问现在如果签订一份1年后生效的1年期远期利率协议，合理的协议连续利率是多少？假设过了9个月，3月期与15月期的即期连续利率分别为3%和4%。问原先签订的远期利率协议在这个时点上的价值是多少？假设每份协议的名义本金为100。18远期利率协定中的买方与卖方买方向卖方支付从未来某一时刻开始的名义本金额(贷款或存款)的固定利率，同时向卖方收取相同名义本金额(贷款或存款)期限开始的浮动利率。即是卖方向买方支付名义本金额(贷款或存款)期限开始时的浮动利率，同时向买方收取相同名义本金额(贷款或存款)的固定利率。19远期利率协议买方远期利率协议卖方固定(

9、FRA)利率浮动(参考)利率20远期利率协定的好处将浮动利率负债转换为固定利率负债，以确定未来要偿还的利息支出，或将浮动利率资产转换为固定利率资产 仅就差额部分进行交割，不牵涉本金的移动，可节省资金成本及汇入汇出资金等费用 FRA在未到期前，亦可反向操作，以结清原合同，较具灵活性 21远期利率协定的局限性利率被锁定，但却使客户不能获得利率有利变化带来的好处。被保值的工具和远期利率协议参考利率的联系不够紧密时，会存在保值不完全的风险 22对公司而言，从事远期利率协定应指明所需的远期天数期间及名目本金 市场报价方式14 1个月后的3个月期利率 36 3个月后的3个月期利率 25 2个月后的3个月期

10、利率 612 6个月后的6个月期利率23Dr. Fan24第五章 远期、期货及其定价24定价基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利套利者可以卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格 (无套利定价法) 。Dr. Fan2525为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：1、没有交易费用和税收。2、市场参与者能以相同的无风险利率借

11、入和贷出资金。3、远期合约没有违约风险。4、允许现货卖空行为。5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的 均衡价格。6、期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。26课本中符号的详细说明：T：远期合约到期日t：当前时点S：交割品在当前时点的现货价格ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知）K：远期合约规定的交割价格f：在当前时点远期合约多头的价值F：t时点的远期合约价格r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。275.1 不支付收益资产的远期合约的定价 不支付收益资产是

12、指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券，或者是短期内不分红的股票28一、不支付收益资产远期合约多头的价值组合A：一份远期合约多头1加上一笔数额为 Ke-r(T-t)的现金组合B：一单位标的资产 在组合A中，Ke-r(T-t )的现金以无风险利率投 资，投资期为（T - t）。到T 时刻，其金额将达 到K。这是因为：Ke-r(T-t ) er(T-t) =K注1：该合约规定多头在到期日可按交割价格K购买一单位标的资产。29在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T 时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在t 时刻的价值必须相等。因此： f

13、+ Ke r（T t）=S 即： f = S - Ke r（T t） （5.6） 30 f = S - Ke r（T t）公式（5.6）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说，一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke r（T t）单位无风险负债组成。31二、现货远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当 f=0 时，K=F。据此可以令（5.6）式中f=0，则： F=Se r（T t） （5.5）这就是无收益资产的现货远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平

14、价定理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（5.5）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。32为了证明公式（5.5），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的假设F Se r（T t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S 现金，期限为T-t 。然后用S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F在T 时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F 现金，并归还借款本息Se r（T t） ，这就实现了F -Se r（T t）的无风险利润。 33若F rl 。这时远期和期货的价格区

15、间为：Dr. Fan4949存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：完全市场可以看成 的特殊情况。Dr. Fan50505.7 股指期货假设市场无摩擦、无套利机会，并且股票不分红，那么股指期货的价格应该等于股票指数的未来值，即 ， F=Se r（T t）股票一般都会分红，而且不同的股票分红的时间与数量都存在差异，这使得指数期货的价格与股票指数之间的关系变得复杂如果股票指数包含的指数股数量较多，而且各种指数股的分红事件在时间

16、与数量上分布比较均匀，那么我们可以合理地假设红利是完全均匀分布的。用q表示指数红利的连续复合收益率，则51股票指数可视为提供已知红利收益率的资产资产的期货价格和即期价格之间的关系是： F = S e(rq )(T-t) 其中 q 是股指代表的股票组合的红利52指数套利当 F Se(r-q)(T-t) 时，套利者可以购买指数中的成分股票，同时卖出对应单位的指数期货合约。即可获利当 F Se(r-q)(T-t) a时，可以通过卖出指数中的成分股票，买进指数期货合约而获利53持有成本（定义为c）持有成本保存成本为资产融资所支付的利息成本标的资产在合约期限内提供的收益具体例子：不支付红利的股票，没有保

