专训1用二次函数解决问题的四种类型

1、专训1用二次函数解决问题的四种类型名师点金：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解 析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的.二实.矍工建立平面直角坐标系解决实际问题题型1拱桥（隧道）问题A和Ai、点B1 .如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点 和Bi分别关于y轴对称.隧道拱部分 BCBi为一段抛物线，最高点 C离路面AAi的距离为8 m,点B离路面AAi的距离为6 m,隧道宽 AAi为16 m.（1）求隧道拱部分 BCBi对应的函数解析式.（2）现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为 4 m,装载设备的顶部离路面均为7 m

2、,问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由.题型2建筑物问题2.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为（）（第2题）50 m100 m160 m200 m题型3物体运动类问题.如图，在水平地面点 A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛 物线，在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C（靠点B一侧）处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内.已知AB = 4米，AC =3米，网球飞行最大高度 OM=5米,圆柱形桶的直径为 0.

3、5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？重建立二次函数模型解决几何最值问题题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题（第4题）.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为 米.题型2利用二次函数解决图形面积的最值问题.如图所示，正方形 ABCD的边长为3a,两动点E, F分别从顶点B, C同时开始

4、以 相同速度沿边BC , CD运动，与4BCF相应的4EGH在运动过程中始终保持 EGHABCF, B, E, C, G 在一条直线上.若BE = a,求DH的长.(2)当E点在BC边上的什么位置时， DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的 最小值.(第5题) 士 建立二次函数模型解决动点探究问题 ，八1 . 一，.如图所不，直线 y=2x 2与x轴、y轴分别交于点 A, C,抛物线过点 A, C和点B(1, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上方的抛物线上有一动点D,当D与直线AC的距离DE最大时，求出点 D的坐标，并求出最大距离.(第6题)E委至4建立二次函数模型作决策问题题型

5、i几何问题中的决策.如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙（墙的最大可用长度为10 m）,围成中间隔有 一道栅栏的长方形鸡舍.设鸡舍的一边AB为x m,面积为S m2（1）求S与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）.（2）如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？（3）能围成面积比 45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明 理由.MJc （第 7 题）题型2实际问题中的决策8.12016武汉】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（力兀）每件成本（力兀）每年其他 费用（力兀）每年最大产 销量（

6、件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a为常数，且3a 5.若产销甲、乙两种产品的年利润分别为yi万元、y2万元，直接写出yi, y2与x的函数关系式;（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.答案(第1题).解：(1)由已知得 OA = OAi = 8 m, OC=8 m, AB = 6 m.故 C(0 , 8), B(8,6).设抛物线BCBi对应的函数解析式为 y=ax2+8,将B点坐标代入，得a(-8)2+8=6, TOC o 1-5 h z 一 一 1 1 斛得 a=,所以 y= - x2+ 8( 8 x

7、 7,所以该货车能安全通过这个隧道.8. C(第3题).解：(1)以点。为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图的3直角坐标系，则有 M(0, 5), B(2, 0), C(1, 0), D 2, 0 .设抛物线的解析式为 y=ax2+c,由抛物线过点 M和点B ,可得a= 7, c= 5.故抛物线的解析式为 y= 1x2+5.当x= 1时，4y=；当x=3时，y = 15.故1,，2, 35两点在抛物线上.当竖直摆放5个圆柱形桶.33 15 3 35时，桶图为0.3 X 5= 1.5= 2(米),2且216,，网球不能洛入桶内. 35一一 15(2)设竖直摆放 m个圆柱形桶

8、时，网球可以落入桶内.由题意，得 0.3m ,解得7-17升 m122.m 为整数，m 的值为 8, 9, 10, 11, 12.，当竖直摆放8个，9个，10个，11个或12个圆柱形桶时，网球可以落入桶内.4. 0.55.解：(1)连接 FH, . A EGHA BCF,，BC=EG, HG = FC, /G=/BCF,.CG=BE, HG / FC, 四边形 FCGH 是平行四边形，FH p CG ,RtADFH 中，DF=3aa= 2a,丁./ DFH = Z DCG = 90.由题意可知， CF=BE = a.在FH=a,DH = DF11 O , 5 (y+y+2)X4-2(y+2)

9、x-2(4-x) y=2y-x+ 4.将 y= 3x2 +2x2 代入，得 SAACD=2y-x + 4 = x2+ 4x= (x 2)2 + 4 ,当 x=2 时，y = 1,此时 Sacd 最大，且最大值为4.,. D(2 , 1). .Sacd = |aC-DE, AC = 2泌.，当 ACD 的面积最大时，高 DE最大，则+ FH2 = /a.(2)设BE = x, ADHE的面积为y.依题意，得y=S4cDE+S梯形CDHG SAEGH = 5X 3ax (3a x) + 万(3a+ X)X _ 2 X 3ax x ,1 2 39 2 M 13 2 27 2y=2x2-2ax+2a2

10、,即 y=2x2a +ya2.3 当x = 3a,即E是BC的中点时，y取得最小值，即 DHE的面积取得最小值，最小值是27a21，人，r人，r6.解：(1)在 y = 2x- 2 中，令 x=0,得 y = 2;令 y=0,得 x=4,.Ae, 0), C(0,-2).设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(aw0). 点 A(4 , 0), B(1 , 0), C(0 , -2)在抛物线上，a=-1,16a + 4b+c= 0,2a+b + c= 0,解得,5b = 2,c= 2.c= - 2.5.抛物线的解析式为y=-11x2 + |x-2.（第6题）(2)设点 D 的坐标为(x, y)

11、,则 y=-2x2+|x-2(1x4),在 RtAAOC 中，OA=4, OC=2,由勾股定理得 AC=2&.如图所示，连接 CD, AD.过点D作DFy轴于点F,过 点 A 作 AG，FD 交 FD 的延长线于点 G,则 FG=AO=4, FD = x, DG = 4-x, OF = AG =1111y, FC=y+2./.SAacd = S 梯形 agfc $ cdf-Saadg =(AG + FC) FG-FC FD-DG AG =DE的最大值为 片=4一 = 455，当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2, 2AC 2X2755i),最大距离为w.解：(1)因为 AB=x m,所以 BC=(24 3x) m,此时 S= x(24 3x) = 3x2+24x.(2)由已知得3x2+24x = 45,整理可得 x28x+15 = 0.解得 x = 5, x2= 3.丁 0V 24 3x 10,得?w x8,，x2=3 不符合题意，故 AB =5 m.3(3)能.S= 3x2+24x = 3(x28x) = 3(x 4)2+48.14Wxv8, .当 x= :时,S 最 33大值=463.能围成面积比 45 m2更大的鸡舍.围法是：BC的长是10 m, AB的长是43 m,这时鸡舍的面积最大，为462 m2.3.解