17、存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r股票指数的持有成本是 rq外币的持有成本是r rf远期和期货定价中的持有成本（c）概念：对于消费资产要多考虑便利收益率y5.8 持有成本54Dr. Fan55第六章 利率期货556.1利息天数计算惯例应计利息（Accrued Interest）在两次现金利息支付之间，债券仍然要计入应得的利息。应计利息与距离上一次利息支付的时间长度成正比。计算公式应计利息距上次利息支付日数参考期日数参考期利息日数计算惯例中长期国债，实际日数实际日数公司债与市政债，30360（假设每个月有30天，每年360天）短期国债及其他货币工具，实际36056应计利息举例:126015

18、 08康美债 【债券概况】1.公司名称:康美药业股份有限公司2.证券简称:08康美债3.证券代码:1260154.行业类别:医药制造业5.发行日期:2008-05-086.发行方式:向老股东优先配售,余额采用网下配售和网上定价相结合7.发行数量(元):900000000.008.老股东配售数量(元):1164060009.上网发行数量(元):3279500010.发行面值(元):10011.发行价格(元):10012.票面利率(): 0.8013.付息方式:每年付息一次14.期限(年):617.上市日期:2008-05-2618.上市流通量(元):900000000.0019.公司地址:广东省

19、普宁市流沙镇长春路中段24.回售条件:本次发行的分离交易可转债募集资金用途的实施情况若根据中国证监会相关规定属于改变募集资金用途的，债券持有人拥有一次以面值加上当期应计利息的价格向本公司回售债券的权利。576.2长期国债和短期国债及期货的报价长期国债的报价单位报价单位为美元和1/32美元。比如报价96-08，即为96.25美元/100美元面值净价（Clean Price）与全价（Dirty Price）报价均为净价，即不包含应计利息的价格。交割时的价格为全价，即净价加上应计利息。计息方式为：实际日数实际日数期货报价与现货报价相同58示例:中长期国债期货(美国) 长期国债期货的报价与现货一样，以

20、美元和32分之一美元报出，所报价格是100美元面值债券的价格，由于合约规模为面值10万美元，因此9025的报价意味着面值10万美元的报价是90，781.25美元。 应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格是不同的。现金价格与报价的关系为： 现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 59假设现在是1999年11月5日，2016年8月15日到期，息票利率为12%的长期国债的报价为9428（即94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是1999年8月15日，下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数为82天，1999年1

21、1月5日到2000年2月15日之间的天数为102天，因此累计利息等于：该国债的现金价格为： 94.875美元+2.674美元=97.549美元60短期国债报价惯例以360/n(100-y)进行报价，其中y为现金价格。360/n(100-y)又称贴现率，不同于实际收益率。比如一个91天的短期国债，现金价格为98，那么报价就是360/91（100-98）=7.91短期国债的回报率在上例中回报率是2/98=2.04%（91天的）或者是8.186%（换算的年利率（复利）短期国债期货报价惯例期货价格100 4(100-现金价格)现金价格1000.25(100-期货价格)61示例例：90天期的短期国债报价

22、8.00，问其现金价格是多少？实际收益率是多少？例：短期国债期货报价为96.00，问实际交割时买方应付金额为多少美元/100面值?626.3中长期国债期货中期国债期货离到期日还有6.5-10年的国债均可以作为交割品。5年期国债期货最新发行的4种5年期国债均可作为交割品。长期国债期货离到期日(交割月份第一天)还有15年以上的不可赎回国债或者离赎回日还有15年以上的国债均可作为交割品。标准品为15年期，息票率6%的国债(2000年3月以前为8%)。其他国债均需计算转换因子，确定交割的实际价格。63补充材料:CME将推出超长期国债期货超长期国债期货合约尽管在CDS（信用违约掉期）引发的全球金融危机中

23、利率期货遭受了最沉重的打击，但全球衍生品市场的龙头老大-芝加哥商业交易所集团（CME Group)仍于当地时间的2009年9月22日发布公告称，应客户管理长期利率风险的强烈需求，将于明年一季度初新上市存续期在25年以上的超长期国债期货合约CME现交易的长期国债期货，要求到期交割时国债剩余存续期至少15年，而美国近期财政政策的变化增加了规避收益率曲线（yield curve）上更长期利率波动风险的需求。因此，CME决定明年初上市标的为发行时存续期30年的超长期国债，并要求交割时剩余存续期在25年以上。CME称，新的合约除存续期外，其他设计如面值、最小变动价位等均沿袭现有长期国债期货，且上市初期仅

24、开展到期月份为3、6、9、12月的合约交易。64转换因子（Conversion Factors）转换因子期限在15年以上的国债基本上都可以用于长期国债期货的交割。交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为6%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。即折现率为6%计算首先将到期期限进行以3个月为单位的取整。对于取整到期期限为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利息支付将在6个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。对于取整到期期限不为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利息支付将在3个月后，按6%的年率，每年两次计息折现。交割价格交

25、割价格结算价转换因子应计利息65示例:转换因子某长期国债息票利率为8%，剩余期限还有18年4个月。计算转换因子。根据有关规则，确定该债券期限为18年3个月。这样我们可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，该时点债券的价值为：由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把125.83美元贴现到现在的价值。由于3个月的利率等于 ，即1.4889%，因此该债券现在的价值为125.83/1.014889=123.99美元。由于3个月累计利息等于2.0美元，因此该债券的净值为：121.99美元 转换因子=121.99/100=1.2199美元66由于转换因子制度固有的缺

26、陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。空方收到的金额:交割收入（期货报价转换因子）+累计利息空方支出的金额,即其(机会)成本:假设空方需要在市场上买入债券进行交割买入的成本:交割成本债券报价+累计利息67最佳交割债券交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。交割差距=债券报价+累计利息（期货报价转换因子）+累计利息=债券报价（期货报价转换因子）而这个交割差距也正是交割收益，交割收益最高的债券为最佳交割债券(Cheapest-to-Deliver Bond)。68实际

27、交割Wild Card Play债券期货的交易在下午2点结束债券现货的交易直到下午4点结束在晚上8点之前，空方都可以下达交割指令如果2点以后债券现货价格下降，空方发出交割通知如果2点以后债券现货价格没有下降，继续持有头寸至下一交易日很明显对空方有利，该权利的价格已经反映在期货价格中。69债券期货价格（不考虑选择权等因素）空方的选择权:交割时间,交割品种（暂不考虑）计算公式F=(S-I)e-r(T-t)计算流程计算最佳交割债券的现金价格（全价）利用期货价格公式计算现金价格对应的期货价格（全价）计算期货价格对应的净价将净价除以转换因子，得到最终期货价格（报价）70 假定我们已知某一国债期货合约最合

28、算的交割券是息票利率为14%，转换因子为1.3650的国债，其现货报价为118美元，该国债期货的交割日为270天后。该交割券上一次付息是在60天前，下一次付息是在122天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率10%（连续复利）。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。首先，求出交割券的现金价格为：其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在122天（0.3342年）后支付7美元的利息，因此利息的现值为： 7e-0.33420.1=6.770美元71再次，由于该期货合约的有效期还有270天（即0.7397年）我们可以算出交割券期货

29、理论上的现金价格为： （120.308-7.770）e0.73970.1=121.178美元再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有148天（即270-122天）的累计利息，而该次付息期总天数为183天（即305天-122天），我们可求出交割券期货的理论报价为：最后，我们可以求出标准券的期货报价： 72示例假设某长期国债期货合约的最佳交割债券为年率12%，转换率1.4000的长期国债。这种债券上一次利息支付为60天以前，目前离下一次利息支付还有122天，离下下一次利息支付还有305天，离期货合约交割日还有270天。假设无风险连续利率在各个期限上都是10%。目前最佳交割债券

30、的报价为120.00美元。问期货合约的报价应该是多少？(见课本P84)73长期国债期货：长期利率期货中交易最活跃的品种之一Copyright Zhenlong Zheng & Rong Chen, 2008小结746.4短期国债期货短期国债期货指以90天期的国债为交割品的期货合约。交割日为交割月份第一笔13周短期国债的发行日。定价T和T*分别为国债期货交割和国债到期的时点。r和r*分别为T和T*期的即期利率。国债到期时的价值是100, 所以现值V*=100e-r*T*F=SerT=100e-r*T*ert=100eRk(T*-T)其中，Rk=(r*T*-rT)/(T*-T)75举例假设45天期

31、的即期利率(连续复利)为10%，135天期的即期利率(连续复利)为11%，45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为10.5%，问45天以后到期的短期国债期货报价是否与理论收益率相符？如果不是，你将如何进行套利?假如45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为12%呢？(135*11-45*10)/90=11.5766.5欧洲美元期货合约欧洲美元处于美国境外的美元存款都可以称为欧洲美元。本质上其利率与LIBOR，即London Inter-Bank Offer Rate相同一份期货合约的价值为：现金价格10,000100-0.25(100-期货报价)77远期利率与期货利率欧洲美元期货合约与远期利率协议都锁定了未来一定期限的利率。1年以下的到期期限，期货利率远期利率长期：差异不能忽略一次性到期/每日盯市结算且有保证金要求远期利率较低盈亏结算：贴现/无贴现远期利率较低凸性调整：欧洲美元期货利率与远期利率转化的一种方法（典型值一般为0.012）786.6久期（持期，duratio